Komplexné čísla na strednej škole: Rozšírenie oboru reálnych čísel | VirtualUMB

Komplexné čísla na strednej škole

Komplexné čísla na strednej škole

Rovnica

$x^2+1=0$ nemá v obore reálnych čísel riešenie, preto vytvorme taký číselný obor $\mathbb{C}$ , kde rovnice tohto typu budú mať riešenie.
Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne “ číslo

$i$ , pre ktoré je druhá mocnina rovná

$-1$ .

Predstavme si, že také číslo

$i$ už máme. Nech platí

$i^2=-1$ , potom zrejme bude platiť aj rovnosť

$(2i)^2=(2i) \cdot (2i)=4i^2=-4$ resp. pre ľubovoľné reálne číslo

$k$ bude

$(ki)^2=-(k^2 )$ . Čísla

$i,2i, \cdot \cdot \cdot ,ki, \cdot \cdot \cdot$ nie sú reálne. Nazveme ich „imaginárne čísla“.

Pri vytváraní číselného oboru

$\mathbb{C}$ budeme požadovať, aby

všetky súčty $x+iy$ , kde $x,y$ sú ľubovoľné reálne čísla, patrili opäť do oboru $\mathbb{C}$
dva prvky $x_1+iy_1$ , $x_2+iy_2$ sa rovnali práve vtedy, keď $x_1=x_2 \; \wedge \; y_1=y_2$
boli vhodne definované operácie sčítania a násobenia

Prvky číselného oboru

$\mathbb{C}$ budeme nazývať komplexné čísla a budeme ich zapisovať v tvare

$z=x\; + \; yi \;$ .

Reálne číslo

$x$ sa nazýva reálna časť komplexného čísla

$z$ a označujeme ju symbolom

$Re(z)=x$
Reálne číslo

$y$ sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla

$z$ a označujeme ju symbolom

$Im(z)=x$
Opačné číslo ku komplexnému číslu

$z=x\; + \; yi \;$ je komplexné číslo

$-z=-x\; - \; yi \;$
Komplexne združené číslo ku komplexnému číslu

$z=x\; + \; yi \;$ je komplexné číslo

$\bar{z}=x\; - \; yi \;$

Operácie súčet a súčin v rozšírenom obore

$\mathbb{C}$ zavedieme ako súčet a súčin algebrických dvojčlenov.
Nech sú dané dve komplexné čísla

$z_1=(a+bi), z_2=(c+di)$ , potom pre ich súčet a súčin platí:

súčet $(a+bi) \oplus (c+di)=((a+c)+(b+d)i)$

súčin $(a+bi) \odot(c+di)=((ac-bd)+(ad+bc)i)$

$<span class="nolink">\( .$ \)