Množinová aritmetika

Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem ekvivalentnosti dvoch množín.

Definícia.
Hovoríme, že množina $\small A$ je ekvivalentná s množinou $\small B$ , ak existuje prosté zobrazenie $\small \varphi$ množiny $\small A$ na množinu $\small B$.
Skutočnosť, že množina $\small A$ je ekvivalentná s množinou $\small B$ budeme zapisovať symbolom $\small A \approx B$. Zobrazenie $\varphi$ je zrejme bijekcia.

Príklad.
Nech $\small M$ je nekonečná množina a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Definujme binárnu reláciu $\small R \subset P(M)$ tak, aby
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$.
Nech $\small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace$ je množina prirodzených čísel. Zistite, či táto relácia je symetrická. Vypíšte jej niektoré prvky - dvojice podmnožín.

Riešenie
Relácia $\small R$ bude obsahovať napríklad dvojice:
            $\small [ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{0}\rbrace], [ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{1}\rbrace], ...,[ \lbrace{0}\rbrace, \lbrace{n}\rbrace], ...$ jednoprvkových podmnožín
            $\small [ \lbrace{0,1}\rbrace, \lbrace{0,2}\rbrace], ...,[\lbrace{0,1}\rbrace,\lbrace{0,n}\rbrace], ...,[ \lbrace{1,2}\rbrace,,\lbrace{1,n}\rbrace], ...$ dvojprvkových podmnožín
             $\small [ \lbrace{0,1,2}\rbrace, \lbrace{0,1,3}\rbrace], ..., [ \lbrace{1,2,3}\rbrace,\lbrace{1,2,,n}\rbrace], ...$ trojprvkových podmnožín atď.

Nech $\small M$ je nekonečná množina a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Nech $\small R \subset P(M)$ je binárna relácia
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$.

Nasledujúca veta hovorí, že relácia $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je reláciou ekvivalencie na množine $\small M$ . Preto existuje rozklad tejto množiny na disjunktné triedy.
Toto je východiskom pre zavedenie prirodzených čísel ako kardinálnych čísel, ak za $\small P(M)$ zvolíme množinu všetkých konečných podmnožín nejakej nekonečnej množiny. Existenciu nekonečnej množiny zabezpečuje axióma z teórie množín.

Veta.
Relácia $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Dôkaz.

1. Binárna relácia $R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ je zrejme reflexívna. Stačí uvažovať o identickom zobrazení na množine $A$, ktoré je zrejme bijektívne. V takom prípade dostaneme $A \approx A$, z čoho vyplýva $[A,A] \in R$. 
2. Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu $[A,B] \in R$ musí v zmysle definície relácie $R$ existovať bijekcia $f: A \rightarrow B$. Uvažujme o inverznom zobrazení $f^{-1}:B \rightarrow A$. Také zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí $[B,A] \in R$. Tým sme dokázali, že $R$ je symetrická. 
3. Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je bijekcia. 

Dôsledok.
Relácia $R$ je relácia ekvivalencie na množine $P(M)$. Existuje rozklad množiny $P(M)$ podľa relácie $R$.
Takýto rozklad označíme symbolom $P(M)∕R$. V ďalšej časti budeme skúmať triedy tohto rozkladu.

Skúmajme triedy tohto rozkladu

Nech $\small N$ je množina prirodzených čísel a $\small P(M)$ jej potenčná množina. Nech $\small R \subset P(N)$ je binárna relácia
            $\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace$ .
Potom rozklad $\small P(M)/R$ bude obsahovať napríklad triedu:

Označenie pre triedy rozkladov

$\overline{ \lbrace{1}\rbrace}, T_1,\overline{ \lbrace{0,1}\rbrace}, T_2,...$ môžeme nahradiť jednoducho symbolmi $1, 2,...,n,...$, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie prirodzených čísel.

1. Triedu rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine $\emptyset$ môžeme zapísať v tvare: $T_\emptyset= \lbrace{X \in P(M):X \approx \emptyset}\rbrace$. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina. Teda $T_\emptyset= \lbrace{\emptyset}\rbrace$ obsahuje jednu množinu, ktorá má nula prvkov.
2. Triedu rozkladu, ktorá prináleží množine $A= \lbrace{a}\rbrace$ môžeme zapísať v tvare: $T_A= \lbrace{X \in P(M):X \approx \lbrace{a}\rbrace }\rbrace$. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden prvok
3. Ak zvolíme konečnú množinu $N_k= \lbrace{n_1,n_2,...,n_k}\rbrace$, tak trieda rozkladu prislúchajúca množine $N_k$ bude obsahovať všetky množiny, ktoré obsahujú práve $k$ prvkov.

