Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Súčet reálnych čísel
Nech
sú dva rezy na množine racionálnych čísel:
. V ďalšej časti využijeme fakt, že už vieme sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla.
Vytvorme množinu všetkých možných (racionálnych) súčtov , kde sú racionálne čísla.
- Množiny
sú neprázdne, preto existujú prvky
. Množina
je neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo
. - Ukážeme, že množina
je neprázdna. Množiny
sú rezmi, preto existujú prvky
Zrejme pre ľubovoľné prvky
platí
- Nech
, potom platí
, kde
. Nech
je racionálne číslo, pre ktoré platí
(resp.
). Po dosadení dostaneme
,
čo znamená, že je súčtom dvoch racionálnych čísel. - Množina
nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by
bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla
, pričom
. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že
.
Keďže je tiež rez, tak nemá najväčší prvok. Musí existovať racionálne číslo s vlastnosťou . Relácia je monotónna, preto
,
čo je spor s predpokladom, že je najväčším prvkom. Tieto tvrdenia nás oprávňujú definovať súčet reálnych ako súčet dedekindových rezov.
.
To znamená, že , odkiaľ dostávame, že .
Definícia
Majme Dedekindove rezy na množine racionálnych čísel. Množinu nazveme súčtom reálnych čísel.
Majme Dedekindove rezy na množine racionálnych čísel. Množinu nazveme súčtom reálnych čísel.