Afinná geometria
Zhodnostné zobrazenia
Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení
Geometrické resp. konštrukčné vlastnosti zhodnostných zobrazení nájdete
Tu.
Definícia
Zobrazenie
v rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body
a ich obrazy
platí
.
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small X, Y \in \mathbb E_2 \small X, Y \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5839b5fb11f8de77ed891f6522a7484b.png)
![\small f(X), f(Y ) \small f(X), f(Y )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c087ea9a7726f800f220699b42dfd644.png)
![\small |XY | = |f(X)f(Y)| \small |XY | = |f(X)f(Y)|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d8cb4324bc500c754f20c6fc2a96d58.png)
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Dôkaz
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru.
Nech
sú kolineárne body
, potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne.
Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov
platí
. Bod
leží medzi bodmi
.
Ukážeme, že body
sú kolineárne a zároveň platí
.
. Načrtnite si obrázok.
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small A \neq B \neq C \neq A \small A \neq B \neq C \neq A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e2ece134a80e4fb759eed5c09d8bb7b.png)
![\small \mathbb E^n \small \mathbb E^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/928218657430761f0eabcc172c55276b.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small \mu (ABC) \small \mu (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/339576a850c6951a051b188b17edd45f.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57aeb704b1cab6a566f8b267b676274a.png)
![\small A,C \small A,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd5eb7c3182d4f557f624521b67ecd0d.png)
Ukážeme, že body
![\small f(A), f(B),f(C) \small f(A), f(B),f(C)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25f6a47c148a590ad6b6649325a7271f.png)
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
- Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body
nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
- Teda body
ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod
leží medzi bodmi
vyhovuje podmienkam:
.
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má jednu veľmi zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať
všetky zhodné zobrazenia v rovine. Z toho dôvodu začneme analytickým vyjadrením osovej súmernosti.
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/364837/mod_book/chapter/11779/AfinneZobr_GeomModel_OsovaSum%20%282%29.png)
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu