Reálne a komplexné čísla: Algebraický tvar

Reálne a komplexné čísla

Každé komplexné číslo

$z=(a,b)$ možno zapísať v tvare

$a+ib$ , kde

$a,b$ sú reálne čísla a

$i$ je imaginárna jednotka, pre ktorú platí

$i^2=-1$ .

Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebraických dvojčlenov:
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:

$(a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d))$
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:

$(a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc))$
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.

$c=k,d=0$ ), tak

$k(a+ib)=(ka+ikb)$ .

Definícia
Zápis komplexného čísla v tvare $a+ib$ sa nazýva algebraický.

Nájdite také reálne čísla

$x,y$ , pre ktoré bude platiť:

$(2-i)x+(5+6i)y=1-3i$ .
Riešenie
• ak upravíme ľavú stranu rovnice na tvar a + bi, dostaneme:

$(2x+5y)+i(-x+6y)=1-3i$ .
• ak využijeme vlastnosť, ktorá platí pre rovnosť komplexných čísel, tak dostaneme sústavu rovníc

$2x +5y =1, -x +6y = -3$
Riešením sústavy je dvojica reálnych čísel

$x= \frac{21}{17} , y= \frac{-5}{17}$ .

$<span class="nolink">$ .$ $