Funkcie

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Funkcie

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	piatok, 3 mája 2024, 15:34

Opis

Funkcie

Obsah

Vývoj a vznik pojmu funkcia
Funkcie v školskej matematike
Poňatie funkcie jednej premennej v školskej matematike
- Graf funkcie
Elementárne funkcie
Špecifické vlastnosti funkcií, operácie s funkciami

Vývoj a vznik pojmu funkcia

Predstavy o závislostiach javov v prírode pozorovali ľudia od „nepamäti“: Čím väčšie zviera sa uloví, tým viac ľudí sa nasýti, čím väčší oheň, tým viac tepla a pod.

Starovek

Najstaršie dochované matematické poznatky o závislostiach čísel pochádzajú z Mezopotámie, Egypta, Indie a Číny.
Veľkým pokrokom bolo uvedomenie si rozdielu medzi diskrétnou a súvislou veličinou, ktoré môžeme sledovať v antickom Grécku. Pytagorova škola skúmala vzťah medzi rôznymi fyzikálnymi veličinami - závislosť dĺžky struny na výške tónu.

Stredovek

Arabská matematika – goniometrické funkcie, separované modely konkrétnych kriviek, univerzálny model všeobecnej krivky a jej extrémy.
Okolo 12. až 14. storočia sa funkčné myslenie rozvíja aj v Európe. Začína sa vytvárať predstava o zákonoch prírody ako o zákonoch funkčného typu. Objavujú sa teórie zmeny veličiny ako funkcie času.
Nicole Oresme (14. st.) vyjadroval veličiny a ich závislosti geometricky. Prvý používal termín funkčná závislosť.

Novovek: Matematika premenných veličín (17. st.). Bol definovaný pojem funkcie a následne vznikol diferenciálny a integrálny počet.

René Descartes (1596 - 1650) zaviedol metódu súradníc: Číslo ↔ Poloha bodu.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) zaviedol symboliku, ktorá sa používa dodnes. Zaviedol pojem funkcia.
Pojem funkcie vymedzil Leonhard Euler (1707 - 1783), ktorý vo svojom diele najprv definuje premennú a konštantnú veličinu a následne aj funkciu: "Funkcia premennej veličiny je analytický výraz zostavený akýmkoľvek spôsobom z tejto premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín."
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij a Peter Gustav L. Dirichlet zaviedli dnešné klasické poňatie funkcie ako jednoznačného priradenia.
Neskôr vďaka teórii množín Richard Dedekind chápal funkciu ako zobrazenie jednej množiny do druhej.

_______________________________________________________________________________
1) HEJNÝ, Milan. Teória vyučovania matematiky.
2) Matematika v proměnách věků. Dějiny matematiky, svazek16.
3) The function concept. Tu

$$ .$ $

Funkcie v školskej matematike

Pojem funkcie na základnej škole začíname propedeutikou , ktorú prezentujú nasledujúce applety.

Applet umožňuje zadávať hodnoty nezávisle premennej

$x$ do stĺpca A tabuľky napravo. Graf funkcie aktivujeme zaškrtnutím políčka v pravej dolnej časti appletu. Applet si stiahnite Tu

Pri zavádzaní pojmu funkcia, učiteľ žiakom predloží predpis funkcie a pomocou niekoľkých bodov odvodí jej graf.
Nasleduje zoznam vlastností a mnoho príkladov na precvičovanie.
Pri zavádzaní pojmu funkcia je vhodné najprv žiakom pripomenúť niektoré im známe závislosti z reálneho života, vyjadrené predpisom alebo tabuľkou.

Funkcie na základnej škole

Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy

objavujú kvantitatívne a priestorové vzťahy
zoznámia sa s pojmom premennej veličiny a jej prvotnou reprezentáciou vo forme, tabuliek, grafov a diagramov
skúmajú súvislostí, ktoré smerujú k zavedeniu pojmu funkcie

Funkcie na strednej škole

Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy

objavujú kvantitatívne a priestorové vzťahy
zoznámia sa s pojmom premennej veličiny a jej prvotnou reprezentáciou vo forme, tabuliek, grafov a diagramov
skúmajú súvislostí, ktoré smerujú k zavedeniu pojmu funkcie

