Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Grécka matematika

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Dejiny matematiky
Kniha: Grécka matematika
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: utorok, 16 apríla 2024, 22:07

Obsah

Vedecká podstata

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. 

Gréci vychádzali z matematických poznatkov starého Egypta a Mezopotámie.
  1. Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov) 
  2. Matematika sa stáva deduktívnou vedou 
  3. Začali matematické tvrdenia dokazovať 

Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo.

Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles,  Pytagoras, Euklides, Archimedes 
  1. Používali desiatkový systém, ktorý ale nebol pozičný 
  2. Gréci mali usporiadaný systém poznatkov o geometrii 
  3. Riešili tri preslávené problémy:
    • trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
    • zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodné) 
    • kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh). 
  4. Vypracujte seminárnu prácu na tému "Zaujímavosti z gréckej matematiky. Použite prácu JAROSLAV FOLTA: DĚJINY MATEMATIKY I

Tháles z Milétu

Tháles (* cca 624 pred Kr. – † cca 546 pred Kr.)  
[Famous Mathematicians]
Je považovaný za prvého gréckeho filozofa, za jedného zo siedmich mudrcov.

Bol úspešným kupcom - ovládol obchod s olejom. Navštívil Egypt, Krétu a Babylóniu. 
  1. V Egypte nadobudol matematické znalosti, vypočítal výšku pyramíd podľa dĺžky ich tieňov 
  2. Pripisujú sa mu dôkazy prvých geometrických viet 
  3. Predpovedal zatmenie Slnka v r 585 pred Kr.
  4. Grécka matematika sa od tohto momentu vyvíjala nezvyčajne rýchlym tempom
  5. S jeho menom sa spája príbeh o tom, ako zbohatol predpovedaním počasia počas zberu olív.
  6. Thales sa tiež zapojil do politických záležitostí obrany Anatólijcov proti Perzii. 
  7. Vypočítal tiež rovnodennosti a slnovraty za rok. 

V geometrii je mu pripisovaná formulácia najjednoduchších planimetrických poučiek  
Pravdepodobne boli len sformulované. Uvádzame najznámejšie jeho tvrdenia: 
  1. Priemer delí kruh na dve polovice
  2. Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú zhodné
  3. Ak sa dve priamky pretínajú, tak protiľahlé vrcholové uhly sú zhodné
  4. Všetky uhly nad priemerom sú pravé (tzv. Thálesova veta) 
  5. Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú v dvoch uhloch a strane
Tháles dobre ovládol pojem podobnosti trojuholníkov a využíval ju nielen na meranie výšky pyramíd, ale aj na zisťovanie vzdialenosti lodí na mori. 
Spracované podľa práce Jindřich Bečvář: Hrdinský věk řecké matematiky. Dostupné na https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400590  

Výška pyramídy

Tháles a podobnosť trojuholníkov   
  

Dušan Jedinák v práci O starovekých matematikoch uvádza:  Egyptský kňaz a mladý Táles z Milétu stáli za slnečného dňa neďaleko pyramídy a uvažovali o určení jej výšky. 
    • Táles sa pousmial: Zmeriam výšku pyramídy. 
    • Kňaz sa nedôverčivo spýtal: Ako? 
    • Ak bude môj tieň práve taký dlhý ako je moja telesná výška, tak v tom okamihu musí merať dĺžka tieňa pyramídy práve toľko, ako je vysoká pyramída. 

Jednoduchosť riešenia skrývala matematickú podstatu podobnosti trojuholníkov  

Pytagoras zo Samos

Pytagoras(* cca 569 pred Kr. – † cca 475 pred Kr.)  
 
Pytagoras bol politik, filozof, mysliteľ a matematik. 

