Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla
Vlastnosti operácií
Dôkaz.
- Pre
musíme ukázať, že platí rovnosť:
.
Upravujme pravú stranu rovnosti
,
čo je ľavá strana rovnosti. -
Predpokladajme (i.p.), že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
.
Musíme ukázať, že platí aj pre , čo je ekvivalentné s rovnosťou
. (1)
Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
- Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
. - Tým je dôkaz ukončený.
.
Dôkaz
- Pre musíme ukázať, že platí rovnosť: . Z axiómy VI vieme, že platí
- Predpokladajme (i.p.), že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
. Musíme ukázať, že platí aj pre
:
.
Upravujme pravú stranu rovnosti
. - Tým je dôkaz ukončený.
.
Jednotka je nasledovník nuly, teda platí . Teda násobenie nuly a jednotky je komutatívne
.
Dôkaz.