ChatGPT: Funkcie

Predstavy o závislostiach javov v prírode pozorovali ľudia od „nepamäti“:

Čím väčšie zviera sa uloví, tým viac ľudí sa nasýti, čím väčší oheň, tým viac tepla a pod.

Starovek

1. Najstaršie dochované matematické poznatky o závislostiach čísel pochádzajú z Mezopotámie, Egypta, Indie a Číny.
2. Veľkým pokrokom bolo uvedomenie si rozdielu medzi diskrétnou a súvislou veličinou, ktoré môžeme sledovať v antickom Grécku. Pytagorova škola skúmala vzťah medzi rôznymi fyzikálnymi veličinami - závislosť dĺžky struny na výške tónu.

Stredovek

1. Arabská matematika – goniometrické funkcie, separované modely konkrétnych kriviek, univerzálny model všeobecnej krivky a jej extrémy.
2. Okolo 12. až 14. storočia sa funkčné myslenie rozvíja aj v Európe. Začína sa vytvárať predstava o zákonoch prírody ako o zákonoch funkčného typu. Objavujú sa teórie zmeny veličiny ako funkcie času.
3. Nicole Oresme (14. st.) vyjadroval veličiny a ich závislosti geometricky. Prvý používal termín funkčná závislosť.

Novovek: Matematika premenných veličín (17. st.). Bol definovaný pojem funkcie a následne vznikol diferenciálny a integrálny počet.

1. René Descartes (1596 - 1650) zaviedol metódu súradníc: Číslo ↔ Poloha bodu.
2. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) zaviedol symboliku, ktorá sa používa dodnes. Zaviedol pojem funkcia. 
   
3. Pojem funkcie vymedzil Leonhard Euler (1707 - 1783), ktorý vo svojom diele najprv definuje premennú a konštantnú veličinu a následne aj funkciu: "Funkcia premennej veličiny je analytický výraz zostavený akýmkoľvek spôsobom z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín."
4. Nikolaj Ivanovič Lobačevskij a Peter Gustav L. Dirichlet zaviedli dnešné klasické poňatie funkcie ako jednoznačného priradenia.
5. Neskôr vďaka teórii množín Richard Dedekind chápal funkciu ako zobrazenie jednej množiny do druhej.

Pojem funkcie na základnej škole začíname propedeutikou , ktorú prezentujú nasledujúce applety.

Na základe historického vývoja pojmu funkcia postupne v školskej matematike sa vykryštalizovali tri základné poňatia pojmu funkcia

Definícia.
Funkcia na množine $A \subset R$ je predpis, ktorý každému číslu $x \in A$ z množiny priraďuje práve jedno reálne číslo. Množina $A$ sa nazýva definičný obor.

Definícia.
Množinu všetkých funkčných hodnôt, ktoré funkcia v danom definičnom obore nadobúda, nazývame odbor hodnôt funkcie. Značíme ho symbolom $H_f$

Graf funkcie $f(x)$ v euklidovskej rovine je množina všetkých bodov $[x, f(x)]$, kde $x$ patrí do definičného oboru $D_f$ funkcie $f$.

Žiaci zo základnej školy majú o grafoch určitú predstavu. Je však dôležité, aby si uvedomili, čo je pre graf funkcie charakteristické.

Ku grafom funkcií sa dajú priradiť nejaké závislosti z reálneho života.

1. Napríklad zaznamenávanie nejakej fyzikálnej veličiny raz za určitú dobu - diskrétny graf 
2. Závislosť výšky hladiny vo vodnej nádrži v závislosti na čase - spojitý graf 

Čo všetko môže žiak z grafu funkcie zistiť?

1. K jednotlivým hodnotám $x$ môže získať ich funkčnú hodnotu  $y = f(x)$ ako druhú súradnicu bodu $X [x,y]$
2. K funkčným hodnotám $f(x)$ získame hodnoty $x$ ako prvé súradnice bodu $X [x,y]$ (môže existovať i nekonečne veľa).
3. Definičný obor určíme pomocou kolmých priemetov všetkých bodov grafu na os $o_x$.
4. Množinu všetkých funkčných hodnôt s využitím kolmých priemetov všetkých bodov grafu na os $o_y$.

Cvičenie.
Načrtnite graf, ktorý ilustruje nasledujúcu situáciu: Teplomer zapisuje nameranú teplotu každú hodinu. Petra zaujímal priebeh teploty 1. apríla. Hodnoty od polnoci až do šiestich do rána boli rovnaké, a to 5 ° C. Následne každú hodinu teplota vzrástla o dva stupne až do desiatej hodín (vrátane). Potom však začalo pršať a teplota v jedenásť hodín klesla až do dvanástich na 11 ° C. V jednu popoludní dážď ustal a začalo svietiť slnko. To spôsobilo opäť oteplenie. V jednu hodinu bolo už 12 ° C, a následne do troch hodín vždy teplota vzrástla o dva stupne. Potom teplota už len klesala vždy každú hodinu o jeden stupeň.

