Trojuholník - cvičenia

Definícia A (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme)
Nech $A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $ABC$ rozumieme prienik polrovín $\overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
$\triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Otvorte so applet Tu

Základné pojmy

1. Body $A, B, C$ sú jeho vrcholy.
2. Jednotlivé úsečky $AB,BC,AC$ sú strany $\triangle ABC$.
3. Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka $\triangle ABC$.
4. Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín $\overrightarrow {ABC}, \overrightarrow {BCA},\overrightarrow {CAB}$ sú vnútorné body alebo vnútro  $\triangle ABC$.
5. Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri $\triangle ABC$, sú vonkajšie body alebo vonkajšok $\triangle ABC$.

Otvorte so applet Tu

Poznámky

1. Množinové poňatie pojmu trojuholník je vhodné pre SŠ
   Trojuholník $ABC$ je množina všetkých bodov, ktoré súčasne ležia v polrovinách $\vec{ABC} , \vec{BCA},\vec{CAB}$, pričom body $A,B,C$ sú nekolineárne..
2. Pojem trojuholníka vhodný pre 2. stupeň ZŠ
   Nech $A, B, C$ sú tri nekolineárne body. Trojuholník $ABC$ je časť roviny ohraničená úsečkami $ABC$.

Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:

1. vetu o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku
2. trojuholníkovú nerovnosť

Tieto vety sa opierajú o tvrdenia súvisiace s uhlami pri základni rovnoramenného trojuholníka (Euklides Základy T/V), tvrdením o vonkajšom uhle trojuholníka(Základy T/XIII), tvrdením, že oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana (Základy T/XIX) a tvrdením T/XXIX.

Veta (Súčet vnútorných uhlov)
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.

Poznámka.
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia

• T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
• T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"

Interpretácia tvrdenia.
        Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.

Euklidov dôkaz
 applet

Tvrdenie (Trojuholníková nerovnosť, Euklidove Základy: Kniha prvá, Tvrdenie XX)
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.

Dôkaz:
Nech je daný trojuholník $ABC$. Na predĺžení strany $BA$ za bodom $A$ zvoľme bod $D$ tak, aby $DA=AC$ (Post. 2.)
Trojuholník $ACD$ je rovnoramenný, odkiaľ dostávame: $∡ADC= ∡ACD$ (Tvrdenie V)
Teda $∡BCD >∡ADC$. Keďže v trojuholníku $DCB$ oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí $DB > BC$ (Tvrdenie XIX)
 Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky:

1. $BD=AB+AD$
2. $AD=AC$
3. Po dosadení dostávame $BD= AB+AC$
4. V trojuholníku $DCB$ je $∡BCD >∡ADC$, preto   $BD >BC$
5. Záver: $AB+AC>BC$

Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →

Poznámka.
Dôkaz sa opiera o tvrdenie "V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana", ktorý Euklides formuluje vo svojich Základoch ako Tvrdenie XIX.
Urobte analogický dôkaz pre nerovnosti: $AB+BC>AC, BC+AC>AB$. Ako zvolíte bod $D$?

Trojuholníky môžeme rozčleniť podľa viacerých kritérií, napríklad podľa:

1. dĺžky jeho strán
2. veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.

Vzhľadom na dĺžky (veľkosti) strán v danom trojuholníku rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Rovnostranný trojuholník - všetky strany trojuholníka majú rovnakú dĺžku (sú navzájom zhodné). 
2. Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany rovnakej dĺžky (sú navzájom zhodné).
3. Rôznostranný trojuholník - všetky strany majú rozličnú dĺžku (žiadne dve strany trojuholníka nie sú zhodné).

Poznámka.
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla: $a,b,c$) môžu nastať len prípady:
                 1. $a=b=c$, 2. $a=b≠c$, 3. $a≠b, a≠c, b≠c$

Vzhľadom na veľkosti veľkosti najväčšieho vnútorného uhla rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).
2. Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (jeden pravý uhol). 
3. Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.

Ukážka.
V nasledujúcom applete pohybujte vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré charakterizujú veľkostí strán a veľkosti uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrchol trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje).
Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?

Definícia (Deliaci pomer)
Nech $\small A,B,C$ sú tri kolineárne body také, že $\small A \neq B, C \neq B$. Deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom k bodom $\small A,B$ rozumieme reálne číslo $\small \lambda$ (označenie $\small (ABC)$, pre ktoré platí
$\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}$.
Pre bod $\small C \notin AB$ je $\small (ABC) > 0$ a pre bod $\small C \in AB$ je $\small (ABC) < 0$. Pre $\small C =A$ je zrejme $\small (ABC) = 0$.

Poznámka
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo $\lambda$, pre ktoré platí:
$\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.

Dokážte:

1. Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1.
2. Pre tri rôzne kolineárne body platí:
   $\small (BAC) = \frac{1}{(ABC)} ; \;  \;  \;  (\small ACB) = 1-(ABC); \;  \;  \;  (\small CAB) = \frac{1}{1−(ABC)}$ .
3. V rovine sú dané dva pevne body $\small A,B$. Množina všetkých bodov $\small X$ tejto roviny, pre ktoré platí
   $\small \frac{|AX|}{|BX|} = k$ ,
   kde $\small k$ je reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.