Pochádzal z ostrova Samos, ktorý je neďaleko Milétu aj Efeze. Neskôr sa presťahoval do Krotónu (Croton) v južnom Taliansku, kde založil filozofickú školu. 
  1. Pytagorova škola mala charakter náboženskej školy či sekty 
  2. Z Krotónu boli Pytagorejci vyhnaní
  3. Pytagoras snáď zomrel v Metapontu

Pytagoras zohral dôležitú úlohu vo vývoji matematiky, žiaľ vieme pomerne málo o jeho matematických úspechoch.  
    Na Pytagora mal významný vplyv Tháles.
  1. Pytagoras navštívil Thálesa v Milétu, keď mal asi 20 rokov a Táles bol už starý muž. 
  2. Na odporúčanie Tálesa Pytagoras navštívil Egypt, kde si prehĺbil vedomosti z geometrie. 
  3. V roku 525 pred Kr. Pytagoras bol po Perzskej vojne s Egyptom zajatý a prevezený do Babylonu. 
  4. V Babylone mal možnosť zoznámiť sa s rozvinutou babylonskou aritmetikou. 
  5. Približne 520 rokov pred naším letopočtom Pytagoras sa vrátil do Samos.

Pytagorova škola

Grécku matematiku podstatne ovplyvnila Pytagorova škola

V Raphaelovej freske The School of Athens je Pythagoras zobrazený ako mladý muž. 

    Pôsobenie Pytagorovej školy malo obrovský vplyv na ďalší rozvoj gréckej matematiky. 
    Pytagorejci presadzovali štúdium kvadrivia - geometrie, aritmetiky, astronómie a hudby.

Pytagorejci číslo 1 považovali za základný stavebný kameň aritmetiky

  1. Tvrdili, že číslo 1 pochádza priamo od Boha ako základ všetkých ďalších čísel.
  2. Presadzovali mystiku čísel: "veci sú čísla".
  3. Prirodzené čísla 2, 3, 4, 5, ... boli chápané ako súhrny jednotiek. 
  4. Kladné racionálne čísla boli predstavované pomocou pomerov prirodzených čísel.
     Porovnaj s Peanovou aritmetikou.

Pytagorejci zaviedli čistú matematickú abstrakciu a zovšeobecnenie

Pre nás je samozrejmý krok od riešenia konkrétnej úlohy 2 lode + 2 lode = 4 lode k abstraktnému výsledku 2 + 2 = 4, ktorý sa vzťahuje nielen na lode, ale i na perá, ľudí, domy atď.

Magickým obrazcom pre Pytagorejcov bol pravidelný päťuholník, v ktorom sa uhlopriečky rozdeľujú v pomere zlatého rezu.  
Jeho konštrukcia pomocou pravítka a kružidla bola obrovským úspechom vtedajšej geometrie.

Zlatý rez - bakalárska práca  

Harmónia čísel

Jednotlivé čísla mali podľa Pytagorejcov osobitný význam a moc

    Pytagoras vyhlásil, že základom súcna1) je číslo (arithmos). Sú mu prisudzované tieto výroky:
  1. Čo je najmúdrejšie? - Číslo a potom ten, kto dal veciam mená.
  2. Čo je najkrajšie? - Harmónia. 
  3. Čo je najmocnejšie? - Myšlienka. ... Číslu sa podobá všetko 2).   

Pytagorejci si vytvorili niekoľko kategórií čísel:

  1. Párne čísla boli ženské

  2. Nepárne mužské

  3. Číslo 4 predstavovalo spravodlivosť:  2 + 2 = 2 x 2

  4. Číslo 10 predstavovalo dokonalosť: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 

Číslo 1 predstavuje základnú jednotku, ale aj bod, číslo 2 predstavuje základnú jednotku párnych čísel, ale aj to, že dva rôzne body určujú priamku, číslo 3 predstavuje trojuholník, ale aj to, že tri body mimo rámca v priamke určujú rovinu, číslo 4 predstavuje štvorsten, ale aj to, že štyri body mimo rámca v rovine reprezentujú priestor.