Lineárna funkcia je každá funkcia definovaná na množine reálnych čísel, ktorá je daná v tvare $y=ax+b$ kde $a,b$ sú reálne čísla.

Ak niektoré z parametrov $a,b$ nahradíme nulou, získame špeciálne prípady:
     konštantná funkcia $y=b$
     priama úmernosť $y=ax$
Grafom lineárnej funkcie je priamka. K jeho zostrojenie nám teda stačia iba dva body.

Poznámky
Už v motivačných príkladoch na ZŠ je vhodné zahrnúť prácu s grafom resp. s časťou lineárneho grafu. Žiaci

• zisťujú, ako sa mení graf v závislosti na hodnotách $a,b$,
• by mali prísť na to, čím bude charakteristický graf konštantnej funkcie a graf priamej úmernosti.

Pozrite si GeoGebra knihu: Adriana Šudiová, Lineárna funkcia Tu , applet Cesta autom 1, upravené Tu, applet Bazén Tu.

Cvičenie.

1. Upravte ďalšie applety z knihy Lineárna funkcia od A. Šudiovej.
2. Riešte slovné úlohy (Polák, str.86-87) ktoré interpretujú lineárnu funkciu. Vytvorte k nim vhodné applety .

Kvadratická funkcia je každá funkcia definovaná na množine reálnych čísel, ktorá má tvar:
$f(x)=x^2+ax+c$
kde koeficienty $a,b,c \in R$ pričom $a \neq0$ . Pozri aktivitu GeoGebra Tu.

S týmto predpisom žiakov zoznámime zadaním niekoľkých separovaných modelov, kde budú rôzne koeficienty $a,b,c$ .
Tie by mali zahŕňať aj prípady, keď $a$ je záporné číslo, $b$ je rovné nule alebo $c$ je rovné nule.

• Žiaci načrtnú grafy svojich zadaných funkcií a nasleduje diskusia v triede.
• Všetkým žiakom vyjde parabola, zakaždým však umiestnená iným spôsobom.

Učiteľ má za úlohu správne žiakov naviesť na vyvodenie závislostí medzi rôznymi koeficientmi $a,b,c$ a určitým umiestnením grafu.

Grafom kvadratickej funkcie je vždy parabola, ktorá je súmerná podľa osi rovnobežnej s osou $o_y$ . Ak je:

• koeficient $a > 0$ , ide o funkciu zdola ohraničenú[, minimum má vo vrchole paraboly $V[- \frac{b}{2a}, c -\frac{b^2}{4a}]$
• koeficient $a \leq 0$ , ide o funkciu zhora ohraničenú a maximum má opäť vo vrchole paraboly 
• pozrite si algebraické výpočty (CAS) v GeoGebre, Príklad 2 Tu

Tvar kvadratickej funkcie možno previesť na tvar
      $(x+ \frac{b}{2a} )^2+ (c- \frac{b}{2a}) ^2$,
z ktorého ľahko určíme súradnice vrcholu paraboly.

Cvičenie.
Hospodár chce vytvoriť obdĺžnikovú ohradu. K dispozícii má 36 m pletiva. Aké musia byť rozmery obdĺžnika, aby ohrada ohraničovala čo najväčšiu časť pozemku? 

Pozrite si aktivitu Kvadratická funkcia 1, Autor: Štefan Havrlent, Tu. 

Grafy kvadratických funkcií sa dajú využiť aj pri riešení kvadratických nerovníc alebo pri sústavách rovníc a nerovníc, v ktorých sa kvadratická funkcia vyskytuje.

Po oboznámení žiakov s funkciou nepriama úmernosť, prechádzame pomocou motivačného príkladu na špecifický prípad lomenej funkcie

Definícia.
Nepriama úmernosť je každá funkcia na množine $R∖\lbrace{0}\rbrace$ daná v tvare
                  $y= \frac{k}{x}$,
kde $k$ je reálne číslo rôzne od nuly

Cvičenie.
Vyhľadajte aktivity v GeoGebre, napríklad Lineárna lomená funkcia (František Legát) 

Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa nazýva rovnoosá hyperbola. 

1. Najskôr zostrojíme graf funkcie $f(x)= \frac{1}{x}$, ktorý možno zostrojiť na základe tabuľky s dostatočným počtom rôznych hodnôt pre $x$.
2. Úlohou je zistiť, ako s využitím tohto grafu môžeme získať napríklad graf funkcie $g(x)= \frac{2}{x}$ ...
3. Žiak by si mal uvedomiť, že platí vzťah $g(x)=2f(x)$. Teda nad každý bod grafu funkcie ešte nanesieme jeho vzdialenosť od osi $o_x$.
4. Požadujeme od žiakov, aby vymenovali už známe vlastnosti funkcie nepriama úmernosť.

