Zavedenie číselných oborov N, Z, Q

Riešte.

1. Určte základ $z$ číselnej sústavy, v ktorej platí: $(332)_z=170$.
2. Číslo $(101B)_{12}$ zapíšte v číselnej sústave o základe 5.
3. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: *333 + 2*22 + 66*6 = **9* .
4. Nájdite celé číslo $x$ a cifru $y$ tak, aby $(360 + 3x)^2= 492y04$ .
5. Vyriešte rovnicu $LIK*LIK=BUBLIK$, kde $L,I,K,B,U$ sú cifry v desiatkovej číselnej sústave.
6. Nahraďte písmená číslicami tak, aby platilo $BARS =(B + A + S)^4$.
7. Vyriešte $KLOP+KLOP+KLOP+KLOP=POLK$, kde $K,L,O,P$ sú cifry v desiatkovej sústave.
8. Stanovte číselnú hodnotu výrazu $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3}+ \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1}{2019 \cdot 2020} +\frac{1}{2020 \cdot 2021}$.
9. Určte posledné dve cifry čísla $3^{2021}$ zapísaného v desiatkovej sústave.

Riešte úlohy. ( $x,y,z \in N$).

1. Pomocou peanových axióm spočítajte: 

3 + 0 = ...	3 × 0 = ...
4 + 3 = ...	4 × 2 = ...

2. Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla platí: 
1. $x= 0+x$           ... vlastnosť nuly 
2. $x+y=y+x$    ... komutatívnosť sčítania  
3. $x \cdot 1=x$              ... vlastnosť jednotky 
V úlohách 2a a 2b použije matematickú indukciu. V úlohe 2c stačí si uvedomiť, že 1=0'.
3. Dokážte, že $\forall x,y \in N : x+y´=x´+y$. 
4. Trojciferné prirodzené číslo má na mieste jednotiek číslicu 3. Ak túto číslicu premiestnime na začiatok čísla, dostaneme nové číslo, ktoré je rovné trojnásobku pôvodného čísla zväčšeného o 1. Určte takéto trojciferné číslo. [Cirjak, M.: Zbierka divergentných ... úloh. Essox. Prešov 2000.
   

Veta.
Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small x\in N$ platí: $\small x=0+x$ .

A. V Peanovej aritmetike budeme dokazovať matematickou indukciou

1. Pre $\small x=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $\small 1= 0+1$ .
• z axiómy IV vieme, že platí $\small 1= 1+0$
• jednotka je nasledovník nuly, teda platí $\small 0+1=0+0'$
• použitím axióm IV a V dostaneme
  $\small 0+1=0+0'=(0+0)'=0'=1=1+0$
• z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí
  $\small 1=1+0=0+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $\small x= 0+x$ platí pre prirodzené číslo $\small x$.
• musíme ukázať, že platí aj pre $\small x+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $\small x+1= 0+(x+1)$.
• upravme ľavú stranu
  $\small x+0')=(x+0)'=x'$
• zároveň pre pravú platí
  $\small 0+(x+1)=0+(x+0')=0+(x+0)'=0+x'=(0+x)'=x'$
  
3. Tým je dôkaz ukončený.

B. V množinovej aritmetike budeme vychádzať z teórie množín

1. Nech $\small A= \lbrace{ n_1, ..., n_x }\rbrace$ je nejaká $\small x-$ prvková množina, pričom $\small \forall x: n_x \neq \ \emptyset$
2. Z definície kardinálnych čísel bude $\small card \ \emptyset  = 0, card \ A  = x$
• Z teórie množín pre zjednotenie ľubovoľných dvoch množín $\small \lbrace{X, Y}\rbrace$ platí komutatívny zákon $\small X\cup Y=Y \cup X$. Dokážte to.
3. Teda platí aj pre množiny $\small A, \emptyset$ 
4. ...
   

Veta.
Dokážte, že platí $\small x+y'=x'+y$ pre $\small \forall x, y \in N$.

Budeme vychádzať z platnosti komutatívnosti sčítania pre prirodzené čísla: $\small x + y=y +x$, pričom budeme dokazovať matematickou indukciou.

