Afinná geometria
Cvičenie
Vektory a počítanie s nimi
- Vyriešte sústavu rovníc s parametrom v obore a tiež v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Vyriešte sústavu rovníc v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Zistite, či množina všetkých usporiadaných dvojíc resp. trojíc spolu s dvoma binárnymi operáciami je vektorovým priestorom nad poľom reálnych čísel , ak
- Sú dané body . Nájdite vektory
a zistite ich dĺžky. Zadanie Tu. - [Mon 1.1.3.] Sú dané body . Určte polohu bodu tak, aby
- V rovine je daný pravidelný 6-uholník .
- K vektorom nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
Otvorte si model šesťuholníka Tu. - Určte koľko viazaných (voľných) vektorov je určených vrcholmi pravidelný 6-uholník .
- K vektorom nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
- [Monoszová 1.1.11.] až [Monoszová 1.1.17.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Prvá časť Tu.
- Daný je pravidelný šesťuholník . Vyjadrite vektory
ako lineárne kombinácie vektorov . - V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
.
Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu . Zadanie Tu. Riešenie Tu. - Nech sú nekolineárne vektory. Určte číslo tak, aby vektory boli kolineárne.
- Ukážte, že vektor je lineárnou kombináciou vektorov ale nie je LK vektorov .
- Vyjadrite vektor ako LK vektorov .
- Ukážte, že vektory sú lineárne (ne)závislé.
- Vyjadríte vektor ako lineárnu kombináciu vektorov
- Nech vektory sú lineárne nezávislé. Zistite, či vektory sú závislé alebo nezávislé.
- Množina je báza vektorového priestoru . Určte súradnice vektora vzhľadom k tejto báze, ak poznáte jeho súradnice vzhľadom ku kanonickej báze . [Hašek 4.2.]
- Daný je vektorový priestor .
- Nech je báza priestoru . Nájdite vektor vo , ktorého súradnice vzhľadom k báze sú .
- [Hašek 4.6.1] až [Hašek 4.6.8] Linearni algebra a geometrie. Dostupné Tu.
- Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku , ak .. Riešenie ...
- Vypočítate uhol vektorov a , ak
- Nech . Rozhodnite,
či napísaný objekt je bod alebo vektor a určte jeho súradnice.
a)
b)[
c) - [Monoszová 2.1.1.] až [Monoszová 2.1.23.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 2.2.1.] až [Monoszová 2.3.7.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 1.2.1.a] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- [Monoszová 1.2.1.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.2.a] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.4 ] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.c] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- Riešte úlohy [Monoszová 1.3.1.] až [Monoszová 1.3.5.].
- Vypočítajte súradnice bodu v afinnej súradnicovej sústave , ak .
- V rovine danej bodmi zvoľte afinnú súradnicovú sústavu . Zistite, aké súradnice má bod M v , ak jeho súradnice v sú .
- V rovine je daný trojuholník a body v tomto poradí ako stredy strán . Nájdite súradnice vrcholov trojuholníka v afinnej sústave súradníc .
- V rovine je daný pravidelný šesťuholník . Nájdite súradnice vrcholov tohto 6-uholníka v afinnej súradnicovej sústave .
- Riešte úlohy [Monoszová 1.4.1.] až [Monoszová 1.4.18.].
- Zistite, či body incidujú s podpriestorom
pre .
Návod: Bod leží v podpriestore práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú parametrickému vyjadreniu, t. j.: . Napíšte najskôr parametrické rovnice podpriestoru a dosaďte súradnice bodu . [Vranková, 3L1]. - Dokážte, že pre každé množina bodov priestoru je afinne závislá. Akú dimenziu má jej afinný obal?
- Určte aspoň jedno parametrické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza bodom a obsahuje priamku .
- Riešte úlohy z práce (Tisoň, 2011) k téme: Lineárne podpriestory, parametrické a všeobecné vyjadrenia.
- Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky a roviny v , ak: , . [Vranková, 4L1].
- Zistite vzájomnú polohu priamky a roviny v , ak , .
- Zistite vzájomnú polohu priamok
- Určte afinné zobrazenie zobrazujúce repér : Vo všetkých prípadoch určte množinu samodružných bodov.
- Afinné zobrazenie je dané transformačnými rovnicami . Určte
- Dané je afinné zobrazenie . Určite
- Určte afinné zobrazenie, pre ktoré sú body priamky samodružné a bod [0, 0] sa zobrazí do [−1, −2].
- Dané je afinné zobrazenie . Na priamke nájdite bod , ktorého obraz leží na tej istej priamke. Pomoc: najskôr určte obraz a potom priesečník (\small P= p\cap p' \). Priamku určte aj konštrukčne ako GMB.
Riešené príklady
- Nájdite maticu afinnej transformácie , pričom platí
.
Riešenie.
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je . Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod je samodružný, tak musí pre jeho obraz platiť:
.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia je zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu - V rovine je posunutie určené vektorom . V posunutí sa trojuholník
so súradnicami zobrazí sa na
trojuholník so súradnicami .
a) Narysujte obraz v GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazy a ich dosadením spolu so súradnicami do rovnice
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
Riešenie.
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.
Cvičenie.
- Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
- Zistite, či posunutie roviny pre pevne zvolený vektor posunutia je afinné zobrazenie.
- Určite obraz trojuholníka , kde v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu. - Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).
- Je daná osová súmernosť osou , ktorá je určená bodmi a štvoruholník . Narysujte obraz štvoruholníka obraz v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť. Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti. Určte analytické vyjadrenie tejto osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy .