Afinný priestor a afinné zobrazenia interaktívne: Vonkajší a vektorový súčin

Vektorový priestor

Vonkajší a vektorový súčin

Vonkajší súčin

$\small n$ vektorov vo

$\small V_n$ a Vektorový súčin dvoch vektorov vo

$\small V_3$

Definícia (Vonkajší súčin).
Nech

$\small V_n$ je orientovaný vektorový priestor a nech

$\small \mathcal B$ je jeho kladná ortonormálna báza. Pod vonkajším súčinom vektorov

$\small \pmb {v}_1, \pmb {v}_2, \dots, \pmb {v}_n \in V_n$ rozumieme nasledujúci determinant:

$\small \begin{vmatrix} v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1n} \\ v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n1} & v_{n2} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix},$
kde v riadkoch tohto determinantu sú súradnice vektorov

$\small ;\pmb {v}_1, \pmb {v}_2, \dots,\pmb {v}_n$ vzhľadom na bázu

$\small B$ ,
tj.

$\small \pmb {v}_i = (v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{in}), i \in \{1, 2, \dots, n\}$ .

Vonkajší súčin vektorov

$\small \pmb {v}_1, \pmb {v}_2, \dots, \pmb {v}_n$ budeme označovať:

$\small [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n]_B.$

Poznámky K orientácii bázy si pozrite výklad Tu. Ukážka transformácie bázy Tu.

Geometrický význam vonkajšieho súčinu vektorov od $\small V_2$ a až po $\small V_3$ :
- Nech $\small \mathcal B$ je kladná báza vektorového priestoru $\small V_2$ a nech vektory $\small \mathbf {v},\mathbf {w}$ tvoria rovnobežník s orientáciou podľa $\small \mathcal B$ . Potom vonkajší súčin $\small [\mathbf {v},\mathbf {w}]$ vyjadruje orientovanú plochu rovnobežníka tvoreného vektormi $\small \mathbf {v},\mathbf {w}$ .
- Nech $\small \mathcal B$ je kladná báza vektorového priestoru $\small V_3$ a nech vektory $\small \mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf {w}$ tvoria rovnobežnosten s orientáciou podľa $\small \mathcal B$ . Potom vonkajší súčin $\small [\mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf {w}]$ vyjadruje objem rovnobežnostena tvoreného týmito vektormi.
Vo vektorovom priestore $\small V_3$ okrem vonkajšieho súčinu, ktorého výsledkom je reálne číslo predstavujúce objem, môžeme definovať operáciu "vektorový súčin". Výsledkom tejto operácie bude vektor.

Definícia (Vektorový súčin).
Vektorový súčin dvoch vektorov

$\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)$ je definovaný ako vektor kolmý k vektorom

$\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ , ktorého veľkosť je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme

$\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }$ ,
kde

$\small θ$ je uhol zvieraný vektormi

$\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ s vlastnosťou

$\small 0° ≤ θ ≤ 180°$ a

$\small \mathbf {n}$ je jednotkový vektor kolmý k nim.

Vektorový súčin vektorov budeme symbolicky označovať $\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ alebo $\small \vec{a} \times \vec{b}$ .
Vektorový súčin vektorov je definovaný len pre 3-rozmerný Euklidovský priestor!

Existujú rôzne metódy výpočtu vektorového súčinu dvoch vektorov

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ a

$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ v trojrozmernom priestore. Tu sú najbežnejšie metódy:

Determinantová metóda (priama metóda pomocou determinantov).

Vektorový súčin dvoch vektorov

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ a

$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ sa vypočítame ako determinant matice so základnými vektormi

$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ a komponentami vektorov

$\vec{a}, \vec{b}$ :

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Tento determinant sa rozvinie do:

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$

Výsledok je:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1) \vec{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k}.$

Konečná forma:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1).$

Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory

$\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)$ . Potom zložky vektora

$\small \mathbf {c}$ vektorového súčinu

$\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ možno určiť ako

$\small {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}.$

Vektorový súčin je úzko spojený s priesečníkom dvoch priamok. Pozrite si príspevok k téme Aplikácie vektorového súčinu Tu.
V moderných programovacích jazykoch, ako Python alebo GeoGebra, MATLAB, sú k dispozícii vstavané funkcie na výpočet vektorového súčinu, ktoré umožňujú rýchly a presný výpočet.

Pomôcka na výpočet súradníc vektora

$\small \mathbf {c}$ .
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora

$\small \mathbf {a}$ a pridáme ešte raz jeho prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom

$\small \mathbf {b}$ . Dostaneme schému

$\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}$ .
Teraz určíme súradnice vektora

$\small \mathbf {c}$ - krížové násobenie:

$\small ( {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}; {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}; {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})$ .

Tvrdenia.

Pre obsah trojuholníka $\small ABC$ je známy vzorec

kde $\small a=|BC|,b=|AC|,γ=\angle ACB$ . Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať
$\small S =\frac {1}{2} ∥ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } ∥$ .
Zrejme pre obsah rovnobežníka $\small ABCD$ bude platiť: $\small S = ∥ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } ∥$ .
Prípad $\small V_2$ . Vzorec pre obsah rovnobežníka $\small ABCD$ poznáme zo základnej geometrie: S= základňa x výška. Uvažujeme nezávislé vektory

určené vrcholmi rovnobežníka tak, aby základňa = dĺžka vektora $\small \mathbf a$ a zároveň výška = dĺžka kolmého vektora $\small \mathbf n$ na vektor $\small \mathbf a$ . Z vlastnosti pravouhlého trojuholníka dostaneme $\small \mathbf n=\mathbf b . sin φ$ . Obsah rovnobežníka sa teda vypočíta ako súčin základne a príslušnej výšky:

kde $\small φ$ je uhol medzi vektormi. Tento výraz sa pri vyjadrení pomocou súradníc rovná $\small |a_1b_2 − a_2b_1|$ . Výraz $\small a_1b_2 − a_2b_1$ je determinant matice, ktorej prvky sú súradnice daných vektorov. Preto determinant vyjadruje orientovaný obsah rovnobežníka určeného týmito dvoma vektormi a jeho absolútna hodnota udáva skutočný obsah: $\small S = |a_1b_2 − a_2b_1|$ .
Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Zdôvodnenie nájdete Tu. Tiež odporúčame prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.