• Zrejme pre $\small y=1$ platí
  $\small x + 1'=(x+1)'=(1+x)'=1 + x'$
• Predpokladajme platnosť pre $\small y \leq n: x + y' = y' + x$.
• Ukážeme, že tvrdenie platí pre $\small k+1$.
• Z definície sčítania (axióma VII) dostaneme
  $x + (y+1)'=(x + (y+1))'$
• Využitím asociatívnosti a komutatívnosti dostaneme
  $\small (x + (y+1))'=(x+y+1)'=(y+(x+1))'=y+x'$
• Využitím indukčného predpokladu dostaneme $\small y'+x=x'+y$. Tým je dôkaz ukončený.

Trojciferné prirodzené číslo má na mieste jednotiek číslicu 3. Ak túto číslicu premiestnime na začiatok čísla, dostaneme nové číslo, ktoré je rovné trojnásobku pôvodného čísla zväčšeného o 1. Určte takéto trojciferné číslo.

1. Nech pôvodné číslo je
   $A=100a+10b+3$
2. Zrejme platia nerovnosti:
   $0 \leq a,b \leq9$
3. Podľa zadania bude platiť
   $3(100a+10b+3)+1=300+10a+b$
4. Po úprave dostaneme
   $b=10-10a$
5. Keďže $a$ je cifra, pre ktorú platí $0 \leq a \leq9$, tak
   $a=1$
6. Riešením je číslo
   $A=103$.

Dokážte.

Pre $\small n \geq1$ platí:

1. $\small1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$
2. $\small 1^2 + 2^2 + ... + n^2= \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$
3. $\small n^3-10n$ je násobkom čísla 3.
4. číslo 31 delí $\small 18^{n+1}+13 \cdot 7^{2n}$ je násobkom čísla 3.
5. číslo 4 delí $\small 103^{53}+53^{103}$ je násobkom čísla 3.

Pozrite si riešené úlohy na Príklady.eu alebo na Mathematical Induction - Problems With Solutions 

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:

1. $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$
2. $1^2 + 2^2 + ... + n^2= \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$
3. $n^3-10n$ je násobkom čísla 3.

Riešenie A

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $1^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2$ platí pre $\forall k < n$. 
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme  $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$
4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$ platí pre všetky prirodzené čísla.
   

Riešenie B

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $\frac{1}{4} 1^2 .2^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1^2 + 2^2 + ... + k^2= \frac{1}{6} k (k + 1) (2k + 1)$ platí pre $\forall k < n$.
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme $1^2 + 2^2 + ... + k^2+(k+1)^2= \frac{1}{6} k (k + 1) (2k + 1)+(k+1)^2=$
• odkiaľ postupne dostávame $\frac{1}{6} (k + 1) [ k (2k + 1)+ 6 (k + 1) ] = \frac{1}{6}(k + 1) [ (k + 2) (2k + 3)$
4. Teda platí rovnosť $1^2 + 2^2 + ... + n^2= \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$ platí pre všetky prirodzené čísla.

Riešte.

1. Spočítajte a zdôvodnite:
• $2 \oplus 3$, $2 \oplus (-3)$ 
• $2 \otimes 3$, $2 \otimes (-3)$. 
2. Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla $a,b\in Z$ platí: 
• $(-a) + (-b) =-(a+b)$  
• $(-a)\times (-b) =a \times b$
3. Dokážte, že pre dve triedy $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}$ rozkladu $N×N∕R$ platí :
           $[T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \neq \oslash] \Rightarrow [T_{(a,b)}= T_{(c,d)}]$
   Ak dve triedy majú spoločný aspoň jeden prvok, tak sa rovnajú!
4. Ukážte, že množinu celých čísel možno rozdeliť do troch disjunktných skupín
          $Z_{3k}={0,±3 ,±3,...,±3k,...}$, $Z_{3k+1}={±4 ,±7,...,±(3k+1),...}$ $Z_{3k+2}={±5 ,±8,...,±(3k+2),...}$,
   kde $k$ je prirodzené číslo.
5. V množine celých čísel riešte rovnicu $|3x-5|=2x+10$ a nerovnicu $|2x+1|≤|x-3|$.^[B]
6. Graficky riešte nerovnicu $x^2-8x+10≤0$.
7. Dané sú dve celé čísla $x,y$. Súčet súčtu, rozdielu, súčinu a podielu týchto čísel je 150. Určte čísla $x,y$.
8. Čísla $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti a posledné štyri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí $a_2+a_3+a_4+a_5=4$ a zároveň $a_2.a_5=-8$.^[B]
   
9. Najvýhodnejší počet záclonových úchytiek môžeme vyjadriť postupnosťou: 3, 5, 9, ... Nájdite formulu, ktorá určuje n-tý člen takejto postupnosti. 

