Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia.
Matematická indukcia

Axióma VIII

Ak $M$ je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu $(0 \in M )$ a zároveň pre každé prirodzené číslo $\forall n \in N$ platí:
[$n \in M \Rightarrow n' \in M$] potom $M=N$.

Poznámka.
Axiómu VIII môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.

Nech $\phi(n)$ je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná $n$ má definičný obor množinu prirodzených čísel $N$. Ďalej, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky

•      1. Pre $n=0$ výrok $\phi (0)$ je pravdivý.
•      2. Ak formula $[\forall n (\phi (n) \Rightarrow \phi (n'))]$ je tautológia.

Potom $\phi (n)$ platí pre všetky prirodzené čísla.

Cvičenie.
Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$

Riešenie

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $1^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2$ platí pre $\forall k < n$. 
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme  $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$
4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$ platí pre všetky prirodzené čísla.