Množinová aritmetika
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Množinová aritmetika |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 13:30 |
Opis
Peano
Množinová aritmetika
Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem ekvivalentnosti dvoch množín.
Pri jeho zavedení sa budeme opierať o bijektívne zobrazenie medzi dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla „jeden len s jedným“. Takéto pravidlo používajú
aj deti na prvom stupni ZŠ.
Definícia.
Hovoríme, že množina
je ekvivalentná s množinou
, ak existuje prosté zobrazenie
množiny
na množinu
.
Skutočnosť, že množina
je ekvivalentná s množinou
budeme zapisovať symbolom
. Zobrazenie
je zrejme bijekcia.
Hovoríme, že množina
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small \varphi \small \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea170a47ca7b60174b633ae1b3802bbb.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
Skutočnosť, že množina
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small A \approx B \small A \approx B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/341f869deab817df99afd2f759505c99.png)
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d1102fcd20cb8d1367a42df048a5025.png)
Príklad.
Nech
je nekonečná množina a
jej potenčná množina. Definujme binárnu reláciu
tak, aby
.
Nech
je množina prirodzených čísel. Zistite, či táto relácia je symetrická. Vypíšte jej niektoré prvky - dvojice podmnožín.
Nech
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small P(M) \small P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/465ec8649575e3c341cdd5b5d5218907.png)
![\small R \subset P(M) \small R \subset P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27eac7b5e750b69b26d490ef9289f9bf.png)
![\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace \small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/782f09dd57dd917afb64567badbf371d.png)
Nech
![\small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace \small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df04cf2b7778c1089310931171e0b8fd.png)
Ekvivalentné množiny
Nasledujúca veta hovorí, že relácia
je reláciou ekvivalencie na množine
. Preto existuje rozklad tejto množiny na disjunktné triedy.
Toto je východiskom pre zavedenie prirodzených čísel ako kardinálnych čísel, ak za
zvolíme množinu všetkých
konečných podmnožín nejakej nekonečnej množiny. Existenciu nekonečnej množiny zabezpečuje axióma z teórie množín.
![\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace \small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/957577dc49b442d82d1ff43066747a64.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Toto je východiskom pre zavedenie prirodzených čísel ako kardinálnych čísel, ak za
![\small P(M) \small P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/55d647ddf5d9f1bdc326c86a4a6ef996.png)
Dôkaz.
- Binárna relácia
je zrejme reflexívna. Stačí uvažovať o identickom zobrazení na množine
, ktoré je zrejme bijektívne. V takom prípade dostaneme
, z čoho vyplýva
.
- Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu
musí v zmysle definície relácie
existovať bijekcia
. Uvažujme o inverznom zobrazení
. Také zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí
. Tým sme dokázali, že
je symetrická.
- Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je bijekcia.
Triedy rozkladu
Skúmajme triedy tohto rozkladu
Nech
je množina prirodzených čísel a
jej potenčná množina. Nech
je binárna relácia
.
Potom rozklad
bude obsahovať napríklad triedu:
![\small N \small N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/99d6bc79ac349a7076cd0041fa150837.png)
![\small P(M) \small P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/55d647ddf5d9f1bdc326c86a4a6ef996.png)
![\small R \subset P(N) \small R \subset P(N)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d6c742b4d579867c2e472fcce9e18670.png)
![\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace \small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/957577dc49b442d82d1ff43066747a64.png)
Potom rozklad
![\small P(M)/R \small P(M)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5a1c5050c1f0a1e835214cdbea86af60.png)
Označenie pre triedy rozkladov
![\overline{ \lbrace{1}\rbrace}, T_1,\overline{ \lbrace{0,1}\rbrace}, T_2,... \overline{ \lbrace{1}\rbrace}, T_1,\overline{ \lbrace{0,1}\rbrace}, T_2,...](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc297fa7f82b9bf1e170eacbabfc1ec8.png)
![1, 2,...,n,... 1, 2,...,n,...](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/baf676917a910c1d4c003e281b01fba2.png)
-
Triedu rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine
môžeme zapísať v tvare:
. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina. Teda
obsahuje jednu množinu, ktorá má nula prvkov.
- Triedu rozkladu, ktorá prináleží množine
môžeme zapísať v tvare:
. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden prvok
- Ak zvolíme konečnú množinu
, tak trieda rozkladu prislúchajúca množine
bude obsahovať všetky množiny, ktoré obsahujú práve
prvkov.
