Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.

Komutatívnosť sčítania
Pre ľubovoľné dve komplexné čísla $x= (x_1, x_2), y=(y_1,y_2)$ platí rovnosť: $(x_1,x_2 ) \oplus (y_1,y_2 )=(y_1,y_2 ) \oplus (x_1,x_2 )$.

1. Dôkaz komutatívnosti: 
• Ľavú stranu skúmanej rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré sme vyjadrili v algebrickom tvare
• dostaneme $(x_1+ix_2 ) \oplus (y_1+iy_2 )=((x_1+y_1 )+i(x_2+y_2 ))$.
• ak využijeme komutatívnosť sčítania reálnych čísel, tak dôjdeme k rovnosti $((x_1+y_1 )+i(x_2+y_2 ))=((y_1+x_1 )+i(y_2+x_2 ))$.
• Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel.
• dostaneme rovnosť $(y_1,y_2 ) \oplus (x_1,x_2 )=((y_1+x_1 )+i(y_2+x_2))$.
• V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel.
2. Dokážte štvrtú vlastnosť konštruktívnym spôsobom:
• predpokladajte, že existuje inverzný prvok $z^{-1}=(x,y)$ ku komplexnému číslu $z=(a,b) \neq (0,0) \Leftrightarrow a^2+b^2 \neq 0$
• potom musí platiť rovnosť $(a,b) \otimes (x,y)=(1,0)$, ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych $x,y$
• upravme ju na tvar $(ax-by,bx+ay)=(1,0)$.
• porovnanie usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
• $ax-by=1, bx+ay=0$,
• ktorej riešením sú reálne čísla $x= \frac{a}{a^2+b^2 } , y= \frac{-b}{a^2+b^2 }$. Pozrite si stránku Matrix calculator.

Absolútnu hodnotu komplexného čísla $z=(x,y)$, označujeme symbolom $|z|$ a definujeme predpisom $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Podiel komplexných čísel $z_1, z_2 \neq 0$ je komplexné číslo v tvare: $\frac{z_1}{ z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{ z_2 }}{|z_2|^2}$ .