Funkcie: Poňatie funkcie jednej premennej v školskej matematike

Poňatie funkcie jednej premennej v školskej matematike

Na základe historického vývoja pojmu funkcia postupne v školskej matematike sa vykryštalizovali tri základné poňatia pojmu funkcia

Veličinové – závislosť premenných veličín (geometrických, fyzikálnych, ...)
Množinové – priraďovanie medzi prvkami daných množín (pilierové na 1. st. ZŠ)
Abstraktné – funkcia ako binárna relácia (číselné funkcie)

Na vhodných príkladoch závislostí medzi dvoma množinami

$A, B$ možno žiakom odvodiť pravidlo, že vždy jednému prvku množiny

$A$ zodpovedá najviac jeden prvok množiny

$B$ . Je vhodné pripomenúť, že naopak to neplatí. Napr. namerané teploty každú celú hodinu v jednom dni.

Funkcia na množine

$A \subset R$ je predpis, ktorý každému číslu

$x \in A$ z množiny priraďuje práve jedno reálne číslo. Množina

$A$ sa nazýva definičný obor.

Zápis funkcie môže vyzerať napríklad nasledovne:

$0 \leq x< 3$ , tak

$f (x) =4$

$3 \leq x< 5$ , tak

$f (x) =x+1$

$6 \leq x< 8$ , tak

$f (x) =11-x$

Tento zápis predstavuje funkciu, ktorá na rôznych intervaloch má iný predpis. Napríklad pre

$x=4$ je

$f(4)=5$ . Hovoríme: hodnota funkcie v bode 4 je rovná 5. Namiesto označenia hodnota funkcie budeme používať termín funkčná hodnota.

→

Množinu všetkých funkčných hodnôt, ktoré funkcia v danom definičnom obore nadobúda, nazývame odbor hodnôt funkcie. Značíme ho symbolom

$H_f$

Poznámky.
Definičný obor označujeme ho symbolom

$D_f$ .
Odbor hodnôt funkcie

$f$ je množina všetkých

$y \in R$ , ku ktorým existuje aspoň jedno

$x$ z definičného oboru funkcie

$f$ tak, že platí

$y=f(x)$ .
Pojmy závislosť, vzťah, priradenie, predpis nie sú matematicky definované pojmy. Používajú sa ako pomocné pojmy v rôznych intuitívnych významoch.
Matematicky vzťah medzi prvkami dvoch množín sa matematicky definuje ako binárna relácia medzi týmito množinami.

Príklad. Určte definičné obory a obory funkcií ... a vytvorte vhodný applet v prostredí GeoGebra.

$<span class="nolink">$ .$ $