Predchádzajúci
Nasledujúci

Obor komplexných čísel

Moivreova veta

Francúzsky matematik Abraham de Moivre sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare.
Moivreova veta hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo z=|z|(cos \varphi +i \cdot sin \varphi) a ľubovoľné celé číslo n platí
                                         z^n=|z|^n( \cos\ n \varphi +i \cdot \sin\ n\varphi)
Moivrovu vetu pre mocninu dokážeme napríklad pomocou matematickej indukcie, pričom využijeme súčtové vzorce pre sínus a kosínus. Z Moivreovej vety vyplýva aj jej odvodený tvar pre súčin dvoch komplexných čísel.
Pre súčin dvoch komplexných čísel z_1=|z_1|( \cos \varphi_1 +i \sin\varphi_1),z_2=|z_2|( \cos \varphi_2 +i \sin\varphi_2) platí 
                                        z_1 \otimes z_2 =|z_1| \cdot |z_2|( \cos (\varphi_1+ \varphi_2) +i \sin (\varphi_1+ \varphi_2) )
Poznámky. 
  1. Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru. 
  2. V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebraická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné čísla, má v obore komplexných čísel riešenie. 
  3. To znamená, že obor komplexných čísel už nie je potrebné ďalej rozširovať. 
\( .\) 
Predchádzajúci
Nasledujúci