1) Súcno je filozofické označenie. Súcno je to, čo je. Súcno má účasť na bytí, nie je to však bytie samo ako celok.
2) Zlomky předsokratovských myslitelů, ČSAV, Praha 1962, str. 40-41

Figurálne čísla

Na znázornenie figurálnych čísel používali hromádku kamenia, ktoré zoskupovali do geometrických útvarov  

Takto vytvorili tzv. figurálne čísla.
  1. Trojuholníkové čísla: T_1=1,T_2=3,T_3=6, \cdot \cdot \cdot \rightarrow a_n= \frac{1}{2} n(n+1)  
  2. Štvorcové čísla:  S_1=1,S_2=4,S_3=9, \cdot \cdot \cdot \rightarrow a_n= n^2  
  3. Päťuholníkové čísla:  P_1=1,P_5=3,P_3=12, \cdot \cdot \cdot \rightarrow a_n= \frac{1}{2} n(3n-1)   a pod. 
    4. Napríklad, že súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové.

Tento geometrický jazyk im umožňoval dokázať tvrdenia, ktoré dnes väčšinou zapisujeme algebricky.

  1. Súčet dvoch (ne)párnych čísel je číslo párne
    •    
  2. Súčet párneho a nepárneho čísla je číslo párne
    •  

Dokážte takouto metódou, že súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové.  

\( .\)

Pytagorova veta

V každom pravouhlom trojuholníku ABC , v ktorom prepona má veľkosť c a odvesny majú veľkosti a,b platí c^2=a^2+b^2 .
Pytagorova veta popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Umožňuje vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho zvyšných dvoch strán. Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.
  1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
  2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
  3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu → 
  4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
  5. Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie.  
Poznámky.
  1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
  2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
      • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
      • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - A a štvrtý na mieste C a siedmy na B,
      • vznikol pravý uhol ACB.
Veta obrátená k vete Pytagorovej:
Ak v trojuholníku ABC platí pre dĺžky strán  c^2=a^2+b^2 , tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou c .
Cvičenie.
Dané sú sústredné kružnice k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2 . Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami k_1, k_2 a obsahom kruhu nad tetivou XY kružnice k_1 , ktorá sa dotýka kružnice k_2 . Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety1). Otvorte si applet Tu.
Pôvodný Euklidov dôkaz: (pozri kurz Planimetria)
_____________________________________________ 
1) Mamikonova veta →

\( .\)

Euklides z Alexandrie


Euklidov život

O Euklidovom živote vieme veľmi málo. 
Pravdepodobne sa narodil v Aténach okolo roku 340 pre n. l.  Patril k žiakom filozofa Platóna. 

Za vlády egyptského kráľa Ptolemaia I., ktorý vládol v rokoch 306 – 283 pred n. l., Euklides založil a viedol v Alexandrii matematickú školu, v ktorej vyučoval pod vplyvom Platónovej filozofie aritmetiku, geometriu, harmóniu (teóriu hudby) a astronómiu. 
Doporučená literatúra k Euklidovi: JAROSLAV FOLTA/DĚJINY MATEMATIKY I

Okolo roku 300 pred n. l. zhrnul vtedajšie geometrické poznatky, obohatil ich vlastnými matematickými výsledkami a usporiadal do znamenitého diela Stoicheia – Základy. Táto práca sa stala jedinou učebnicou matematiky na celé stáročia.

 
Historky o Euklidovi





Základy - Stocheia


  V Základoch sú vysvetlené základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry.

Celá práca je budovaná podľa jednotnej logickej schémy.
  1. Každá kniha sa začína definovaním – objasnením, názorným popisom všetkých geometrických objektov.
  2. Za nimi nasledujú postuláty – konkrétne vlastnosti geometrických útvarov i axiómy – výpovede o vlastnostiach negeometrických veličín.
  3. Potom sú uvedené matematické vety. s dôkazmi a so všetkými odkazmi na predchádzajúce vety, postuláty a axiómy.

Dielo Základy sa skladá z 13 kníh.