Riešte.

1. Spočítajte a zdôvodnite v obore racionálnych čísel:
• $T_{(1,2)} \oplus T_{(4,3)}$, $T_{(-2,3)} \oplus T_{(0,1)}$ 
• $T_{(2,3)} \otimes T_{(1,4)}$, $T_{(-2,5)} \otimes T_{(3,4)}$. 
2. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo $r \in Q$ rôzne od nuly existuje racionálne číslo $-r \in Q$, pre ktoré platí $r \oplus (-r) =0$.
• ukážte, že racionálne číslo $(-r) \in Q$ reprezentuje trieda rozkladu $T_{(-p,q)}$, ak racionálne číslo $r$ reprezentuje trieda $T_{(p,q)}$,
• dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla $a,b \in Q$ platí: $(-a) + (-b) =-(a+b)$.
3. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo $r \in Q$ rôzne od nuly existuje racionálne číslo $r^{-1} \in Q$, pre ktoré platí $r \times r^{-1} =1$.
• ukážte, že racionálne číslo $r^{-1} \in Q$ reprezentuje trieda rozkladu $T_{(q,p)}$, ak racionálne číslo $r$ reprezentuje trieda $T_{(p,q)}$,
• dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla $a,b \in Q$ platí: $a\times (-b) =-(a \times b)$.
4. Dokážte, že $\frac{1}{2}$ nie je celé číslo.
5. Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla $a,b,c \in Q$ platí komutatívny a asociatívny zákon.
6. V množine racionálnych čísel riešte rovnicu $\sqrt{(x^2+2x-3)^2} =  x^2+2x-3$ .^[B]
7. Riešte (graficky) nerovnicu $\frac{2x + 3}{2x + 5} - 3 \geq 0$.
8. Do rovnostranného trojuholníka $ABC$ so stranou dĺžky a je vpísaný štvorec $KLMN$ tak, že strana $KL$ leží na úsečke $AB$ . Úsečka $KL$ je potom stranou ďalšieho rovnostranného trojuholníka, ktorému je opäť ... Vypočítajte súčet obsahov všetkých takto vzniknutých štvorcov. Str. 496, 49.7^[B]
   
9. Nájdite nekonečný desiatkový zápis racionálneho čísla $\frac{1}{2}$. 
10. Vyjadrite číslo $0,2\overline{17}$ v tvare zlomku.^[B]

U1: Riešenie

1. $T_{(1,2)} \oplus T_{(4,3)}=T_{(1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ,2 \cdot 4 )}=T_{(11,8)}= \frac{11}{8}$, 
2. $T_{(-2,3)} \oplus T_{(0,1)}=$ ... , 
3. $T_{(2,3)} \otimes T_{(1,4)}=$ ... , 
4. $T_{(-2,5)} \otimes T_{(3,4)}=$ ... 

U2 a U3: Riešenie.

1. Pre racionálne číslo $r=T_{(p,q)}$ rôzne od nuly $p \neq 0 ,q \neq 0$ platí $T_{(-p,q)} \in Q$. Označme $-r= T_{(-p,q)}$ a počítajme
   $r \oplus (-r) = T_{(p,q)} \oplus T_{(-p,q)} \overset{def}{=} T_{(p+(-p),q)}=T_{(0,q)}=0$
• Nech $a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)}$ sú racionálne čísla, potom pre súčet racionálnych čísel $-a=T_{(-r,s)},-b=T_{(-u,v)}$ dostaneme
  $(-a) \oplus (-b)=T_{(-r,s)} \oplus T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)}$
  operácie sčítania a násobenia v oboroch $N, Z$ sú komutatívne, asociatívne a disributívne, preto
  $T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)} = T_{(-(r \cdot v + u \cdot s), s \cdot v )}= -(a \oplus b)$
Pozri model sčitovania zlomkov Tu
2. Zrejme existuje racionálne číslo $r^{-1} = T_{(q,p)}$, ktoré spĺňa podmienku $r \times r^{-1} =1$. Počítajme
   $r \times r^{-1} = T_{(p,q)} \times T_{(q,p)} \overset{def}{=} T_{(p.q,q.p)}=T_{(1,1)}=1$.
• Nech $a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)}$ sú racionálne čísla, potom pre súčin racionálnych čísel $a=T_{(r,s)},-b=T_{(-u,v)}$ dostaneme
  $(a) \times (-b)=T_{(r,s)} \times T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{(-(r.u), s. v)} = -(a \times b)$.
Pozrite si model násobenia zlomkov Tu

