Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech $\small M$ je nekonečná množina a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Nech $\small R \subset P(M)$ je binárna relácia
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$.

Nasledujúca veta hovorí, že relácia $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je reláciou ekvivalencie na množine $\small M$ . Preto existuje rozklad tejto množiny na disjunktné triedy.
Toto je východiskom pre zavedenie prirodzených čísel ako kardinálnych čísel, ak za $\small P(M)$ zvolíme množinu všetkých konečných podmnožín nejakej nekonečnej množiny. Existenciu nekonečnej množiny zabezpečuje axióma z teórie množín.

Veta.
Relácia $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Dôkaz.

1. Binárna relácia $R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je zrejme reflexívna. Stačí uvažovať o identickom zobrazení na množine $A$, ktoré je zrejme bijektívne. V takom prípade dostaneme $A \approx A$, z čoho vyplýva $[A,A] \in R$. 
2. Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu $[A,B] \in R$ musí v zmysle definície relácie $R$ existovať bijekcia $f: A \rightarrow B$. Uvažujme o inverznom zobrazení $f^{-1}:B \rightarrow A$. Také zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí $[B,A] \in R$. Tým sme dokázali, že $R$ je symetrická. 
3. Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je bijekcia. 

Dôsledok.
Relácia $R$ je relácia ekvivalencie na množine $P(M)$. Existuje rozklad množiny $P(M)$ podľa relácie $R$.
Takýto rozklad označíme symbolom $P(M)∕R$. V ďalšej časti budeme skúmať triedy tohto rozkladu.