Interaktívna geometria - planimetria

	Univerzita Mateja Bela          Fakulta prírodných vied

Vladimír Kobza

Banská Bystrica 2024.

 
Geometria je jedným z najstarších odvetví matematiky, ktoré sa zaoberá hlavne polohovými a metrickými vzťahmi medzi rôznymi útvarmi a ich transformáciami. Štúdium geometrie sa opiera o axiomatický systém zavedený Euklidom už pred viac ako dve tisíc rokmi. Euklidov „Základy“ ešte aj dnes považujeme za fundamentálnu učebnicu geometrie. Začiatkom 21. storočia vo veľkom rozsahu začínajú prenikať do všetkých oblastí vzdelávania nové technické informačné a komunikačné prostriedky (IKT), ktoré umožňujú tento proces výrazne zefektívňovať.
Naša práca „Interaktívna geometria“ reaguje na nové trendy prenikania IKT do matematického vzdelávania. Východiskovým cieľom bolo vytvorenie dynamického a interaktívneho elektronického študijného materiálu v systéme LMS Moodle, ktoré čitateľovi prívetivou ale zároveň jasnou formou približuje základy planimetrie. Pri kreovaní aktivity „Elektronická kniha“ v systéme Moodle sme vo významnej miere využili kompatibilnosť systému Moodle a programu GeoGebra. Obidva tieto softvérové produkty sú voľne šíriteľné a ich používanie zaznamenáva v poslednom období výrazný nárast.

Pri tvorbe našej e-knihy sme mali na zreteli predovšetkým zásadu primeranosti a názornosti, ktorú sme snažili dosiahnuť vnorením dynamických appletov do textu. Všetky textové ako aj interaktívne časti sú umiestnené vo voľne dostupnom elektronickom kurze v systéme Moodle. Nami navrhnutý grafický a dynamický obsah stránok kurzu bol motivovaný známym psychologickým tvrdením, že na primerané zmeny v obrazových scénach mozog reaguje veľmi rýchlo a efektívne. Zároveň sme striktne dodržiavali tri zásady

1. Ak chceme dosiahnuť vyššiu efektívnosť vo využívaní mozgovej kapacity, je vhodné pri odovzdávaní informácií vo väčšej miere využívať dynamickú obrazovú formu.
2. Na druhej strane je nutné mať na zreteli, že neprimerané zvyšovanie frekvencie zmien spomaľuje odozvu u diváka.
3. Zmena farby musí zvýrazňovať zmenu relácie, nie plochy.

Kurz sme podrobili niekoľkonásobným iteráciám metódou DBR. Jeho konečná verzia je voľne dostupná na stráne https://lms.umb.sk/course/view.php?id=5655.
"Vzdelávanie je zložitý proces, ktorého kvalita a efektívnosť závisí nielen od obsahu vzdelávania ale aj od foriem a metód použitých v tomto procese." Pozrite v [Zil 2013]. Zefektívniť vzdelávanie je náročná úloha, pretože množstvo informácií neustále narastá a časový interval na ich spracovanie je konštantný, dokonca v niektorých prípadoch (napr. pri matematickej príprave na základných stredných školách) aj zmenšujúci sa. Viaceré výskumy preukázali, že vhodná integrácia IKT do vzdelávacieho procesu v matematike, najmä využitie ich výhod oproti klasickým učebným materiálom, môže zvýšiť jeho efektívnosť.

Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika. K zásadnému pokroku v rozvoji geometrie prispeli významní grécki matematici Thales, Pytagoras a Euklides. Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Úloha. (Babylon)
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?

Obsah trojuholníka v Babylone podľa starobabylonskej tabuľky YBC 8633, na ktorej je klinovým písmom vyrytý postup riešenia úlohy na výpočet obsahu rovnoramenného trojuholníka.

Poznámky
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:

1. $\small S= \frac{1}{2} a.r$ pre rovnoramenný trojuholník (približný výpočet) 
2. $\small S= \frac{1}{2} a.b$ pre pravouhlý trojuholník (presná hodnota), kde $a$ je základňa a $r$ rameno rovnoramenného trojuholníka resp. odvesny $a,b$ pravouhlého trojuholníka.
3. Pozrite si riešenie úlohy (WORD) Tu a súbor GeoGebra Tu.

