Planimetria a stereometria

Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník $\small ABC$ a nech $\small A_1$ je stred strany $\small BC$. Úsečka $\small AA_1$ sa nazýva ťažnica trojuholníka $\small ABC$.

V ďalších podkapitolách tejto sekcie dokážeme vlastnosti o ťažniciach trojuholníka.

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $\small T$. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
2. Každá ťažnica je ťažiskom rozdelená na dve časti v pomere $2 : 1$.

Poznámky.

1. Ťažnice trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $t_a, t_b, t_c$.
2. Krajný bod ťažnice $\small t_a=AA_1$ označujeme $\small A_1$ resp. používa sa označenie: $\small S_{BC}$ - stred strany $\small BC$ alebo $\small S_a$ - stred strany $a$.
3. Vlastnosť, že ťažisko rozdeľuje každú ťažnicu v pomere $2 : 1$ sa na ZŠ robí meraním, na stredných školách sa už dokazuje táto vlastnosť.
4. V príprave budúcich učiteľov matematiky sa prezentuje viacero dôkazov. Napríklad ako dôsledok Cevovej vety alebo pomocou osovej afinity transformujeme trojuholník na rovnostranný. Tiež sa využíva aj vhodná rovnoľahlosť $\small H=(T, \kappa= -1/2)$.

Pri hľadaní ťažiska trojuholníka sa sústredíme na skúmanie vlastností priečok rovnobežných s danou stranou trojuholníka.

Experiment.
Vytvorme v GeoGebre model trojuholníka $\small ABC$ rozdeleného na veľmi tenké pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou $\small AB$.

1. Zrejme ťažisko $\small T_p$ každého tenkého pásika bude ležať v jeho "strede"
2. Pásiky budeme postupne zužovať, až dostaneme rovnobežné úsečky $\small PQ$ so stranou $\small AB$
3. Pri posúvaní rovnobežnej úsečky $\small PQ$ pomocou bodu $\small L$ sa bude zaznamenávať stopa jej stredu $\small T_p$
→
4. Stopa ako množina všetkých stredov $\small T_p$ je zrejme úsečka $\small C_1C$, kde $\small C_1$  je stred strany $\small AB$
5. Ťažnica trojuholníka je množina všetkých stredov $\small T_p$ priečok $\small PQ$
6. Učiteľ nabáda žiakov, aby sformulovali otázky súvisiace s ťažnicami trojuholníka. Uvádzame niekoľko vhodných otázok:
• Môže ležať ťažnica mimo trojuholníka?
• Ako zostrojíme ťažnicu trojuholníka?
• Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $ABC$ ?

Pokračujeme v ďalšom experimente a hľadajme odpovede na otázky:

1. Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $\small ABC$ ?
→
2. Na aké časti rozdeľuje ťažisko každú ťažnicu?

Experimenty sú spracované podľa práce: [LUK] Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.(Dostupné Tu).

Veta.
Ťažnice trojuholíka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.

Konštrukčný dôkaz.

1. Vyberieme (zvolíme si) dve ťažnice $\small CC_1, BB_1$
2. Zostrojíme rovnobežky s týmito ťažnicami v bodoch $\small B,C_1$. Ich jednoznačnú existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
3. Zostrojíme priesečník $\small D$ týchto rovnobežiek. Vznikne rovnobežník, v ktorom uhlopriečky $\small BC, TD$ sa rozpoľujú.
4. V trojuholníku $\small ABD$ je $\small C_1T$ stredná, odkiaľ dostávame $\small T$ je stred $\small AD$.
5. Podobne pre trojuholník $\small ABC$ je $\small B_1T$ stredná priečka trojuholníka.
6. Z bodov 4 a 5 vyplýva, že priesečník $\small E=BC, TD$ je stred strany. Teda $\small E=A_1$, čo bolo treba dokázať.

Urobte dôkaz pomocou Cevovej vety aj pomocou afinity. Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera Tu.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small KLM$ , ak je dané: $\small KL=8cm$ , $\small LM=7cm$ , $t_k=6cm$.

Rozbor úlohy.

1. V trojuholníku $\small KLA_1$poznáme dĺžky všetkých strán $\small (LA_1 = 1/2 LM)$
2. Môžeme zostrojiť trojuholník $\small KLA_1$ pomocou vety $\small sss$
3. Predĺžením strany $\small LA_1$ zostrojíme bod $\small M$

• urobte konštrukciu trojuholníka $\small KLM$ podľa vyššie uvedeného rozboru (náš návrh Tu),
• urobte diskusiu o počte riešení.