Didaktika matematiky

Korene didaktiky matematiky a medzníky jej vývoja v 20. storočí

1. V roku 1872 Felix Klein publikoval Erlangenský program¹⁾ a predniesol prednášku o matematickom vzdelávaní, v ktorej apeloval na väčšiu aplikovateľnosť matematiky pri jej vyučovaní. Ku konci svojej kariéry sa začal zaujímať i o výuku matematiky na nemeckých školách, snažil sa o modernizáciu matematiky. Presadil, aby sa na stredných školách vyučovali základy teorie funkcií a základy diferenciálneho a integrálneho počtu (tzv. Kleinsche Reform). Neskôr aktívne prispel k tomu, aby bola didaktika matematiky uznaná ako vedná disciplína. Viac Tu.
2. Dôležitým medzníkom bol rok 1908 a Štvrtý medzinárodný kongres matematikov v Ríme, počas ktorého bola ustanovená nová organizácia:
   International Commision on Mathematical Instruction
   (Medzinárodný výbor pre výučbu matematiky), ktorej prezidentom sa stal práve Felix Klein. Linka na web Tu.
3. Ďalším významným krokom bolo vytvorenie
   Commission for the Study and Improvement of Mathematics Teaching - CIEAEM
   (Komisia pre štúdium a rozvoj vyučovania matematiky) v roku 1950. Linka na web Tu.
4. Šesťdesiate roky 20. storočia sú obdobím, keď matematici „znovu objavujú“ školu. Objavuje sa hnutie New Math (Nová matematika) u nás známe ako
   Modernizácia vyučovania matematiky.
5. V roku 1970 časopis
   Journal for Research in Mathematics Education,
   ktorý sa zaradil medzi najrenomovanejšie vedecké časopisy týkajúce sa problematiky didaktiky matematiky. 

Poznámky.

1. Významný zdroj voľne dostupných publikácií z matematiky na DML-CZ (Czech Digital Mathematics Library), kde sú uvedené takmer všetky ročníky cesko-slovenských časopisov venovaných vyučovaniu matematiky. Linka na web Tu.
2. Pozrite si prácu zo šesťdesiatych roky 20. storočia "Programovaná učebnice moderní matematiky", ktorá sumarizuje historické etapy modernizácie vyučovania matematiky v Európe. (str. 34 - 41, zdroj Tu)

Vzťah didaktiky matematiky k dejinám matematiky

Dejiny matematiky približujú spojenie matematiky so životom, odhaľujú proces tvorby matematických pojmov a tvrdení. Historické vsuvky na hodinách matematiky žiakov motivujú, odbúravajú strach z matematiky. Priblížením histórie matematiky môžeme získať užitočné predstavy o vývoji matematického myslenia a tieto potom ďalej aplikovať vo vyučovaní. Podľa P. M. Erdnija:
„Rast stromu matematických znalostí v hlave jedného človeka bude úspešný len vtedy, keď v určitej miere zopakuje históriu rozvoja tejto vedy“²⁾.
Keď sledujeme vývoj vzniku určitého matematického pojmu v histórii ľudstva, a následne pozorujeme myšlienkový proces u našich žiakov, často nachádzame zaujímavú paralelu. Môžeme to pozorovať a porovnávať na vývoji matematického myslenie z obdobia starobylých civilizácií (Egypt, Mezopotámia) s myslením Grékov, Arabov a Európanov v neskoršom období. 
Matematické myslenie u Grékov je jasný posun k abstraktnejšiemu mysleniu. Pozrite si Tu.

Podobný proces sa deje aj v školskej matematike: od experimentovania v mladšom veku, žiaci postupne prechádzajú ku kauzálnemu mysleniu v staršom veku.  Porovnajte vyučovanie matematiky v starovekom Egypte a v súčasnosti, na príklade riešenia úlohy z Rhindovho papyrusu.

Úloha. (Rhindov papyrus - R40³⁾)
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.⁴⁾

Poznámky.k pôvodnému riešeniu, ktoré je uvedené na papyruse.

1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.
3. Upravené pôvodné riešenie prezentujeme v ďalšej podkapitole. Pokúste sa o riešenie prostriedkami školskej matematiky.
4. Úloha je riešená metódou chybného predpokladu.
5. Táto úloha a jej riešenie poukazujú na ústredné postavenie pojmu zlomok a postupnosti v školskej matematike, s ktorými sa bližšie budeme zoznamovať v tejto lekcii.

Pôvodné riešenie vychádza z predstavy aritmetickej postupnosti tvaru: $\lbrace{1, 1+d, 1+2d, 1+3d, 1+4d}\rbrace$. Chybným predpokladom je to, že prvým členom tejto postupnosti explicitne stanovili číslo 1. Stručný prepis riešenia tejto úlohy zaznamenaného na papyruse:

1. Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
   $1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$.
2. Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
   $d=5 \frac{1}{2} \; (... \frac{11}{2})$.
3. Ide teda o postupnosť $1,\;6 \frac{1}{2},\;12,\;17 \frac{1}{2},\;23$, ktorej súčet je $60$. 
4. Číslo $60$ musíme vynásobiť číslom $1 \frac{2}{3}\; (... \frac{5}{3})$, aby sme získali požadovaný súčet $100$. 
5. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. 

Hľadaná aritmetická postupnosť je 
$1 \frac{2}{3}, \;10\frac{5}{6}, \;20, \;29 \frac{1}{6}, \;38\frac{2}{3}$,
ktorej diferencia je $9 \frac{1}{6}$.

Poznámky.
Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený. V súčasnosti by sa táto úloha mohla riešiť takto:

1. Chybný predpoklad by sa nahradil neznámou $a$. Dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
   $a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100$
   $a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]$.
2. Jednoduchým výpočtom by sme sa dostali k tomu istému riešeniu.

________________________________________________________________________________
1) Erlangenský program je v matematice metoda, charakterizující geometrie na základě teorie grup. Dostupné Tu
2) Erndnijev, P. M.:Prepodavanije matematiky v škole. Moskva, Prosvedčenije 1978
3) Rhindov papyrus bol napísaný pisárom Ahmosem asi v 1650 pred naším letopočtom (prepis od Amenehmet III z 19. storočia p.n.l.). Viac Tu.
4) Bečvár J., Bečvářová M., Vymazalová H.(ed.): Matematika ve starověku Egypt a Mezopotámie. Prometheus, Praha 2003, s. 69. Dostupné Tu.