K rozvoju geometrie prispeli aj egytskí účenci, ktorí boli nútení po každoročných záplavách Nílu nanovo rozmeriavať pozemkové parcely. Zároveň museli ovládať aj postupy pri rozdeľovaní úrody. Z toho vznikla potreba vedieť vypočítať obsahy rôznych geometrických útvarov ako aj postupy riešenia jednoduchých rovníc. Pozrite si ukážky:
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.

Úloha
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse. Pozrite tiež prácu [BEC, 2003]

1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.

Pôvodné riešenie úlohy R40:
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
$\small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
$\small d=5 \frac{1}{2}$
Ide teda o postupnosť
$\small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23$,
ktorej súčet je $\small 60$. Číslo $\small 60$ musíme vynásobiť číslom
$\small 1 \frac{2}{3}$,
aby sme získali požadovaný súčet $\small 100$. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:
$\small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}$,
ktorej diferencia je $\small 9 \frac{1}{6}$. Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou $\small a$ a dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
$\small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100$
$\small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]$.
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo. Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides

V starom Grécku

1. Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov) - Euklidove Základy. Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad je v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
2. Grécki matematici začali matematické tvrdenia dokazovať , pričom používali deduktívnu metódu. Pokúšali sa vyriešiť aj tri preslávené problémy
• trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
• zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodnej)
• kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh),
len použitím pravítka a kružidla.

“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.

Základnými kameňmi pri axiomatickom budovaní geometrie sú

1. Základné pojmy (Definície) Euklides popisuje intuitívne pomocou zaužívaných pojmov ako „dĺžka, šírka, ..." . Napr.:
• Bod je to, čo nemá dĺžku.
• Čiara je dĺžka bez šírky.
• Hranicami čiary sú body.
• Priamka (Euklides vo svojich Základoch pod pojmom priamka $\small AB$ chápe úsečku $\small AB$) je čiara, ktorá je v každom svojom bode rovná.
• Trojuholník ... (vyhľadajte definíciu $\triangle, \odot, ...$ v Euklidových Základoch).
• V skutočnosti sa predpokladá, že čitateľ vie, čo si má pod týmito pojmami predstaviť. Celkove Euklides uvádza 23 definícií.
2. Axiómy - postuláty, ktorých pravdivosť sa nespochybňuje.
3. Odvodené pojmy (Zásady, Common notion) sa definujú pomocou základných pojmov a prijatých axióm.
4. Tvrdenia (Proposition) sú dokazované pomocou základných pojmov, axióm a odvodených pojmov.

Euklides vo svojich Základoch uvádza len päť axióm:
Post 1: Nakresliť priamku z ľubovoľného bodu do ľubovoľného bodu.
Post 2: A priamku možno neohraničene na obe strany predĺžiť.
Post 3: A z akéhokoľvek bodu a akýmkoľvek polomerom možno narysovať kružnicu.
Post 4: A každé dva pravé uhly sú navzájom "zhodné".
Post 5: A keď priamka pretínajúca dve priamky tvorí s nimi na jednej strane vnútorné uhly menšie než dva pravé, pretnú sa tieto priamky neohraničene predĺžené na tej strane, kde súčet uhlov je menší než dva pravé.

Prvé tri postuláty majú konštrukčný charakter, pričom popisujú skúsenosť z rysovania pomocou pravítka a kružidla. Tieto postuláty umožňujú v (euklidovskej) rovine:
- narysovať priamku prechádzajúcu dvoma danými bodmi;
- ľubovoľne predĺžiť úsečku;
- narysovať kružnicu s daným stredom a polomerom.

Piaty postulát so svojou nejasnou nezávislosťou od zvyšných postulátov má špecifické postavenie. Matematici sa asi 2000 rokov snažili piaty postulát dokázať z predchádzajúcich alebo ho aspoň nahradiť niečím jednoduchším, zjavnejším. Neúspešne

Za postulátmi nasledujú odvodené pojmy alebo zásady:

1. Ak sa dve rovnajú tretiemu, rovnajú sa aj navzájom.(Servít)
   Veci, ktoré sa rovnajú tej istej veci, sa tiež navzájom rovnajú. (Preklad z angl. verzie.)
2. A ak sa rovným pridá rovné, sú aj celky rovné.
3. A ak sa od rovných odnímu rovné, sú aj celky rovné.
4. A útvary, ktoré sa (pohybom?) stotožňujú, sú navzájom rovné.
5. A celok je väčší ako časť.