Cevova veta
V trojuholníku $\small ABC$ sa priamky $\small {AK},{BK},{CK}$, kde $\small K$ je vnútorným bodom trojuholníka $\small ABC$ a $\small D,E,F$ sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
$\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod.
Dôkaz
1. ($\Rightarrow$): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak $S=1$.

Applet otvoríte Tu
2. ($\Leftarrow$): Ak $\small S=1$, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci¹⁾.

Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar $\small \frac{m}{m} =1$.)
2. Výšky sa pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. $\small \frac{|AF|}{|FB|}$ $= \frac{b \cdot cos \; \alpha }{a \cdot cos \; \beta }$, ak $\small CF$ je výška.)
3. Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)

Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.

Morleyho veta.
Ak v trojuholníku $\small ABC$ zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka $\small KLM$.

Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak. 


Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu

1. V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety $\small usu$ (uhly pri vrchole $\small U$ ... os uhla, pri vrchole $\small Z$ majú veľkosť $30^ \circ$, strana $\small UZ$ spoločná).
2. V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník $\small UXY$ je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
   • zo zhodnosti trojuholníkov $\small UXZ,UYZ$ vyplýva, že uhly pri vrcholoch $\small X,Y$ sú zhodné,
   • preto sú zhodné aj uhly $\small \angle XYU, \angle YXU: \angle UXY = \angle UXZ-60^ \circ$,
   • zároveň vieme, že platí $\small \angle XUY = \angle BUA = 180^ \circ - 2\alpha - 2\beta$.
   • Trojuholníky $\small UXY,UYX$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
   • Odkiaľ pre ich veľkosti dostávame $\small \angle UXY = 180^ \circ -(180^ \circ - \alpha- \beta)= \alpha+ \beta$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
3. Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
• Ukážte, že strana Morleyovho trojuholníka je $\small d = 8 \cdot R \cdot sin( \alpha ) sin ( \beta ) sin ( \gamma )$, kde $\small R$ je polomer kružnice opísanej $\small △ ABC$.

Úloha applet
Vytvorte applet, ktorý zobrazí polrovinu $\overrightarrow{ABC}$.

Úloha konštrukčná
Zostrojte trojuholník ak je dané: strana $a$ , ťažnica $t_c$ uhol $∢CAB$. 

Zadanie → Rozbor →.

Úloha 1 Larson, Príklad 8.1.16 ^[1]
Modelovaním v GeoGebre nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Vyriešila Lenka Šusteková a získala plusový bod.
Vypočítajte dĺžku strany takéhoto rovnostranného trojuholníka. Plusový bod!

Úloha 2
Daný je štvorec $ABCD$ a jeho vnútorný bod $E$, pre ktorý platí $\angle EBC = \angle ECB = 15^\circ$. Dokážte, že trojuholník $AED$ je rovnostranný. Larson, Larson 1.6.10

Úloha 3
Tetiva $KL$ konštantnej dĺžky sa pohybuje po kružnici s priemerom $AB$. Stred tetivy $M$ a päty kolmíc $C, D$ zostrojených v koncových bodov tetivy na priemer kružnice tvoria vrcholy trojuholníka. Dokážte, že trojuholník $CDM$ je rovnoramenný a nikdy nemení svoj tvar. Larson, Larson, 1.2.1

Vytvorte applet, ktorý zobrazí polrovinu $\overrightarrow{ABC}$.

applet

Zostrojte trojuholník ak je dané: strana $a$ , ťažnica $t_c$ uhol $∢CAB$.
 applet

Zostrojte trojuholník ak je dané: strana $a$ , ťažnica $t_c$ uhol $∢CAB$.
 applet Kozolková Tu

Úloha. Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Larson, Príklad 8.1.16 ^[1]

Geometrické modelovanie/riešenie pomocou GeoGebry vhodné pre základné školy

Konštrukčné riešenie

Algebraické riešenie pomocou kosínusovej vety vhodné pre stredné školy
$\alpha= cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right)$
$\beta= cos^{-1}\left( \frac{1}{112} \; \left(x - 113 \right) \right)$
$x - 64 - 25 = -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos^{-1} \left( 2 \; \pi - cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right) - cos^{-1} \left( \frac{x - 113}{112} \right) \right)$
Pozri riešenie Tu. Na serveri GeoGebra Tu Zápis riešenia Tu

Daný je štvorec $ABCD$ a jeho vnútorný bod $E$, pre ktorý platí $\angle EBC = \angle ECB = 15^\circ$. Dokážte, že trojuholník $AED$ je rovnostranný. Larson 1.6.10.

Pozri riešenie v GeoGebre Tu

Tetiva $XY$ konštantnej dĺžky sa pohybuje po kružnici s priemerom $AB$. Stred tetivy $M$ a päty kolmíc $C, D$ zostrojených v koncových bodov tetivy na priemer kružnice tvoria vrcholy trojuholníka. Dokážte, že trojuholník $CDM$ je rovnoramenný a nikdy nemení svoj tvar. Larson, 1.2.1.

Pozri riešenie Tu