Triángulo de Morley

Los tres puntos de intersección entre las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera, forman un triángulo equilátero.

Para ver la demostración, mover hacia abajo el deslizador paso a paso. En ella se ha supuesto ∠A = 3α, ∠B = 3β y ∠C = 3γ, de maera que se tiene que  α + β + γ = 60°.

Pueden desplazarse libremente los vértices A, B y C del triángulo.

En el paso 5 de la demostración puede observarse que el ángulo entre las rectas AB e YX es 2α - (α + β) = α - β. Igualmente, entre las rectas BC y ZY es β - γ , y entre  CA y XZ es  γ - α. 

También puede demostrarse trigonométricamente con fácilidad, haciendo uso del teorma del seno y del coseno, y de las fórmulas de adición de ángulos. Se puede ver así que el lado del triángulo de Morley es d = 8Rsen(α)sen(β)sen(γ), siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al △ABC.

\text{Posúvaním nadol zobrazíte ukážku

\text{1. “Trisektory” }∠A , ∠B\text{ sa pretínajú na }Z,U. \text{ V trojuholníku }\triangle AUB \
\text{    sa osi vnútorných uhlov pretínajú v jednom bode. Preto } UZ\text{ je os } ∠AUB.

\text{ 2. Vezmite } X ∈ BU, Y ∈ AU \text{ tak, aby úsečky }  ZX ,ZY\
     \text{     zvierali s osou } UZ \;   30°\text{ uhly }⇒\triangle XUZ≅\triangle YUZ (usu)

 3. \;  \; \triangle XYZ \text{ je rovnostranný, lebo } ZX≅ZY

\text{4. Vezmime }X '∈ AC ,  Y' ∈ BC \text{ tak, že }  AX '= AZ,  BY' = BZ\
     \;  \; \;   \;  \; ⇒ \triangle YZA≅ \triangle YX'A (sus);  \;  \triangle XZB≅ \triangle XY'B (sus) \
      \;  \; \;   \;  \; ⇒ X'Y = YZ = YX = ZX = XY '

\text{5. Súčet uhlov }3α +3β +3γ=180° \text{ a  } ∠UYX  = α + β = 60° - γ \
     \;  \;  \;  \;  \; \text{osová súmernosť }o=AU:∠UYX'=∠UYZ = 60° - γ + 60° = 120° - γ ⇒\
     \;  \;  \;  \;  \; ∠X'YX =∠UYX'+ ∠UYX= (120º - γ )+ (60° - γ) = 180°- 2γ

180°-2γ

180°-2γ

6.  \;  \;  \; X'YXY' \text{ je rovnoramenný lichobežník, preto je vpísaný do kružnice }w ⇒\
    \;  \;  \; \;  \;  \; \triangle OX'Y, ..., \triangle OXY'  \text{ rovnoramenné }⇒  ∠OYX' = ∠OXY' = \frac{1}{2}\left( 180° - 2γ   \right)  \
   \;  \;  \; \;  \;  \; ⇒ ∠X'OY = ∠YOX = ∠XOY' = 2γ

2γ

2γ

2γ

\text{ 7. kružnicový oblúk k tetive }X'Y' \text{  má veľosť  }3γ \text{ (polovica stredového 6γ),} \
 \text{     odkiaľ }∠C = 3γ\text{ , preto }C ∈ w

\text{ 8.  }CY, CX \text{ sú “trisektory” uhla }∠C ⇒      \triangle XYZ \text{ je Morleyov trojuhoník.

γ

90°-γ

A = (0, 0)
B = (10, 0)
C = (7, 8)
polígono1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
α_3, β_3, γ_3 = Angle(polígono1)
B' = Rotate(B, α_3 / 3, A)
B'_1 = Rotate(B, (2 * α_3 / 3), A)
C' = Rotate(C, β_3 / 3, B)
C'_1 = Rotate(C, (2 * β_3 / 3), B)
A' = Rotate(A, γ_3 / 3, C)
A'_1 = Rotate(A, (2 * γ_3 / 3), C)
f = Ray(A, B')
g = Ray(A, B'_1)
h = Ray(B, C')
i = Ray(B, C'_1)
j = Ray(C, A')
k = Ray(C, A'_1)
Z = Intersect(f, i)
X = Intersect(h, k)
Y = Intersect(g, j)
polígono2, e, f_1, d = Polygon(Y, Z, X)
α = Angle(B, A, Z)
α_1 = Angle(Z, A, Y)
α_2 = Angle(Y, A, C)
β = Angle(C, B, C')
β_1 = Angle(C', B, C'_1)
β_2 = Angle(C'_1, B, A)
γ = Angle(A, C, A')
γ_1 = Angle(A', C, A'_1)
γ_2 = Angle(A'_1, C, B)
U = Intersect(g, h)
w = Circle(Y, X, C)
X' = Intersect(w, b, 2)
Y' = Intersect(w, a, 2)
l = Segment(U, Z)
δ = Angle(X, Z, U)
ε = Angle(U, Z, Y)
m = Segment(A, Z)
n = Segment(A, U)
q = Segment(B, U)
r = Segment(B, Z)
s = Segment(C, Y)
t = Segment(C, X)
g_1 = Segment(A, Y)
h_1 = Segment(B, X)
o' = 8 (slider from 0 to np, step 1)
np: 8
o: np - o'
ζ = Angle(X, Z, Y)
i_1 = Segment(Y, X')
j_1 = Segment(X, Y')
η = Angle(Y', X, Y)
θ = Angle(X, Y, X')
O = Center(w)
k_1 = Segment(X', O)
l_1 = Segment(O, Y)
m_1 = Segment(O, X)
n_1 = Segment(O, Y')
ι = Angle(X', O, Y)
κ = Angle(Y, O, X)
λ = Angle(X, O, Y')
p = Segment(X', Y')
p_1 = Line(C, Y)
q_1 = Line(C, X)
μ = Angle(Y, C, X)
ν = Angle(O, Y, X')
q1, x', y_1, x_1, y' = Polygon(X', Y, X, Y')