Komplexné čísla na strednej škole

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Komplexné čísla na strednej škole

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	nedeľa, 5 mája 2024, 15:22

Opis

Obsah

Historické aspekty
- Rozšírenie oboru reálnych čísel
- Tradičné poňatie komplexných čísle na SŠ
Aritmetický model komplexných čísel
Geometrický model komplexných čísel
- Argument komplexného čísla
- Mocniny - Moivreova veta
Exponenciálny tvar
Využitie komplexných čísel pri riešení úloh

Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel je "neriešiteľnosť" rovnice

$x^2+1=0$ . Žiakom už na ZŠ by sme mali odôvodniť, že
Súčet

$x^2+1$ pre ľubovoľné reálne číslo

$x$ vždy bude kladné číslo

Preto rovnica

$x^2+1=0$ nemá v obore reálnych čísel riešenie
Na SŠ sa často použije formulácia: Číslo

$i$ definujeme ako riešenie takejto rovnice. Nech

$i^2=-1$ , potom ...
Vhodnejšie by bola formulácia typu: Na chvíľu si predstavme, že také číslo $i$ už máme. Nech platí $i^2=-1$ , potom ...

Historický rámec zavedenia pojmu komplexného čísla

Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel nebol problém riešenia kvadratickej rovnice so záporným diskriminantom.
Podnetom bol iný problém: algebraické riešenie kubických rovníc.

Kubická rovnica

$az^3+bz^2+bz+c=0$ sa po substitúcii

$z=x- \frac{a}{3}$ redukuje na tvar

$x^3+mx+n=0$ (14.st., Florencia).
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:

$x^3+mx=n$ ,

$x^3+n=mx$ a

$x^3=mx+n$ , kde

$m,n$ sú kladné koeficienty.

Kubickú rovnicu

$t^3+pt+q=0$ môžeme riešiť

substitúciou $t=y- \frac{p}{3y}$ , ktorú použil Thomas Harriot (1560-1621)

dostaneme rovnicu šiesteho stupňa, ktorá po úprave vedie k riešeniu

alebo originál Cardanovou metódou, pozri Wikipédiu. Genialita Cardanovho riešenia spočíta v zavedení

novej neznámej $t$ : $t = u + v$ , po dosadení dostaneme: $u^3+ v^3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0$ .
v zavedení podmienky $3 u v + p = 0$ , stačí položiť $v = -p/{3u}$ a potom $t =u -p/{3u}$

po dosadení dostaneme $-u^3 +p^3/{27u^3}=q$
substitúcia $z=u^3$ vedie ku kvadratickej rovnici s neznámou $z$ .

Rafael Bombeli (1572) zavádza slovné označenie pre imaginárnu jednotku a vytvoril pravidlá pre prácu s rýdzo imaginárnymi číslami.
Leonard Euler (1777) prvý použil písmeno

$i$ a slovo imaginaire.
Komplexné čísla vyjadroval algebrickom v tvare

$z=x \; + \; y \; i \;$ aj goniometrickom tvare

$z=\left| z \right| ( {cos} \; \alpha+ i \; {sin} \; \alpha)$

Zbierka riešených úloh Tu .

$$ .$ $

Rovnica

$x^2+1=0$ nemá v obore reálnych čísel riešenie, preto vytvorme taký číselný obor $\mathbb{C}$ , kde rovnice tohto typu budú mať riešenie.
Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne “ číslo

$i$ , pre ktoré je druhá mocnina rovná

$-1$ .

Predstavme si, že také číslo

$i$ už máme. Nech platí

$i^2=-1$ , potom zrejme bude platiť aj rovnosť

$(2i)^2=(2i) \cdot (2i)=4i^2=-4$ resp. pre ľubovoľné reálne číslo

$k$ bude

$(ki)^2=-(k^2 )$ . Čísla

$i,2i, \cdot \cdot \cdot ,ki, \cdot \cdot \cdot$ nie sú reálne. Nazveme ich „imaginárne čísla“.

Pri vytváraní číselného oboru

$\mathbb{C}$ budeme požadovať, aby

všetky súčty $x+iy$ , kde $x,y$ sú ľubovoľné reálne čísla, patrili opäť do oboru $\mathbb{C}$
dva prvky $x_1+iy_1$ , $x_2+iy_2$ sa rovnali práve vtedy, keď $x_1=x_2 \; \wedge \; y_1=y_2$
boli vhodne definované operácie sčítania a násobenia

Prvky číselného oboru

$\mathbb{C}$ budeme nazývať komplexné čísla a budeme ich zapisovať v tvare

$z=x\; + \; yi \;$ .

