Afinná geometria
Cvičenie
Vektory a počítanie s nimi
- Vyriešte sústavu rovníc s parametrom
v obore
a tiež v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Vyriešte sústavu rovníc v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Zistite, či množina
všetkých usporiadaných dvojíc resp. trojíc spolu s dvoma binárnymi operáciami
je vektorovým priestorom nad poľom reálnych čísel
, ak
- Sú dané body
. Nájdite vektory
a zistite ich dĺžky. Zadanie Tu. - [Mon 1.1.3.] Sú dané body
. Určte polohu bodu
tak, aby
- V rovine je daný pravidelný 6-uholník
.
- K vektorom
nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
Otvorte si model šesťuholníka Tu. - Určte koľko viazaných (voľných) vektorov je určených vrcholmi pravidelný 6-uholník
.
- K vektorom
- [Monoszová 1.1.11.] až [Monoszová 1.1.17.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Prvá časť Tu.
- Daný je pravidelný šesťuholník
. Vyjadrite vektory
ako lineárne kombinácie vektorov.
- V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
.
Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu. Zadanie Tu. Riešenie Tu.
- Nech
sú nekolineárne vektory. Určte číslo
tak, aby vektory
boli kolineárne.
- Ukážte, že vektor
je lineárnou kombináciou vektorov
ale nie je LK vektorov
.
- Vyjadrite vektor
ako LK vektorov
.
- Ukážte, že vektory
sú lineárne (ne)závislé.
- Vyjadríte vektor
ako lineárnu kombináciu vektorov
- Nech vektory
sú lineárne nezávislé. Zistite, či vektory
sú závislé alebo nezávislé.
- Množina
je báza vektorového priestoru
. Určte súradnice vektora
vzhľadom k tejto báze, ak poznáte jeho súradnice
vzhľadom ku kanonickej báze
. [Hašek 4.2.]
- Daný je vektorový priestor
.
- Nech
je báza priestoru
. Nájdite vektor vo
, ktorého súradnice vzhľadom k báze
sú
.
- [Hašek 4.6.1] až [Hašek 4.6.8] Linearni algebra a geometrie. Dostupné Tu.
- Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku
, ak .
. Riešenie ...
- Vypočítate uhol vektorov
a
, ak
- Nech
. Rozhodnite, či napísaný objekt je bod alebo vektor a určte jeho súradnice.
a)
b)[
c) - [Monoszová 2.1.1.] až [Monoszová 2.1.23.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 2.2.1.] až [Monoszová 2.3.7.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 1.2.1.a] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- [Monoszová 1.2.1.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.2.a] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.4 ] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.c] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- Riešte úlohy [Monoszová 1.3.1.] až [Monoszová 1.3.5.].
- Vypočítajte súradnice bodu
v afinnej súradnicovej sústave
, ak
.
- V rovine danej bodmi
zvoľte afinnú súradnicovú sústavu
. Zistite, aké súradnice má bod M v
, ak jeho súradnice v
sú
.
- V rovine je daný trojuholník
a body
v tomto poradí ako stredy strán
. Nájdite súradnice vrcholov trojuholníka v afinnej sústave súradníc
.
- V rovine je daný pravidelný šesťuholník
. Nájdite súradnice vrcholov tohto 6-uholníka v afinnej súradnicovej sústave
.
- Riešte úlohy [Monoszová 1.4.1.] až [Monoszová 1.4.18.].
- Zistite, či body
incidujú s podpriestorom
pre
.
Návod: Bodleží v podpriestore práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú parametrickému vyjadreniu, t. j.:
. Napíšte najskôr parametrické rovnice podpriestoru a dosaďte súradnice bodu
. [Vranková, 3L1].
- Dokážte, že pre každé
množina bodov
priestoru
je afinne závislá. Akú dimenziu má jej afinný obal?
- Určte aspoň jedno parametrické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza bodom
a obsahuje priamku
.
- Riešte úlohy z práce (Tisoň, 2011) k téme: Lineárne podpriestory, parametrické a všeobecné vyjadrenia.
- Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky
a roviny
v
, ak:
,
. [Vranková, 4L1].
- Zistite vzájomnú polohu priamky
a roviny
v
, ak
,
.
- Zistite vzájomnú polohu priamok
- Určte afinné zobrazenie
zobrazujúce repér
: Vo všetkých prípadoch určte množinu samodružných bodov.
- Afinné zobrazenie
je dané transformačnými rovnicami
. Určte
- Dané je afinné zobrazenie
. Určite
- Určte afinné zobrazenie, pre ktoré sú body priamky
samodružné a bod [0, 0] sa zobrazí do [−1, −2].
- Dané je afinné zobrazenie
. Na priamke
nájdite bod
, ktorého obraz leží na tej istej priamke. Pomoc: najskôr určte obraz
a potom priesečník (\small P= p\cap p' \). Priamku
určte aj konštrukčne ako GMB.
Riešené príklady
- Nájdite maticu afinnej transformácie
, pričom platí
.
Riešenie.
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je. Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bodje samodružný, tak musí pre jeho obraz
platiť:
.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformáciaje zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov
je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu - V rovine je posunutie určené vektorom
. V posunutí sa trojuholník
so súradnicami
zobrazí sa na trojuholník
so súradnicami
.
a) Narysujte obrazv GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazya ich dosadením spolu so súradnicami
do rovnice
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
Riešenie.
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.
Cvičenie.
- Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
- Zistite, či posunutie
roviny
pre pevne zvolený vektor posunutia
je afinné zobrazenie.
- Určite obraz trojuholníka
, kde
v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
- Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).
- Je daná osová súmernosť osou
, ktorá je určená bodmi
a štvoruholník
. Narysujte obraz štvoruholníka obraz
v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť. Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti. Určte analytické vyjadrenie tejto osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy
.