Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia.
Súčin - ku každým dvom prirodzeným číslam $m, n$ existuje prirodzené číslo $m \cdot n$ nazývané súčin týchto čísel .

Súčin dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma VI

Nula $0$ je agresívny prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Symbolicky $\forall m \in N: m \cdot 0=0$.

Axióma VII 

Pre násobenie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\forall m,n \in N: m \cdot n'=m \cdot n + m$. 

Poznámky.

1. Axióma VII je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje násobiť prirodzené čísla neobmedzene.
2. Podobne ako pri súčte, axiómy VI a VII definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla a nuly resp. nasledovníka.
3. V axióme VII je skrytý súčin $m \cdot (n+1)$ , ktorý v súlade s pravidlami v matematike (distributívnosť) chceme, aby sa rovnal súčtu $mn \cdot +m$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $3 \cdot 2$.

Riešenie

1. Zrejme pre prirodzené číslo $2$ platí $2=1'$ .
2. Po dosadení $1'$ za číslo $2$ dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1'$. 
3. Aplikovaním axiómy VII dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1'=(3 \cdot 1+3)$. 
   
4. Opätovným dosadením $0'$ za číslo $1$, dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1+3=3 \cdot 0'+3=(3 \cdot 0+3)+3=3 + 3=6$.