  1. V prvej knihe sa zaoberá trojuholníkmi a rovnobežníkmi, končí dôkazom Pytagorovej vety. 
  2. V druhej rozvíja planimetriu. 
  3. V tretej a štvrtej knihe pokračuje v planimetrii, zaoberá sa kruhom a mnohouholníkmi. 
  4. Piata kniha sa týka náuky o pomeroch. 
  5. V šiestej knihe sa venuje otázkam geometrickej podobnosti. 
  6. V ďalších knihách podáva výklad teórie čísel, hovorí o prvočíslach a zložených číslach, dostáva sa až k teórii iracionálnych čísel. 
  7. V jedenástej, dvanástej a trinástej knihe sa zaoberá stereometriou. 

Päť Euklidových postulátov

  1. Každými dvoma bodmi možno preložiť priamku. 
  2. Každú časť priamky možno neobmedzene predĺžiť. 
  3. Z ľubovoľného bodu možno opísať kružnicu s ľubovoľným polomerom. 
  4. Všetky pravé uhly sú zhodné. 
  5. Bodom neležiacim na danej priamke možno viesť práve jednu rovnobežku s danou priamkou.
Tieto postuláty predpokladajú, že kružidlo a pravítko sú ideálne, majú nekonečnú dĺžku a roztvorenie a tak dovoľujú viesť ideálne priamky alebo kružnice.

V Základoch je dôkaz Pytagorovej vety 

Pozrite si pôvodný dôkaz v kurze Planimetria

Euklides poznal konštrukciu zlatého rezu

Úloha - zlatý rez
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby obdĺžnik, ktorého jedna strana je celá úsečka a druhá jeden z jej dielov, mal rovnaký obsah ako štvorec nad druhým dielom.
alebo
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby pomer dĺžok malej časti k veľkej časti bol taký istý, ako veľkej časti k celku. 
Výsledkom tejto úlohy je iracionálne číslo 1,618033988...
Český preklad Euklidových základov - klikni Tu , Eukleidovy Základy ve školské matematice - klikni Tu

Elektronická verzia Základov

  

Ukážka vety SSS

Ak dva trojuholníky sa zhodujú vo všetkých troch odpovedajúcich si stranách, tak majú zhodné aj odpovedajúce uhly .
Formulácia vety v Euklidových Základoch
    Nech ABC a DEF sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany AB a AC rovné dvom stranám DE a DF , konkrétne AB rovnajúce sa DE a AC rovná DF  a nech majú základňu BC rovnú základni EF . Hovorím, že uhol BAC sa rovná aj uhlu EDF . 
Dôkaz vety sss podľa Euklida upravený podľa súčasnej terminológie 
  1. Nech trojuholník ABC je prenesený na trojuholník DEF tak, aby bod B bol umiestnený na bode E a priamka BC na EF . 
  2. Potom bod C sa prekrýva (zhoduje) s bodom F , pretože BC sa rovná EF .
  3. Ukážeme, že aj úsečka BA resp. CA sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou ED resp. FD . Budeme dokazovať nepriamo.
    • Nech základňa BC sa prekrýva (zhoduje) so základňou EF ale strany BA a AC sa neprekrývajú so stranami ED a DF (zobrazia vedľa ako EG a GF ). Uvažujme prípad, keď bod G bude v polrovine \vec{DFL} :
    •   → 
    • Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I ) vyplýva:
      • Keďže trojuholník EDG je rovnoramenný, tak uhol DGE rovná uhlu GDE . 
      • Z polohy bodu G vyplýva, že uhol GDE je väčší ako uhol GDF .
      • Tiež trojuholník GDF je rovnoramenný, preto aj uhol uhol GDF rovná uhlu DGF . 
      • Z polohy bodu G vyplýva, že uhol GDF väčší ako uhol GDE , čo je spor.
      • Preto musí byť bod D totožný s bodom G . 
    • Podobne postupujeme v prípade, ak bod G bude v polrovine \vec{DFE} .
  4. Ukázali sme, že strana BA resp. AC sa prekrýva so stranou ED resp. DF . To znamená, že uhol BAC sa rovná uhlu EDF . 
  5. Teraz stačí použiť vetu sus a dostávame tvrdenie: trojuholníky  ABC a DEF sú zhodné. 
          ___________________________________________________________________________________________________
1) V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).  Český preklad vety sss. 
\( .\)