Niekedy sa uvádza až 9 zásad (Servít).
Za zásadami nasledujú tvrdenia. Prevažná väčšina tvrdení v Euklidových Základoch je dokazovaná prevažne formou konštrukcie resp. návodov ako postupovať pri dokazovaní týchto tvrdení. V ďalšej časti uvedieme niektoré tvrdenia z prvej knihy Základov.

Euklidove Základy - tvrdenia

• Kniha 1, Tvrdenie I: Vytvoriť rovnostranný trojuholník na danej konečnej priamke. 
• Kniha 1, Tvrdenie II: Z daného bodu $\small A$ narysovať úsečku $\small AF$zhodnú s danou úsečkou $\small BC$.
  
  Dôkaz tvrdenia T/II vo forme dynamickej konštrukcie si otvoríte Tu.
• Kniha 1, Tvrdenie IV: Veta $sus$.
• Kniha 1, Tvrdenie V: Uhly v rovnoramennom trojuholníku sú pri základni zhodné.

Pri dokazovaní prvých dvoch tvrdení Euklides využíva postulát o konštruovateľnosti kružnice. Tiež používa definíciu kruhu (Základy, Definícia 15), v ktorej predpokladá existenciu kruhu určeného stredom a polomerom. Definícia kruhu v Základoch má znenie:

Kruh je útvar rovinný ohraničený jednou čiarou (nazýva sa obvod resp. kružnica) tak, že všetky priamky (úsečky), ktoré vychádzajú z jedného bodu vo vnútri útvaru, sa navzájom rovnajú.

Definícia kruhu v Základoch intuitívne používa pojmy "medzi" a "zhodnosť", ktoré nie sú zavedené. Neskôr (takmer dve tisíc rokov) tieto pojmy zavádza Hilbert vo svojom axiomatickom systéme, kde sa kružnica po zavedení axióm zhodnosti už môže korektne zadefinovať.

Na záver tohto úvodného pohľadu na Euklidove Základy uvedieme "doslovný" preklad dôkazu Tvrdenia IV - (Základná veta o zhodnosti trojuholníkov $sus$)

Kniha 1, Tvrdenie IV. Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom, tak sú zhodné.

Dôkaz .

1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
Nepriamy dôkaz
1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$.
• Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$.
2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
• Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$.
3. Ale $\small B$ a tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej.
• V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$.
5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.

Komentár k dôkazu tvrdenia T/IV je prevzatý a upravený z Euklidových Základov podľa Servíta.

Poznámka
Pri dokazovaní tohto tvrdenia sa predpokladá, že pri prenášaní úsečky (T/II, T/III) resp. uhla sa ich veľkosť nezmení. Toto v Hilbertovej sústave zabezpečujú axiómy zhodnosti.

Príklad
Je daný uhol $\small \angle ABC$ a kružnica $\small k=(B, r=BE)$. Na polpriamke $\small \overleftrightarrow{CB}$ nájdite bod $\small G$ tak, aby platilo $\small \left| \angle EGC \right| = \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$.

Riešenie
Nami predložená konštrukcia nie je riešenie známeho problému "trisekcia uhla". Pri riešení využívame postulát Post 2, ktorý zaručuje existenciu bodov $\small D, H$.
Konštrukcia umožňuje s dostatočnou presnosťou nájsť polohu bodu $\small G$ tak, aby sa veľkosť úsečky $\small GH$ približovala (postupným posúvaním bodu $\small G$ po priamke $\small \overleftrightarrow{CB}$) k veľkosti polomeru $\small BF$ a tým aj uhol $\small \angle EGC$ k $\small \frac{1}{3}$ veľkosti uhla $\alpha$.
Ak si vopred stanovíme presnosť veľkosti $\small \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$ na $n$ desatinných miest, tak túto úlohu môžeme úspešne riešiť využitím skriptovania v programe GeoGebra.

Euklidove definície (Servít: "Výmery")

Definícia 20
Z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. rovnostranný, ktorý má tri strany rovnaké;
2. rovnoramenný, ktorý má len dve strany rovnaké;
3. rôznostranný, ktorý má tri strany nerovnaké.

Definícia 21
Okrem toho z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. pravouhlý, ktorý má pravý uhol;
2. tupouhlý, ktorý má tupý uhol;
3. ostrouhlý majúci tri uhly ostré.

Jedným z fundamentálnych Euklidových tvrdení, ktoré sa využíva v dôkazoch mnohých ďalších tvrdení je veta o zhodnosti uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka. Dôkaz tohto tvrdenia je typicky konštrukčný a zásadne sa líši od bežne používaného dôkazu v stredoškolskej matematike. V dôkaze sa vytvoria dva nové a zároveň zhodné trojuholníky podľa vety (sus). V konštrukcii sa používa len pravítko a kružidlo.