Tieto úvahy nás vedú ku konštatovaniu, že všetky množiny v danej triede rozkladu majú rovnaký počet prvkov. To nás oprávňuje zaviesť pojem kardinálneho čísla množiny.

Definícia.
Každej triede rozkladu $\small T_A= \lbrace X \in S:X \approx A \rbrace$ na systéme $\small S$ všetkých množín priradíme symbol, ktorý nazveme
                                                  kardinálne číslo množiny $\small A$ .
Symboly používané pre kardinálne číslo množiny $\small A$ sú: $\small card(A)$ alebo $\small \overline{\overline{A}}$ , prípadne $\small |A|$.

S kardinálnymi číslami sa stretávajú už žiaci na ZŠ. Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu žiaci na prvom stupni ZŠ, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke.
Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
                                                  
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomte si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny.

Prirodzené čísla ako kardinálne čísla.
Nech $\small S$ je nekonečná množina a nech $\small K$ je ľubovoľná konečná podmnožina množiny $\small S$. Potom množina
                                                  $\small N= \lbrace{card(K);K \subset S}\rbrace$
je množina prirodzených čísel.

Nasledujúci príklad je z pracovného listu prvý ročník základnej školy hovorí o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. 

Príklad.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
                                  
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.

Definícia - sčítanie kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú $\small card (A), card (B)$. Pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo zjednotenia $\small A \cup B$
$\small card (A)+card (B) = card(A \cup B), A \cap B= \emptyset$
V definícii predpokladáme, že množiny $\small A,B$ sú disjunktné.

Ak množiny $\small A,B$ nie sú disjunktné, tak vieme nájsť množiny $\small A,B$, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť
$\small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast$.
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín $\small A,B$ budeme rozumieť súčet kardinálnych čísel množín $\small A^ \ast ,B^ \ast$
$\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)$ .
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín $\small A,B$.

Veta - o súčte kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú množiny, pre ktoré platí $\small A\cap B=\emptyset$ a nech $\small A^\ast,B^\ast$ sú ľubovoľné disjunktné množiny, pre ktoré platí $\small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast$. Potom platí:
$\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)$

Dôkaz.
Stačí ukázať, že existuje bijekcia $\small f:A \cup B \longrightarrow A^\ast \cup B^\ast$:

• množiny $\small A,A^\ast$ sú ekvivalentné, preto existuje bijekcia
  $\small f_1:A \longrightarrow A^\ast$
• podobne pre množiny $\small B,B^\ast$ vieme nájsť bijekciu
  $\small f_2:B \longrightarrow B^\ast$
• definujme zobrazenie $\small f:A\cup B\longrightarrow A^\ast\cup B^\ast$ ako zjednotenie funkcií
  $\small f(x)=\lbrace{f_{1}(x), x \in A}\rbrace \cup \lbrace{f_{2}(x), x \in B}\rbrace$ .
Zobrazenie $\small f(x)$ je zrejme bijekcia.

Cvičenie.
Nech $\small A,B$ sú množiny, pre ktoré platí $\small A=\left\{1,2,3\right\} a B=\left\{3,4\right\}$. Vypočítajte súčet $\small card (A)+card (B)$.

Riešenie.
Keďže množiny $\small A,B$ nie sú disjunktné, nahraďme napríklad množinu $\small B$ inou ale s ňou ekvivalentnou množinou.
Napríklad $B^\ast=\left\{a,b\right\}$, ktorá obsahuje písmená. Potom už bude platiť
$\small A\cap B^\ast=\emptyset$
a podľa predchádzajúcej vety dostaneme:
$\small card\left(A\right)+card\left(B\right)=card\left(A\cup B^\ast\right)=card\left(\left\{1,2,3,a,b\right\}\right)=\mathbf{5}$ .

Definícia - súčin kardinálnych čísel.
Nech $\small A,B$ sú dve konečné, ktorých kardinálne čísla sú $\small card (A), card (B)$. Pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo karteziánskeho súčinu $\small A \times B$
$\small card (A) \cdot card (B) = card(A \times B)$.

Veta.
Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená, že násobenie kardinálnych čísel je 
komutatívne aj asociatívne
distributívne voči sčítaniu.