Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Reálne čísla zavedieme pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.
Podmnožinu
nazývame Dedekindovým rezom množiny
, ak
Dolná časť nemá najväčší prvok.
- podmnožina
je neprázdna množina:
- doplnok podmnožiny v množine je tiež neprázdny: .
- Nech je prvkom rezu a nech má vlastnosť . Potom musí aj racionálne číslo patriť do rezu: .
- Rez nemá najväčší prvok. Ak , tak existuje , pre ktoré je .
Dolná časť nemá najväčší prvok.
Definícia.
Množinu všetkých rezov množiny označíme symbolom . Prvky patriace do množiny nazývame reálne čísla.
Množinu všetkých rezov množiny označíme symbolom . Prvky patriace do množiny nazývame reálne čísla.
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny
, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
- Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
- Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina bola „slušne“ usporiadaná:
- ak podmnožina obsahuje racionálne číslo , tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla
- ak by sme na číselnej osi zobrazili bod reprezentujúci racionálne číslo , tak podmnožina musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu .
- Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu , ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu .
- Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
Vlastnosti rezov.
- Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
- Nech je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina je rezom. Dokážte to.
- Podmnožina reprezentuje racionálne číslo
- množina je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
- ukážte, že zobrazenie
je injektívne.
- V bode 2. zameňte výrokovú formu za . Dostanete rez , ktorý reprezentuje iracionálne číslo .