Veta 8 - komutatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla platí: .
Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
Pre
podľa vety 3 platí rovnosť:
Predpokladajme, že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
. Ukážeme, že platí aj pre
, čo je ekvivalentné s rovnosťou
.
Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
Využitím dôsledku 1 dostaneme pre pravú stranu
Tým je dôkaz ukončený.
Veta 9 - komutatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla platí: .
Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
Pre
platí rovnosť:
- vlastnosť jednotky
Predpokladajme, že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
. Ukážeme, že platí aj pre
, čo je ekvivalentné s rovnosťou
resp. s rovnosťou
.
Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
.
Využitím dôsledku 2 dostaneme pre pravú stranu
.