Číselné obory na základných a stredných školách: Racionálne čísla

Číselné obory na základných a stredných školách

Racionálne čísla

Príklad
Mamka išla nakúpiť zeleninu. Kúpila 6 balení zemiakov a 3kg uhoriek. Spolu tak mala v taške 6kg zeleniny. Na hodine matematiky mali žiaci 8. triedy vypočítať koľko kg váži 1 balenie zemiakov.

Pri riešení dospeli k algebrickej rovnici

$6x+3=6$ , ktorej koeﬁcienty

$1, 3, 6$ sú celé čísla. Takúto rovnicu však nedokážu vyriešiť v obore celých čísel. Prečo?

Ľahko sa presvedčíme, že rovnica

$6x+3=6$ nemá v obore celých čísel riešenie.

Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo

$-3$ a dostaneme rovnicu

$6x=3$ , ktorej riešením nemôže byť celé číslo.
Na ľavej strane rovnice

$6x=3$ máme párne číslo

$2(3x)=2k$ , ale na pravej strane nepárne číslo

$3=2.1+1$ . To nie je možné!

Východisko pri zavádzaní racionálnych čísel v školskej matematike je pojem zlomku.

Na chvíľu predpokladajme, že existuje celé číslo, ktoré je riešením danej rovnice $6x=3$ .
Z vlastností operácie násobenia vieme, že také číslo $x$ je rovné podielu $3 : 6$ . Teda muselo by platiť: $x= \frac{3}{6}$ .
Zároveň zo základnej školy vieme, že rovnicu $6x+3=6$ môžeme upraviť na tvar $2x+1=2$ .
Riešením tejto rovnice je aj číslo $x= \frac{1}{2}$ , ktoré tiež nie je celé.
Zistili sme, že rovnica $6x+3=6$ sú má dve riešenia: „podiely“ $(3:6),(1:2)$ resp. zlomky $x= \frac{3}{6}$ , $x= \frac{1}{2}$ .

Záver: Keďže rovnica má len jedno riešenie, tak musí platiť

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

$<span class="nolink">$ .$ $