Kardinálne číslo množiny
Definícia.
Každej triede rozkladu
na systéme
všetkých množín priradíme symbol, ktorý nazveme
kardinálne číslo množiny
.
Symboly používané pre kardinálne číslo množiny
sú:
alebo
, prípadne
.
Každej triede rozkladu
![\small T_A= \lbrace X \in S:X \approx A \rbrace \small T_A= \lbrace X \in S:X \approx A \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/934c5ebee0aee3a98b967ca10290739b.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
kardinálne číslo množiny
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
Symboly používané pre kardinálne číslo množiny
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\small card(A) \small card(A)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f9c540a4ecf105a57b1c16cbffa1d4c.png)
![\small \overline{\overline{A}} \small \overline{\overline{A}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6450f98e98b25baf05eae20f707132c.png)
![\small |A| \small |A|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7707ec0ffa3c0014eb5f859ad9e5d946.png)
S kardinálnymi číslami sa stretávajú už žiaci na ZŠ. Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu žiaci na prvom stupni ZŠ, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke.
Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomte si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny.
Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/170719/mod_book/chapter/3040/s.png)
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomte si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny.
Prirodzené čísla ako kardinálne čísla.
Nech
je nekonečná množina a nech
je ľubovoľná konečná podmnožina
množiny
. Potom množina
je množina prirodzených čísel.
Nech
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
![\small K \small K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bad20f026fd59c642bf658ce10dc0861.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
![\small N= \lbrace{card(K);K \subset S}\rbrace \small N= \lbrace{card(K);K \subset S}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c789085634310c5fb598ab6eb09e2bd9.png)
je množina prirodzených čísel.
Nasledujúci príklad je z pracovného listu prvý ročník základnej školy hovorí o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok.
Napríklad môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod.
Príklad.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/170719/mod_book/chapter/3040/s%20%281%29.png)
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.
Súčet
Definícia - sčítanie kardinálnych čísel.
Nech
sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú
.
Pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo zjednotenia
V definícii predpokladáme, že množiny
sú disjunktné.
Nech
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small card (A), card (B) \small card (A), card (B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/236fd20de581f6c99d263a0b776be7e5.png)
![\small A \cup B \small A \cup B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/626c4c119cd9ffc383e175832ad0f708.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A \cup B), A \cap B= \emptyset \small card (A)+card (B) = card(A \cup B), A \cap B= \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c7f4294868154f91ac4196a859136b7.png)
V definícii predpokladáme, že množiny
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Ak množiny
nie sú disjunktné, tak vieme nájsť množiny
, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť
.
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín
budeme rozumieť súčet kardinálnych čísel množín
.
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín
.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast \small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cd1116f7be5583b02f58f5dd65fdc57.png)
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A^ \ast ,B^ \ast \small A^ \ast ,B^ \ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e5e720750c3f5723036c7107ce29c83.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast) \small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07d9e2bd6ce325f7d24afecaf3efeaf4.png)
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Veta - o súčte kardinálnych čísel.
Nech
sú množiny, pre ktoré platí
a nech
sú ľubovoľné disjunktné množiny,
pre ktoré platí
. Potom platí:
Nech
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A\cap B=\emptyset \small A\cap B=\emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/309b3f4e17db308fe9a0c2d2b6852849.png)
![\small A^\ast,B^\ast \small A^\ast,B^\ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7eb44f9d2dc6746e953f9219f2cdd580.png)
![\small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast \small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e9ab559c4c5c633f4734075a1cfe03e.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast) \small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07d9e2bd6ce325f7d24afecaf3efeaf4.png)
Násobenie
Definícia - súčin kardinálnych čísel.
Nech
sú dve konečné, ktorých kardinálne čísla sú
.
Pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo karteziánskeho súčinu
.
Nech
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\small card (A), card (B) \small card (A), card (B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e2298582048d6487a9e208b0c0b54859.png)
![\small A \times B \small A \times B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7474f95215d080ee3733fc67dc66f120.png)
![\small card (A) \cdot card (B) = card(A \times B) \small card (A) \cdot card (B) = card(A \times B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ac6cbb0cece254881afba28435812cb.png)
Veta.
Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená, že násobenie kardinálnych čísel je
komutatívne aj asociatívne
distributívne voči sčítaniu.
Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená, že násobenie kardinálnych čísel je
komutatívne aj asociatívne
distributívne voči sčítaniu.