Kniha 1, Tvrdenie V
V rovnoramenných trojuholníkoch sa uhly pri základni navzájom rovnajú; a ak sa predĺžia rovnaké priamky (ramená), uhly pod základňou navzájom rovnajú.

Dôkaz

Veľmi poučný je aj dôkaz Tvrdenia XIII, ktorý je publikovaný v prvej knihe Základov. Toto tvrdenie zohráva významnú úlohu pri geometrii uhlov. 

Kniha 1, Tvrdenie XIII
Ak priamka stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

Dôkaz
Upravený podľa českého prekladu Euklidových Základov.
Nech akákoľvek priamka $\small AB$ stojaca na priamke $\small CD$ vytvára uhly $\small CBA, ABD$. Hovorím, že buď uhly $\small CBA, ABD$ sú dva pravé uhly alebo ich súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

1. Ak sa teraz uhol $\small CBA$ rovná uhlu $\small ABD$, potom sú to dva pravé uhly. Def.10
2. Ale ak nie, nakreslite $\small BE$ z bodu $\small B$ v pravom uhle k $\small CD$. Preto uhly $\small CBE,EBD$ sú dva pravé uhly. T/XI
3. Pretože uhol $\small CBE$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small CBA, ABE$, pridajte uhol$\small EBD$ ku každému, takže súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu troch uhlov $\small CBA, ABE, EBD$. Z.2, Z.4
   • $\small \angle CBE= \alpha+ \gamma=90° \Rightarrow \alpha+( \gamma+90°)= 180°$
4. Pretože uhol $\small DBA$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small DBE, EBA$, ku každému z nich pridajte uhol $\small ABC$, preto sa súčet uhlov $\small DBA, ABC$ rovná súčtu troch uhlov $\small DBE, EBA, ABC$. Z.2, Z.5
   • $\beta=90°+ \gamma$
5. Ale súčet uhlov $\small CBE,EBD$ sa tiež ukázal byť rovný súčtu rovnakých troch uhlov a veci, ktoré sa rovnajú rovnakému, sa rovnajú rovnako sebe, preto súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu uhlov $\small DBA, ABC$. Uhly $\small CBE, EBD$ sú však dva pravé uhly, takže súčet uhlov $\small DBA, ABC$ sa tiež rovná dvom pravým uhlom. Z.1, Z.6
   • $\small \alpha+ \beta =180°$
6. Preto ak priama čiara stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom. 

Definície
Uhly $\alpha, \beta$ nazývame vrcholové (obr. vľavo) resp. susedné/vedľajšie (obr. vpravo).

Medzi asi najznámejšie vlastnosti trojuholníka patria tvrdenia o veľkostiach jeho strán a vnútorných uhloch:

1. súčet veľkostí ľubovoľných dvoch strán je väčšia ako veľkosť tretej strany - trojuholníková nerovnosť
2. súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná priamemu uhlu - súčet uhlov sa rovná 180°.

Dôkazy týchto vlastností si vyžadujú pomocné tvrdenia o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka, ktoré v tejto kapitole prezentujeme v originálnej podobe (v slovenskom preklade) ako ich publikoval Euklides vo svojich Základoch. Zároveň uvedieme ich interaktívne dôkazy v prostredí GeoGebra.

Kniha 1 Tvrdenie XVI
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Kniha 1 Tvrdenie XVIII
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.

Dôkaz
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech strana $\small AC$ je dlhšia ako $\small AB$. Hovorím, že tiež uhol $\small ABC$ je väčší ako uhol $\small BCA$.

Otvorte si applet Tu.
1. Nech $\small AC > AB$, odrežme $\small AD=AB$ a veďme $\small BD$... T/III, Post.1
2. A keďže vonkajším uhlom trojuholníka $\small BCD$ je $\small ∢ADB$, je väčší protiľahlému vnútornému uhlu $\small ∢DCB$... T/XVI
3. Avšak $\small ∢ADB=∢ABD$, ako aj strana $\small AB=AD$. $\small ABD$ rovnoramenný
4. Teda tiež $\small ∢ABD >∢ACB$... T/V
5. Mnohom väčší teda je $\small ∢ABC$ ako $\small ∢ACB$.