________________________________________________________________

http://trilian.ujep.cz/svoc/2013/k3b/Hanzalova_DP.pdf

→

Pri spracovaní tejto sekcie boli použité texty z práce "Hanzalová: Funkce jedné proměnné na střední škole"¹⁾

$$ .$ $

Poňatie funkcie jednej premennej v školskej matematike

Na základe historického vývoja pojmu funkcia postupne v školskej matematike sa vykryštalizovali tri základné poňatia pojmu funkcia

Veličinové – závislosť premenných veličín (geometrických, fyzikálnych, ...)
Množinové – priraďovanie medzi prvkami daných množín (pilierové na 1. st. ZŠ)
Abstraktné – funkcia ako binárna relácia (číselné funkcie)

Na vhodných príkladoch závislostí medzi dvoma množinami

$A, B$ možno žiakom odvodiť pravidlo, že vždy jednému prvku množiny

$A$ zodpovedá najviac jeden prvok množiny

$B$ . Je vhodné pripomenúť, že naopak to neplatí. Napr. namerané teploty každú celú hodinu v jednom dni.

Funkcia na množine

$A \subset R$ je predpis, ktorý každému číslu

$x \in A$ z množiny priraďuje práve jedno reálne číslo. Množina

$A$ sa nazýva definičný obor.

Zápis funkcie môže vyzerať napríklad nasledovne:

$0 \leq x< 3$ , tak

$f (x) =4$

$3 \leq x< 5$ , tak

$f (x) =x+1$

$6 \leq x< 8$ , tak

$f (x) =11-x$

Tento zápis predstavuje funkciu, ktorá na rôznych intervaloch má iný predpis. Napríklad pre

$x=4$ je

$f(4)=5$ . Hovoríme: hodnota funkcie v bode 4 je rovná 5. Namiesto označenia hodnota funkcie budeme používať termín funkčná hodnota.

→

Množinu všetkých funkčných hodnôt, ktoré funkcia v danom definičnom obore nadobúda, nazývame odbor hodnôt funkcie. Značíme ho symbolom

$H_f$

Poznámky.
Definičný obor označujeme ho symbolom

$D_f$ .
Odbor hodnôt funkcie

$f$ je množina všetkých

$y \in R$ , ku ktorým existuje aspoň jedno

$x$ z definičného oboru funkcie

$f$ tak, že platí

$y=f(x)$ .
Pojmy závislosť, vzťah, priradenie, predpis nie sú matematicky definované pojmy. Používajú sa ako pomocné pojmy v rôznych intuitívnych významoch.
Matematicky vzťah medzi prvkami dvoch množín sa matematicky definuje ako binárna relácia medzi týmito množinami.

Príklad. Určte definičné obory a obory funkcií ... a vytvorte vhodný applet v prostredí GeoGebra.

$$ .$ $

Graf funkcie

Graf funkcie

$f(x)$ v euklidovskej rovine je množina všetkých bodov

$[x, f(x)]$ , kde

$x$ patrí do definičného oboru

$D_f$ funkcie

$f$ .

Žiaci zo základnej školy majú o grafoch určitú predstavu. Je však dôležité, aby si uvedomili, čo je pre graf funkcie charakteristické.

Ku grafom funkcií sa dajú priradiť nejaké závislosti z reálneho života.

Napríklad zaznamenávanie nejakej fyzikálnej veličiny raz za určitú dobu - diskrétny graf
Závislosť výšky hladiny vo vodnej nádrži v závislosti na čase - spojitý graf

Čo všetko môže žiak z grafu funkcie zistiť?

K jednotlivým hodnotám $x$ môže získať ich funkčnú hodnotu $y = f(x)$ ako druhú súradnicu bodu $X [x,y]$
K funkčným hodnotám $f(x)$ získame hodnoty $x$ ako prvé súradnice bodu $X [x,y]$ (môže existovať i nekonečne veľa).
Definičný obor určíme pomocou kolmých priemetov všetkých bodov grafu na os $o_x$ .
Množinu všetkých funkčných hodnôt s využitím kolmých priemetov všetkých bodov grafu na os $o_y$ .

Príklad.