Reálne číslo

$x$ sa nazýva reálna časť komplexného čísla

$z$ a označujeme ju symbolom

$Re(z)=x$
Reálne číslo

$y$ sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla

$z$ a označujeme ju symbolom

$Im(z)=x$
Opačné číslo ku komplexnému číslu

$z=x\; + \; yi \;$ je komplexné číslo

$-z=-x\; - \; yi \;$
Komplexne združené číslo ku komplexnému číslu

$z=x\; + \; yi \;$ je komplexné číslo

$\bar{z}=x\; - \; yi \;$

Operácie súčet a súčin v rozšírenom obore

$\mathbb{C}$ zavedieme ako súčet a súčin algebrických dvojčlenov.
Nech sú dané dve komplexné čísla

$z_1=(a+bi), z_2=(c+di)$ , potom pre ich súčet a súčin platí:

súčet $(a+bi) \oplus (c+di)=((a+c)+(b+d)i)$

súčin $(a+bi) \odot(c+di)=((ac-bd)+(ad+bc)i)$

$$ .$ $

Pri zavádzaní komplexných čísel prevažujú tri typy metodického spracovania

Tradičné poňatie je založené na adjunkcii (pridaní) imaginárnej jednotky $i$ k oboru reálnych čísel - staršie učebnice matematiky, O. Petránek (1985), B. Riečan (1987)
Modelové poňatie oboru komplexných čísel vychádza z množiny usporiadaných dvojíc, na ktorej sú vhodne definované operácie sčítania a násobenia - E. Čech (1951)
Kombinované poňatie spočíva v didakticky vhodnom prepojení obidvoch predchádzajúcich poňatí - J. Kabele (1961), novšie učebnice matematiky

Výhody a nevýhody

Pri tradičnom poňatí sa vychádza z nezaručeného predpokladu existencie takéhoto rozšíreného oboru reálnych čísel. Komplexné čísla sa zavádzajú v algebraickom tvare $z=x \; + \; y \; i \;$ . Existencia oboru sa zaistí pomocou aritmetického modelu, v ktorom komplexné čísla sú reprezentované usporiadanými dvojicami $[x,y]$ reálnych čísel. Definitoricky sa položí $[x,y] =x+yi$ .
Pri zavedení komplexných čísel ako usporiadaných dvojíc je didaktickým problémom "absence motivace definice sučinu"¹⁾ komplexných čísel.
Kombinované poňatie je založené na postupných krokoch

Komplexné číslo definujeme ako usporiadanú dvojica reálnych čísel
Definujeme rovnosť a sčítanie usporiadaných dvojíc, násobenie usporiadanej dvojice reálnym číslom
Ukážeme, že platí $[x,y] =x+yi$ pre $i= [0,1]$
Ďalej sa pracuje s algebraickým tvarom $z=x \; + \; y \; i \;$ a popíše sa súčet a súčin komplexných čísel

______________________________________________________
1) Polák, J.: Didaktika matematiky

$$ .$ $

Motivačná poznámka

Komplexné čísla môžeme chápať aj ako usporiadané dvojice reálnych čísel

$(a, b)$ . Z analytickej geometrie vieme, že ľubovoľný bod v rovine je jednoznačne určený usporiadanou dvojicou reálnych čísel - súradníc.

Existuje bijektívne zobrazenie

$f$ („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel

$\mathbb{C}$ na body euklidovskej roviny

$E_2$

$f: \; z= (a,b) \rightarrow Z (a, b)$ ,

kde

$Z (a, b)$ je bod euklidovskej roviny so súradnicami

$a,b$ .

Na strednej škole sa uprednostňuje označenie

$z= [a, b]$

Aritmetický model oboru komplexných čísel

$\mathbb{C}$ je množina všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, na ktorej sú definované operácie

$( \oplus, \odot )$
sčítane $\oplus$ :

$(a,b) \oplus(c,d)=((a+c),(b+d))$
násobenie $\odot$ :

$(a,b) \odot (c,d)=((ac-bd),(ad+bc))$

$$ .$ $

Absolútnu hodnotu (modul, veľkosť) komplexného čísla

$z=x \; + \; y \; i \;$ , označujeme

$|z|$ , deﬁnujeme predpisom

$|z| = \sqrt[]{x^2 + y^2} = \sqrt[]{z \bar{z}} \geq 0$

Vlastnosti absolútnej hodnoty

$|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$|z_1-z_2| = |z_2-z_1|$ |, pre každé $z_1, z_2 \in C$
$|z_1 + z_2| \leq |z_1|+|z_2|$ , pre každé $z_1, z_2 \in C$ (trojuholníková nerovnosť)
Z trojuholníkovej nerovnosti vyplýva nerovnosť $||z_1|-|z_2|| \leq |z_1+z_2|$ pre každé $z_1, z_2 \in C$

Pomocou komplexne združeného čísla a absolútnej hodnoty deﬁnujeme podiel komplexných čísel

$z_1, z_2$ takto:

$\frac{z_1}{ z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{ z_2 }}{|z_2|^2}$ ,

$z_2 \neq 0$

$$ .$ $

Vlastnosti operácií sčítania a násobenia

Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.
Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo (0, 0).
Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo (1, 0).
K ľubovoľnému komplexnému číslu $z=(a, b)$ existuje inverzný prvok $-z=(-a, -b)$ vzhľadom na sčítanie. Takýto prvok budeme nazývať opačné komplexné číslo.
K ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu existuje inverzný prvok vzhľadom na súčin. Budeme ho označovať symbolom $z^{-1}$ .

