Didaktika matematiky

Jedna z náročných ale zároveň dôležitých etáp pri rozširovaní číselných oborov na základnej škole je rozšírenie oboru prirodzených čísle na obor celých čísel. Zavedenie oboru celých čísel je v súčasnosti zakotvené v učebných osnovách pre 8. ročník ZŠ. Východiskovým pojmom je opačné číslo.
Prv než začneme s charakteristikou procesu výstavby celých čísel na ZŠ a komparáciou učebníc matematiky používaných na ZŠ, uvedieme teoretické východiská k tejto problematike.
Motiváciou pri zavádzaní celých čísel môže byť problém, ktorý nastane pri pokuse riešiť niektoré lineárne rovnice v obore prirodzených čísel. Napríklad:

Jednoduchá algebraická rovnica $x+5=2$, ktorej koeficienty $1,2,5$ sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.

1. Ak budeme aplikovať ekvivalentnú úpravu „odčítanie“ čísla $5$ k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme $(x+5)-5=2-5$.
2. Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme $x$ a na pravej strane dostanem riešenie v tvare $2-5$.
3. Veľmi ľahko sa presvedčíme, že rozdiel $2-5$ v obore prirodzených čísle neexistuje. Preto je nutné vytvoriť číselný obor, v ktorom takýto rozdiel existuje.
4. Myšlienka vytvorenia nového číselného oboru pomocou "rozdielov dvoch prirodzených čísel"  je nosnou pri zavádzaní oboru celých čísel v teoretickej aritmetike na VŠ.

Vysoká škola - teoretická aritmetika
Na začiatku je vhodné (aj keď nie nutné) zaviesť pojem opačného čísla $m$ k ľubovoľnému prirodzenému číslu $n$, ktoré sa definuje pomocou rovnosti
$n+m=0$.
Celé čísla zavedieme pomocou vhodnej relácie ekvivalencie a rozkladu karteziánskeho súčinu $N \times N$ množiny prirodzených čísel podľa takejto relácie ekvivalencie. Na prednáškach z teoretickej aritmetiky sa dozviete, že táto relácia je definovaná nasledovne:

Nech $\small N$ je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu $\small R$ na množine $\small N \times N$ takto:
$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b$.