Načrtnite graf, ktorý ilustruje nasledujúcu situáciu: Teplomer zapisuje nameranú teplotu každú hodinu. Petra zaujímal priebeh teploty 1. apríla. Hodnoty od polnoci až do šiestich do rána boli rovnaké, a to 5 ° C. Následne každú hodinu teplota vzrástla o dva stupne až do desiatej hodín (vrátane). Potom však začalo pršať a teplota v jedenásť hodín klesla až do dvanástich na 11 ° C. V jednu popoludní dážď ustal a začalo svietiť slnko. To spôsobilo opäť oteplenie. V jednu hodinu bolo už 12 ° C, a následne do troch hodín vždy teplota vzrástla o dva stupne. Potom teplota už len klesala vždy každú hodinu o jeden stupeň.

$$ .$ $

Elementárne funkcie

S funkciami majú žiaci skúsenosti už zo základnej školy, kde sa preberá priama úmernosť.

Začnime motivačnou úlohou:

V obchode prebieha akcia. Cena jedného kg banánov je teraz za 0,75 EUR. Pri jednom nákupe je možné kúpiť akékoľvek množstvo do 15 kg. Zakreslite graf závislosti ceny banánov na množstve (vyberte vhodné jednotky na osi a) a zapíšte predpis funkcie, ktorá túto závislosť popisuje.
Z grafu vyčítajte, koľko bude zákazníka stáť 5 resp. 8 kg banánov a koľko kg si zákazník kúpi za 3 EUR.
Narysujte graf a zapíšte predpis funkcie charakterizujúce situáciu, kedy sa cena banánov zvýšila o 0,4 EUR. Ako sa tento graf zmenil oproti pôvodnému? Aké následky by malo zníženie ceny banánov oproti pôvodnej cene - svoju úvahu overte na príklade.
Diskutujte, ako by sa graf menil pri rôznych zmenách ceny banánov. V tejto úlohe sa žiak zoznámi s konkrétnymi predpismi a grafmi lineárnych funkcií na definičnom obore.

Seminárne cvičenie

Navrhnite vzorové riešenie tejto úlohy pre žiakov ZŠ.
Vytvorte v prostredí GeoGebra graf funkcie, v ktorom bude možné meniť cenu banánov a množstvo nakúpených banánov.

Lineárna funkcia

Lineárna funkcia je každá funkcia definovaná na množine reálnych čísel, ktorá je daná v tvare

$y=ax+b$ kde

$a,b$ sú reálne čísla.

Ak niektoré z parametrov

$a,b$ nahradíme nulou, získame špeciálne prípady:
konštantná funkcia

$y=b$
priama úmernosť

$y=ax$
Grafom lineárnych funkciou je priamka. K jeho zostrojenie nám teda stačia iba dva body.

Už v motivačných príkladoch na ZŠ je vhodné zahrnúť prácu s grafom resp. s časťou lineárneho grafu. Žiaci:

zisťujú, ako sa mení graf v závislosti na hodnotách $a,b$
by mali prísť na to, čím bude charakteristický graf konštantnej funkcie a graf priamej úmernosti.

Pozri GeoGebra knihu: Adriana Šudiová, Lineárna funkcia Tu , applet Cesta autom 1, upravené Tu, applet Bazén Tu

Úloha. Upravte ďalšie applety z knihy Lineárna funkcia od A. Šudiovej.

Riešte slovné úlohy (Polák, str.86-87) ktoré interpretujú lineárnu funkciu. Vytvorte k nim vhodné applety .

$$ .$ $

Kvadratická funkcia

Kvadratická funkcia je každá funkcia definovaná na množine reálnych čísel, ktorá má tvar:
$f(x)=x^2+ax+c$
kde koeficienty

$a,b,c \in R$ pričom $a \neq0$ . Pozri aktivitu GeoGebra Tu

S týmto predpisom žiakov zoznámime zadaním niekoľkých separovaných modelov, kde budú rôzne koeficienty

$a,b,c$ .
Tie by mali zahŕňať aj prípady, keď

$a$ je záporné číslo,

$b$ je rovné nule alebo

$c$ je rovné nule.

Učiteľ má za úlohu správne žiakov naviesť na vyvodenie závislostí medzi rôznymi koeficientmi

$a,b,c$ a určitým umiestnením grafu.