Navrhnite dôkazy týchto tvrdení vhodné pre žiakov na strednej škole.

$$ .$ $

Zobrazenie množiny všetkých komplexných čísel

$\mathbb{C}$ na množinu bodov euklidovskej roviny

$E_2$ je vzájomne jednoznačné. Táto rovina sa potom nazýva Gaussova rovina.

Z definície goniometrických funkcií sínus a kosínus vyplýva , že platia rovnosti:
(1) sin

$\phi =\frac{b}{r}$ , cos

$\phi =\frac{a}{r}$ ,
kde

$r= \sqrt[]{a^2+b^2}$ a

$\phi$ je orientovaný uhol ∢XOZ.

Číslo

$r$ predstavuje veľkosť vektora

$\vec{OZ}$ . Na základe definície absolútnej hodnoty

$|z|$ komplexného čísla

$z=(a,b)$ platí

$|z|= \sqrt[]{a^2+b^2 }$ . Odkiaľ dostávame, že

$r= \left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right|$ .
Z rovností (1) môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla

$z=(a,b)$ . Dostaneme

$a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi$
Vypočítané hodnoty môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla

$a+ib$ . Dostaneme zápis resp. nový tvar komplexného čísla
$z=|z|($ cos $\phi +i$ sin $\phi)$
ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.

$$ .$ $

Pri odvodzovaní goniometrického tvaru komplexného čísla

$z= (a,b)$ sme ukázali, že platia rovnosti:
(1)

$\cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ , (2)

$\sin \varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Každé reálne číslo

$\varphi$ , ktoré vyhovuje rovniciam (1) nazývame hodnota argumentu komplexného čísla

$z= (a,b)$ .
Pre komplexné číslo

$z = 0$ nie je deﬁnovaná žiadna hodnota argumentu.
Z periodickosti funkcií sínus a kosínus vyplýva, že každé nenulové komplexné číslo $z= (a,b)$ má nekonečne veľa hodnôt argumentu.
Ak

$\varphi_0$ je jedna z nich, potom všetky ostatné sa dajú vyjadriť v tvare $\varphi= \varphi_0+ 2k \pi, k \in Z$ .

Množinu reálnych čísel

$M= \lbrace{\varphi \in R, \varphi=\varphi_0+ 2k \pi, k \in Z }\rbrace$ nazývame argument komplexného čísla

$z \neq 0$ .
Množinu

$M$ budeme označovať symbolom Arg $z$ .

Tú z hodnôt argumentu, pre ktorú platí

$-\pi < \varphi \leq \pi$ , nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla

$z$ a označujeme arg

$z$ .

Poznámka
Na strednej škole je veľmi dôležité neustále zdôrazňovať žiakom, že hodnôt argumentu komplexného čísla je nekonečne veľa.

$$ .$ $

Francúzsky matematik Abraham de Moivre sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare.

Moivreova veta hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo

$z=|z|($ cos

$\phi +i$ sin

$\phi)$ a ľubovoľné celé číslo

$n$ platí
$z^n=|z|^n( \cos\ n \phi +i \sin\ n\phi)$

Z Moivreovej vety vyplýva aj jej odvodený tvar pre súčin dvoch komplexných čísel.

Pre súčin dvoch komplexných čísel

$z_1=|z_1|( \cos \phi_1 +i \sin\phi_1), z_2=|z_2|( \cos \phi_2 +i \sin\phi_2)$ platí:
$z_1 \otimes z_2 =|z_1| \cdot |z_2|( \cos (\phi_1+ \phi_2) +i \sin (\phi_1+ \phi_2) )$

Poznámky

Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru.
V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebraická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné čísla, má v obore komplexných čísel riešenie. To znamená, že obor komplexných čísel už nie je potrebné ďalej rozširovať.
Odmocnina komplexného čísla: Jarník, Jiří: Komplexní čísla a funkce. Praha: Mladá fronta, 1967. Dostupné na Czech Digital Mathematics Library Tu

$$ .$ $

Eulerova identita

$e^{i\varphi}= \cos \varphi+ i\sin\varphi , \; \varphi \in R$

Aplikovaním Eulerovej identity na goniometrický tvar komplexného čísla

$z =\left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right| (\cos \varphi+ i\sin\varphi )$ dostaneme
$z =\left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right|e^{i\varphi}, \; \varphi \in R$
Komplexné číslo

$z =\left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right| (\cos \varphi+ i\sin\varphi )$ sme vyjadrili v inom tvare. Takýto tvar sa nazýva exponenciálny tvar komplexného čísla

Príklad

Vyjadrite v exponenciálnom tvare komplexné čísla

$2+2i,\;\;5i,\;\;-4,\;\;- \sqrt[]{3}+i$

$$ .$ $

Vytvorte samostatné prezentácie na témy
Využitie komplexných čísel pri riešení úloh
Binomická veta a jej využitie pri riešení úloh
Cardanove vzorce a ich využitie pri kubických rovníc
Odporúčaná literatúra - Polák. J.: Didaktika matematiky