Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Riešenie rovníc typu $x^n=a$

Ak reálne číslo $a$ je rovné nule, tak rovnica $x^n=a$ má iba jeden koreň $x=0$.

Ak reálne číslo $a$ je kladné a $n$ je kladné celé číslo, potom rovnica $x^n=a$ má

1. Reálne riešenie $x= \sqrt[n]{a}$ (zápis aj v tvare $a^{ \frac{1}{n} }: 8^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{8} =2$). Skutočnosť, že $a^{\frac{1}{n} }$ je riešením rovnice vyplýva aj z toho, že po dosadení do ľavej strany rovnice dostaneme
$x^n=(a^{ \frac{1}{n} })^n=a^{ \frac{1}{n} } \times a^{ \frac{1}{n} } \times \cdot \cdot \cdot \cdot \times a^{ \frac{1}{n} }=a^{ \frac{n}{n} }=a^1=a$
• v prípade, že $n$ je párne, potom riešením rovnice $x^n=a$ sú aj dva reálne korene, ktoré sú navzájom opačné: t. j.
$x_1=a^{ \frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a} >0$
$x_2=-(a^{ \frac{1}{n} })= -\sqrt[n]{a}$
• ak je $n$ nepárne, potom rovnica$x^n=a$ má aj kladný reálny koreň
  $x=-(a^{ \frac{1}{n} })$.
2. Vo všeobecnosti: Ak reálne číslo $a$ je kladné, tak v obore komplexných čísel má rovnica $n-$tého stupňa práve $n$ koreňov.

Príklad. Vyriešte rovnicu $x^3=1$ v obore komplexných čísel.
Návod:
Vyjadrite hľadané riešenie $x$ v goniometrickom tvare $z=|z|(\cos\alpha + i \sin\alpha )$ alebo použite vzťah
$x^n-1=(x-1) (x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +1 )$.