Riešenie.
Nech
$\frac{1}{2} \in Z$,
potom existujú prirodzené čísla
$m,n$ a zároveň platí $m-n= \frac{1}{2}$. 
Po úprave dostaneme
$2(m-n)= 1$. 
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.

Riešenie.

1. Dokážeme platnosť komutatívneho zákona. Z definície súčtu dvoch tried $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}$ v tomto poradí dostávame
   $a)$ $T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}=T_{(a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d) }$
   a pre súčet v opačnom poradí dostávame
   $b)$ $T_{(c,d)} \oplus T_{(a,b)}=T_{(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b ) }$
   Keďže komutatívny zákon platí pre súčet aj súčin v obore celých čísel, tak zrejme platí aj rovnosť
   $(a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d)=(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b )$.
   Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu $1a)$ je rovná pravej strane vo vzťahu $1b)$. Preto platí komutatívny zákon pre sčítanie. 
2. Dokážeme platnosť asociatívneho zákona. Nech triedy $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}, T_{(e,f)}$ reprezentujú tri racionálne čísla, potom z definície súčtu dostávame
   $a)$ $T_{(a,b)} \oplus (T_{(c,d)} \oplus T_{(e,f)}) =T_{(a,b)} \oplus (T_{(c \cdot f+e \cdot d ,d \cdot f) })=T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }$
   Analogickými úvahami ako v prípade $1b)$ ukážeme, že
   $b)$ $(T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}) \oplus T_{(e,f)} =T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }$
   Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu $2a)$ je rovná pravej strane vo vzťahu $2b)$. Preto platí asociatívny zákon.
Tým je dôkaz ukončený.
3. Podobne môžeme postupovať pri dôkaze komutatívnosti a asociatívnosti násobenia racionálnych čísel (DÚ).

Riešenie.
Zrejme platí
$\sqrt{(x^2+2x-3)^2} =\mid x^2+2x-3 \mid$
po dosadení dostávame rovnicu
$\mid x^2+2x-3 \mid = x^2+2x-3$. 
Kvadratická rovnica $x^2+2x-3 =0$ má reálne korene $x_1=-3, x_2=1$ . Preto budeme riešiť pôvodnú rovnicu samostatne v troch intervaloch
$A= ( -\infty,-3), B= (-3,1),C = (1, \infty )$.
Zistíme, že riešením danej rovnice v intervaloch $A, C$ je ľubovoľné racionálne číslo a v intervale $B$ nemá riešenie. Nakoniec zistíme, že čísla -3 a 1 sú riešením.
Odpoveď. Riešením sú racionálne čísla množiny $M= ( -\infty,-3\rangle \cup \langle 1, \infty )$.
 
Grafické riešenie - GeoGebra, otvor applet Tu 

Riešenie.

1. Nech
   $xx$,
   potom

Tým je dôkaz ukončený.

Riešenie.
Výška rovnostranného trojuholníka $ABC$ je rovná $v=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
Veľkosť strany štvorca s určíme využitím podobnosti trojuholníkov $AK_1N_1 \sim AC_0C$:^[1]
$| K_1N_1| = \frac{\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} a=(-3+2 \sqrt{3}) a$.
Pokračujeme určením veľkosti strán ďalších vpísaných štvorcov $K_iL_iM_iN_i (i \geq 2)$ . Potom určíme pomer týchto strán.

Dokážte, že v dvoch po sebe idúcich štvorcoch je pomer strán konštatný.
Tento pomer je koeficient geometrického radu, v ktorom pre prvý člen patí $a_1=(K_1L_1)^2=(-3+2 \sqrt{3})^2=21-12\sqrt{3}$.
Výsledok je ...

Riešenie.
$10a=2,\overline{17} , 1000 \cdot a=217, \overline{17} \\ 1000a-10a=215 \Rightarrow 990a = 215$ odkiaľ
$a= \frac{198}{43}$