Kniha 1 Tvrdenie XIX
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .

Dôkaz     - otvorte si applet Tu
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech $\small ∢ABC >∢BCA$ hovorím, že tiež strana $\small AC$ dlhšia je ako strana $\small AB$.

1. Pretože ak nie, tak buď $\small AC=AB$ alebo $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ .
2. Určite nie je (rovné) $\small AC$ s $\small AB$, lebo rovným by bol tiež $\small ∢ABC$ s $\small ACB$ avšak nie je. (Pozri Tvrdenie V.: Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú rovné.)
3. Teda $\small AC$ nerovná sa $\small AB$.
4. Určite ani $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ lebo aj $\small ∢ABC$ by bol menší ako $\small ACB$, avšak nie je .
5. Teda nie je $\small AC$ je menšie ako $\small AB$. Ukázalo sa, že však nie rovný. (Spor)

Kniha 1 Tvrdenie XX
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.

Dôkaz

Kniha 1 Tvrdenie XXIX (Striedavé uhly)
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly $\small AGH$,$\small GHD$ navzájom rovnaké, vonkajší uhol $\small EGB$ sa rovná vnútornému opačnému (súhlasnému) uhlu $\small GHD$ a súčet vnútorných uhlov $\small BGH$,$\small GHD$ na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom.

Kniha 1 Tvrdenie XXXII (Súčet uhlov trojuholníka) V každom trojuholníku, ak sa jedna zo strán predĺži, tak sa vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných protiľahlých uhlov a súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Ako sme už uviedli, pri dokazovaní mnohých tvrdení týkajúcich sa vlastností geometrických útvarov, Euklides využíva hlavne konštrukčnú metódu. Pri podrobnejšom skúmaní týchto konštrukčných dôkazov zistíme, že navrhnuté konštrukcie sa dajú vo väčšine prípadov realizovať len použitím pravítka a kružidla. V odbornej literatúre sa takéto konštrukcie nazývajú euklidovské.

Definícia.
Grafická konštrukcia v euklidovskej rovine (alebo v euklidovskom priestore) realizovaná len 

1. ideálnym pravítkom a ideálnym kružidlom
2. a konečným počtom krokov
sa nazýva Euklidovská konštrukcia.

Každý krok elementárnej konštrukcie predstavuje zostrojenie

1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi alebo
2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom alebo
3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).

Elementárne euklidovské konštrukcie

1. Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Kniha 1, Tvrdenie I.
2. Zostrojenie osi daného uhla. Kniha 1, Tvrdenie IX.
3. Zostrojenie stredu danej úsečky. Kniha 1, Tvrdenie X.
4. Zostrojenie osi úsečky.

Otvorte si konštrukciu Tu
5. Zostrojenie kolmice v danom bode na danú priamku. Kniha 1, Tvrdenie XI.
Mezi elementárne euklidovské konštrukcie zaraďujeme aj konštrukcie používané v školskej matematike už na 1. stupni ZŠ
6. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Kniha 1, Tvrdenie II a III.
7. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.

Poznámky.

1. Podmienka konečného počtu krokov v definícii euklidovskej konštrukcii je opodstatnená. Napríklad konštrukcia uvedená v príklade v kapitole 2 nemôže byť euklidovská, lebo pri konečnom počte aproximácií nezískame trisekciu uhla. Na druhej strane vieme stanoviť počet krokov, ktoré budú veľkosť trisekcie uhla určovať s vopred danou presnosťou .
2. Prvé tri uvedené elementárne konštrukcie nie je problém zrealizovať, ak máme k dispozícii pravítko a kružidlo. Pozrite si napríklad konštrukciu osi uhla a osi úsečky (úloha č. 4).
3. V geometrii, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (neeuklidovské geometrie) to také jednoduché nebude. V prvom rade musíme nájsť odpoveď na otázku: "Čo budeme rozumieť pod pravítkom resp. kružidlom v takejto geometrii?"
4. V časti Neeuklidovská geometria popíšeme niektoré elementárne euklidovské konštrukcie v neeuklidovskej geometrii, ktoré budú tvoriť samostatnú triedu Euklidovských konštrukcií.