Grafom kvadratickej funkcie je vždy parabola, ktorá je súmerná podľa osi rovnobežnej s osou

$o_y$ . Ak je:

koeficient $a > 0$ , ide o funkciu zdola ohraničenú[, minimum má vo vrchole paraboly $V[- \frac{b}{2a}, c -\frac{b^2}{4a}]$
koeficient $a \leq 0$ , ide o funkciu zhora ohraničenú a maximum má opäť vo vrchole paraboly
pozrite si algebraické výpočty (CAS) v GeoGebre, Príklad 2 Tu

Tvar kvadratickej funkcie možno previesť na tvar
$(x+ \frac{b}{2a} )^2+ (c- \frac{b}{2a}) ^2$ ,
z ktorého ľahko určíme súradnice vrcholu paraboly.

Príklad. Hospodár chce vytvoriť obdĺžnikovú ohradu. K dispozícii má 36 m pletiva. Aké musia byť rozmery obdĺžnika, aby ohrada ohraničovala čo najväčšiu časť pozemku?

Pozri aktivitu Kvadratická funkcia 1, Autor: Štefan Havrlent, Tu

Grafy kvadratických funkcií sa dajú využiť aj pri riešení kvadratických nerovníc alebo pri sústavách rovníc a nerovníc, v ktorých sa kvadratická funkcia vyskytuje.

$$ .$ $

Lineárna lomená funkcia

Žiaci by už mali byť oboznámení s funkciou nepriama úmernosť, preto je vhodné použiť nejaký motivačný príklad tohto špecifického prípadu lomenej funkcie

Nepriama úmernosť je každá funkcia na množine

$R∖\lbrace{0}\rbrace$ daná v tvare

$y= \frac{k}{x}$ ,
kde

$k$ je reálne číslo rôzne od nuly

Vyhľadajte aktivity v GeoGebre, napríklad Lineárna lomená funkcia (František Legát)

Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa nazýva rovnoosá hyperbola.

Najskôr zostrojíme graf funkcie $f(x)= \frac{1}{x}$ , ktorý možno zostrojiť na základe tabuľky s dostatočným počtom rôznych hodnôt pre $x$ .
Úlohou je zistiť, ako s využitím tohto grafu môžeme získať napríklad graf funkcie $g(x)= \frac{2}{x}$ ...
Žiak by si mal uvedomiť, že platí vzťah $g(x)=2f(x)$ . Teda nad každý bod grafu funkcie ešte nanesieme jeho vzdialenosť od osi $o_x$ .
Požadujeme od žiakov, aby vymenovali už známe vlastnosti funkcie nepriama úmernosť.

Lineárne lomená funkcia je každá funkcia na množine

$R ∖ \lbrace{\frac{-d}{c}}\rbrace$ , vyjadrená v tvare

$y= \frac{ax+b}{cx+d}$ ,
kde

$a,b,c,d$ sú reálne čísla,

$c \neq0$ a

$ad-bc \neq0$

Najprv žiaci riešia prípad lineárnej lomenej funkcie, Zlomok čiastočne skrátia a predpis funkcie upravia na tvar $y=a+ \frac{b}{x}$ .
Postupne žiaci prechádzajú aj k zložitejším zápisom funkcií. Pravdepodobne najprv budú skúšať zostrojiť graf na základe tabuľky, neskôr by mali prísť na to, ako nájdu stred hyperboly.
Veľmi častou chybou pri určovaní vlastností lomených funkcií je tvrdenie, že funkcia je klesajúca (resp. rastúca), pretože "graf funkcie stále klesá".
Žiak v tomto prípade nie celkom pochopil význam pojmu "klesajúca funkcia". Môže to byť spôsobené aj tým, že táto funkcii má bod nespojitosti.

$$ .$ $

Sínus

Applet si stiahni Tu

Špecifické vlastnosti funkcií, operácie s funkciami

Súčasťou tematického celku Funkcie na SŠ je aj oboznámenie žiakov s vlastnosťami (druhy funkcií):

Monotónnosť funkcie - (ne)rastúca a (ne)klesajúca funkcia
Prostá funkcia, ohraničená funkcia
Párna a nepárna funkcia, periodická funkcia
Zložená funkcia

