Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor racionálnych čísel
Hustota racionálnych čísel
Nech
sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body
. Dokážte, že aritmetický priemer
je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky
.
![a,b∈ Q a,b∈ Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a67125f90b12680b35435f55da3c123.png)
![A,B A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png)
![(a+b)/2 (a+b)/2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32aa1f10ed2db3cb33f04be4635cf65c.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png)
Nech
a zároveň
![a=m/n,b=r/s a=m/n,b=r/s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d286006be0382a74f1dd54dc86c1aa81.png)
![a \leq b a \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c586d8795fb2c0aa0d724896e8277e72.png)
- Pre aritmetický priemer
môžu nastať dva prípady:
- Zlomok
je v základnom tvare (nemožno ho krátiť).
- Zlomok
nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo
, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar
. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť
.
- Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok
reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí
- Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché.
- K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť
Nech
je relácia usporiadania na množine
. Ak pre každé dva prvky
s vlastnosťou
existuje prvok
taký, že
, tak množina
sa nazýva husto usporiadaná.
Keďže pre aritmetický priemer
racionálnych čísel
platí
, tak platí aj nasledujúce tvrdenie:
![\leq \leq](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f18400dfd925910c6bede1f332dfc59.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![x,y \in M x,y \in M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/901807be7a4366dea9b6319779607665.png)
![x < y x < y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c294c71450177c22179886dbcfde502b.png)
![z z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25af810aa748842731df94a4b0e9aa06.png)
![x < z < y x < z < y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/795064f68e410172ccda97365c0ececb.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
Keďže pre aritmetický priemer
![AP(a,b) AP(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84b8666832ee844c1b31dd37c79185de.png)
![a \leq b a \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ce3d7e07829b9d3592be707a90b67c0.png)
![a \leq AP(a,b) \leq b a \leq AP(a,b) \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f727c8a92ad2e562387489814f9ee09b.png)
Množina racionálnych čísel je
husto usporiadaná.