Reálne a komplexné čísla: Geometrická interpretácia

Reálne a komplexné čísla

Obor komplexných čísel

Geometrická interpretácia

Geometrická interpretácia - Gaussova komplexná rovina

Existuje bijektívne zobrazenie

$f$ („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel

$C$ na euklidovskú rovinu

$Ε_2$ :

$f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b)$ ,
kde

$Z(a,b)$ je bod

$Z \in E_2$ so súradnicami

$(a,b)$ .
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla

$z=(a,b)$ resp.

$z=a+ib$ je bod

$Z$ so súradnicami

$(a,b)$ . Pozri obrázok.

Zrejme platia rovnosti:

$sin \ \varphi = \frac{b}{r}$ ,

$cos \ \varphi = \frac{a}{r}$ , kde

$r= \sqrt{a^2+b^2}$ a

$\varphi$ je orientovaný uhol

$∢XOZ$ .
Číslo

$r$ predstavuje veľkosť vektora

$\vec{OZ}$ a nazýva sa absolútna hodnota komplexného čísla a označuje sa symbolom

$\mid z \mid$ : platí

$\mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2}$ .
Z rovností

$sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r}$ môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla

$z=(a,b)$ . Dostaneme

$a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi$ . Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebraického tvaru komplexného čísla

$a+ib$ . Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla

Definícia
Zápis komplexného čísla v tvare

$z=\mid z \mid(cos \ \varphi+ i.sin \ \varphi )$ sa nazýva goniometrický tvar komplexného čísla.

Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla

$z= \sqrt{3} -i$ .
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že

$\mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2$ .
Potom určíme veľkosť uhla

$\varphi$ , pre ktorý platí

$cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a

$sin \ \varphi = \frac{1}{2}$ . Uhol, pre ktorý platia tieto dve rovnosti sa nachádza v IV. kvadrante a jeho veľkosť je

$330^ \circ = \frac{11 \pi }{6}$ .
Goniometrický tvar komplexného čísla je

$z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} )$ .

$<span class="nolink">$ .$ $