Komplexné čísla na strednej škole: Geometrický model komplexných čísel

Komplexné čísla na strednej škole

Zobrazenie množiny všetkých komplexných čísel

$\mathbb{C}$ na množinu bodov euklidovskej roviny

$E_2$ je vzájomne jednoznačné. Táto rovina sa potom nazýva Gaussova rovina.

Z definície goniometrických funkcií sínus a kosínus vyplýva , že platia rovnosti:
(1) sin

$\phi =\frac{b}{r}$ , cos

$\phi =\frac{a}{r}$ ,
kde

$r= \sqrt[]{a^2+b^2}$ a

$\phi$ je orientovaný uhol ∢XOZ.

Číslo

$r$ predstavuje veľkosť vektora

$\vec{OZ}$ . Na základe definície absolútnej hodnoty

$|z|$ komplexného čísla

$z=(a,b)$ platí

$|z|= \sqrt[]{a^2+b^2 }$ . Odkiaľ dostávame, že

$r= \left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right|$ .
Z rovností (1) môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla

$z=(a,b)$ . Dostaneme

$a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi$
Vypočítané hodnoty môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla

$a+ib$ . Dostaneme zápis resp. nový tvar komplexného čísla
$z=|z|($ cos $\phi +i$ sin $\phi)$
ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.

$<span class="nolink">$ .$ $