Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Veta 1.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=0+n$.

Dôkaz.

1. Pre $n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $1= 0+1$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $0+1\overset{def.}{=} 0+0' \overset{Axiom V}{=}(0+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0' \overset{def.}{=} 1$,
   čo je ľavá strana rovnosti.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $n \overset{i.p.}{=} 0+n$ platí pre prirodzené číslo $n$.
   Musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $n+1= 0+(n+1)$.        (1)
Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
$n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1$ .
3. Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
   $0+(n+1) \overset{def.}{=} 0+(n+0') \overset{Axiom V}{=} 0+(n+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0+n' \overset{Axiom V}{=} (0+n)' \overset{i.p.}{=} n'=n+1$.
4. Tým je dôkaz ukončený.

Symbol v dôkazoch pre indukčný predpoklad: $\overset{i.p.}{=}$.

Veta 2.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small 0=0 \cdot n$.

Dôkaz

1. Pre $n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $0= 0 \cdot n$.
Z axiómy VI vieme, že platí
$0= 1 \cdot 0$.
Jednotka je nasledovník nuly, teda platí $0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0$. Teda násobenie nuly a jednotky je komutatívne
$0=1 \cdot 0=0 \cdot 1$.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $0= 0 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $n$. Musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$:
   $0= 0 \cdot (n+1)$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $0 \cdot (n+1) \overset{def.}{=} 0 \cdot (n+0') \overset{Axiom V}{=} 0 \cdot (n+0)' = 0 \cdot n'= 0 \cdot n + 0 \overset{i.p.}{=} 0+0=0$ .
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 3.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n+1=1+n$.

Dôkaz.

1. Vo vete 1 sme ukázali, že pre $n=1$ platí rovnosť: $1= 0+1$
• z axiómy IV vieme, že platí $1= 1+0$
• z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí $1=1+0=0+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $n+1= 1+n$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $(n+1)+1= 1+(n+1)$
• pre pravú stranu platí $1+(n+1)=1+n'=(1+n)'=(n+1)'=(n+1)+1$, čo je ľavá strana rovnosti
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 4.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=n \cdot 1= 1 \cdot n$.

Dôkaz.

1. Musíme ukázať, že platí rovnosť: $1= 1 \cdot 1$
• z axiómy VII vieme, že platí $1 \cdot 1= 1 \cdot 0'=1 \cdot 0 +1=0+1=1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $n= n \cdot 1$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $n+1= (n+1) \cdot 1$
• pre pravú platí $(n+1) \cdot 1=(n+1) \cdot 0'=(n+1) \cdot 0 +(n+1)=n+1$
3. Predpokladajme, že rovnosť $n= 1 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $n+1= 1 \cdot (n+1)$
• zrejme platí $1 \cdot (n+1)=1 \cdot n'=1 \cdot n +1=n+1$ 
4. Tým je dôkaz ukončený.