Načrtnite grafy s takýmito vlastnosťami

Funkcia

$f$ sa nazýva rastúca, práve keď pre všetky

$x_1,x_2 \in D_f$ platí:
ak je

$x_1 < x_2$ potom

$f(x_1 ) < f(x_2 )$

Funkcia

$f$ sa nazýva klesajúca, práve keď pre všetky

$x_1,x_2 \in D_f$ platí:
ak je

$x_1 < x_2$ potom

$f(x_1 ) > f(x_2 )$

Dôležitý je aj pojem rastúca (resp. klesajúca) funkcia v danom intervale. K tomu môžeme použiť graf funkcie, ktorý na určitom intervale "rastie", na inom intervale "klesá".
• Navrhnite príklady, v ktorých žiaci majú za úlohu zistiť, či ide o funkciu rastúcu alebo klesajúcu na danom intervale.
• Očakávaná odpoveď: Pre všetky

$x \in D_f$ nie je ani rastúca ani klesajúca ale na intervale je ...
Zavádzame pojmy: monotónna funkcia, rýdzo monotónna ...

Navrhnite úlohy pre SŠ, ktoré budú interpretovať tieto vlastnosti funkcií. Vytvorte k nim vhodné applety

$$ .$ $

Prostá funkcia

Funkcia

$f$ sa nazýva prostá, práve keď pre všetky

$x_1,x_2 \in D_f$ platí: Ak je

$x_1 \neq x_2$ potom

$f(x_1 ) \neq f(x_2 )$

S týmto pojmom by si mali žiaci spojiť rozdiel medzi konštantnými a s lineárnymi funkciami, pre ktoré je

$a \neq 0$ .

Príklad

Mobilný operátor ponúka dva tarify T150 a T0. Pre tarifa T0 nie je nutné zaplatiť mesačný paušál a za minútu telefonovanie zaplatíme 0,13 €/min. Pre tarifa T150 musíme mesačne zaplatiť 15 € a za každú minútu telefonovanie zaplatíme 0,06 €/min. Určte, prie koľkých mesačne prevolaných minútach je výhodnejšie tarifa T0.

Riešenie

Najskôr si žiaci musia uvedomiť, že v príklade sú dané dve funkcie:

$f(x)=0,13x, \; \; g(x)=0,03x+15$ ,
kde

$x$ je počet pretelefonovaných minút. Zostrojíme grafy týchto funkcií.

Výhodnejšia tarifa je vždy tá, ktorá má nižšie hodnoty na osi

$o_y$ (cena). Teda v intervale 〈0,100〉 je pre zákazníka výhodnejšie tarifu T0 a od 100 minút vyššie je výhodnejšie tarifa T150.

→

Vytvorte iný príklad a vhodný applet pre SŠ

$$ .$ $

Ďalšie vlastnosti

Funkcia

$f$ sa nazýva párna, práve keď sú splnené nasledujúce dve podmienky

pre všetky $x \in D_f$ platí $-x \in D_f$
pre všetky $x \in D_f$ platí $f(x)=f(-x)$

Funkcia

$f$ sa nazýva nepárna, práve keď sú splnené nasledujúce dve podmienky

pre všetky $x \in D_f$ platí $-x \in D_f$
pre všetky $x \in D_f$ platí $f(-x)=-f(x)$

Funkcia

$f$ sa nazýva zdola ohraničená, práve keď existuje číslo

$d \in R$ také, že pre všetky platí

$f(x) ≥ d$

Funkcia

$f$ sa nazýva zhora ohraničená, práve keď existuje číslo

$d \in R$ také, že pre všetky platí

$f(x)≤d$

Funkcia

$f$ sa nazýva ohraničená, práve keď existuje číslo

$d \in R$ také, že pre všetky platí

$d≤f(x)≤d$

Opäť je vhodné uvádzať konkrétne príklady takýchto funkcií: priemerná rýchlosť automobilu v závislosti na čase alebo teplota v závislosti na čase.
So žiakmi by sa malo diskutovať, či už poznajú nejaký konkrétny predpis ohraničenej funkcie.

Navrhnite definície vhodné pre SŠ:
• periodická funkcia • zložená funkcia • rovnosť funkcií • inverzná funkcia • maximum, minimum • algebraické operácie pre funkcie

Navrhnite úlohy pre SŠ, ktoré budú interpretovať tieto vlastnosti funkcií. Vytvorte k nim vhodné applety

$$ .$ $

Derivácia funkcie

odkaz