Definícia.
Lineárne lomená funkcia je každá funkcia na množine $R ∖ \lbrace{\frac{-d}{c}}\rbrace$, vyjadrená v tvare
                   $y= \frac{ax+b}{cx+d}$,
kde $a,b,c,d$ sú reálne čísla, $c \neq0$ a  $ad-bc \neq0$

Najprv žiaci riešia prípad lineárnej lomenej funkcie, $c=1,d=0$. Zlomok čiastočne skrátia a predpis funkcie upravia na tvar $y=a+ \frac{b}{x}$.Postupne žiaci prechádzajú aj k zložitejším zápisom funkcií. Najskôr sa snažia zostrojiť graf na základe tabuľky, neskôr by mali prísť na to, ako nájdu stred hyperboly. Veľmi častou chybou pri určovaní vlastností lomených funkcií je tvrdenie, že funkcia je klesajúca (resp. rastúca), pretože "graf funkcie stále klesá". Žiak v tomto prípade nie celkom pochopil význam pojmu "klesajúca funkcia". Môže to byť spôsobené aj tým, že táto funkcia má bod nespojitosti.

Súčasťou tematického celku Funkcie na SŠ je aj oboznámenie žiakov s vlastnosťami:

• monotónnosť funkcie - (ne)rastúca a (ne)klesajúca funkcia,
• prostá funkcia, ohraničená funkcia,
• párna a nepárna funkcia, periodická funkcia,
• zložená funkcia.

Načrtnite grafy s takýmito vlastnosťami

Definícia.
Funkcia $f$ sa nazýva rastúca, práve keď pre všetky $x_1,x_2 \in D_f$ platí:
         ak je  $x_1 < x_2$ potom  $f(x_1 ) < f(x_2 )$

Funkcia $f$ sa nazýva klesajúca, práve keď pre všetky $x_1,x_2 \in D_f$ platí:
         ak je  $x_1 < x_2$ potom  $f(x_1 ) > f(x_2 )$

Dôležitý je aj pojem rastúca (resp. klesajúca) funkcia v danom intervale. K tomu môžeme použiť graf funkcie, ktorý na určitom intervale "rastie", na inom intervale "klesá".
     • Navrhnite príklady, v ktorých žiaci majú za úlohu zistiť, či ide o funkciu rastúcu alebo klesajúcu na danom intervale.
     • Očakávaná odpoveď: Pre všetky $x \in D_f$ nie je ani rastúca ani klesajúca ale na intervale je ... 
Zavádzame pojmy: monotónna funkcia, rýdzo monotónna ...

Cvičenie.
Navrhnite úlohy pre SŠ, ktoré budú interpretovať tieto vlastnosti funkcií. Vytvorte k nim vhodné applety 

Funkcia $f$ sa nazýva prostá, práve keď pre všetky $x_1,x_2 \in D_f$ platí: Ak je $x_1 \neq x_2$ potom $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$

S týmto pojmom by si mali žiaci spojiť rozdiel medzi konštantnými a s lineárnymi funkciami, pre ktoré je $a \neq 0$.

Príklad.
Mobilný operátor ponúka dva tarify T150 a T0. Pre tarifa T0 nie je nutné zaplatiť mesačný paušál a za minútu telefonovanie zaplatíme 0,13 €/min. Pre tarifa T150 musíme mesačne zaplatiť 15 € a za každú minútu telefonovanie zaplatíme 0,06 €/min.  Určte, prie koľkých mesačne prevolaných minútach je výhodnejšie tarifa T0.

 Riešenie. Výhodnejšia tarifa je vždy tá, ktorá má nižšie hodnoty na osi $o_y$ (cena). Teda v intervale 〈0,100〉 je pre zákazníka výhodnejšie tarifu T0 a od 100 minút vyššie je výhodnejšie tarifa T150.

   →

Funkcia $f$ sa nazýva párna, práve keď sú splnené nasledujúce dve podmienky

1. pre všetky $x \in D_f$ platí $-x \in D_f$
2. pre všetky $x \in D_f$ platí $f(x)=f(-x)$

Funkcia $f$ sa nazýva nepárna, práve keď sú splnené nasledujúce dve podmienky

1. pre všetky $x \in D_f$ platí $-x \in D_f$
2. pre všetky $x \in D_f$ platí $f(-x)=-f(x)$

Funkcia $f$ sa nazýva zdola ohraničená, práve keď existuje číslo
$d \in R$ také, že pre všetky platí $f(x) ≥ d$

Cvičenie.
Navrhnite definície vhodné pre SŠ k vlastnostiam: 
• periodická funkcia  • zložená funkcia • rovnosť funkcií • inverzná funkcia • maximum, minimum 
Navrhnite úlohy pre SŠ, ktoré budú interpretovať tieto vlastnosti funkcií. Vytvorte k nim vhodné applety