Podľa prof. Šedivého euklidovská konštrukcia sa považuje za zrealizovanú ak sú splnené podmienky K₁ až K₆.
K₁: Bod je zostrojený, ak je daná jeho poloha, alebo je priesečníkom dvoch priamok, dvoch kružníc alebo priamky a kružnice.
K₂: Priamku považujeme za zostrojenú, ak sú dané jej dva rôzne body.
K₃: Kružnicu $\small k(S, r)$ považujeme za zostrojenú, ak je daný bod $\small S$ a úsečka $r$.
K₄: Ak sú dané dve rôznobežky $a,b$, potom považujeme ich priesečník $\small X$ za zostrojený.
K₅: Ak je daná kružnica a jej sečnica, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
K₆: Ak sú dané dve kružnice, o ktorých vieme, že sa pretínajú, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
Základné euklidovské konštrukcie môžeme považovať za elementárne stavebné kroky pri zostrojovaní zložitejších geometrických útvarov, pre ktorý sú dané nutné "generujúce" prvky. 
Napríklad zostrojiť trojuholník, ak sú dané dve jeho strany a uhol nimi zovretý, je možné zrealizovať na základe vety sus o zhodnosti trojuholníkov [Kniha 1, Tvrdenie IV].

Definícia (konštrukčná úloha).
Zostrojenie (konštrukciu) geometrického útvaru z daných prvkov sa nazýva konštrukčná úloha.

Riešiť konštrukčnú úlohu znamená:

1. odvodiť vzťahy medzi zadanými a hľadanými prvkami - náčrtok, rozbor,
2. konštrukčne doplniť zadané prvky ďalšími tak, aby bol útvar zostrojiteľný - postup konštrukcie a jeho grafické prevedenie - konštrukcia,
3. urobiť dôkaz, že zostrojený útvar je ten, ktorý bolo treba zostrojiť - dôkaz správnosti konštrukcie,
4. stanoviť, za ktorých podmienok je úloha riešiteľná a prípadne koľko má vyhovujúcich riešení - diskusia.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak sú dané strany $a,c$ a uhol $α$ pri vrchole $\small A$.

Rozbor - prvá etapa riešenia konštrukčnej úlohy, metóda: geometrické miesto bodov. V rozbore ide o hľadanie kauzalít medzi danými $\small c=AB, a, α$ a hľadanými prvkami geometrického útvaru $\small C$.

1. Náčrtok - súčasťou rozboru môže byť aj náčrt (na úrovni ZŠ je to dôležitá súčasť rozboru).
• nakreslíme netypický trojuholník, náčrt kreslíme/modelujeme pomocou úsečiek, kružnicových oblúkov, ... .
• "silnejšie" resp. farebne vyznačíme strany $\small c=AB, a=BC$ a uhol $\small BAC$
2. Logický rozbor
• strana $\small AB$ je daná
• vrchol $\small C$ leží na ramene uhla $α$
• zároveň leží na kružnici $\small k(B, r=a)$

Applet si otvoríte Tu.
3. Algebraická metóda rozboru
   
   Obrázok aktivujete Tu.
   • Vypočítajme veľkosť úsečky $\small AC$.
   • Nech $\small d = BB_0$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$.
   • Potom $d = c$. sin $α$.
   • Trojuholníky $\small ABB_0$ a $\small BCB_0$ sú pravouhlé.
   • Pytagorova veta: $\small AB_0= c² - d²  , \small CB_0 = b² - d²$.
   • Veľkosť strany $b = \small AB_0+CB_0$.

Záver analýzy
Z rozboru vyplýva postup konštrukcie trojuholníka $\small ABC$:  strana $\small c=AB$; uhol $\small BAL$ ; kružnica $\small k(B, r=a)$ ... vrchol $\small C$ je priesečník ramena uhla a kružnice.

Konštrukcia - druhá etapa riešenia konštrukčnej úlohy
Konštrukcia sa skladá z dvoch častí: grafická konštrukcia (narysovanie hľadaného útvaru) a zápis krokov (robí sa vedľa). Stiahnite si applet Tu.

Dôkaz - tretia etapa riešenia konštrukčnej úlohy. Dôkazom sa chápe argumentácia, či útvar vytvorený konštrukciou spĺňa všetky požiadavky uvedené v zadaní úlohy. V našom príklade dôkaz vyplýva z postupu konštrukcie.

Diskusia - štvrtá etapa riešenia konštrukčnej úlohy

1. V diskusii určujeme za akých podmienok je úloha riešiteľná, prípadne určujeme koľko má vyhovujúcich riešení resp. skúmame závislosť riešenia od zadaných prvkov.
2. V tejto úlohe výhodne vyžijeme posuvníky a počet riešení odvodíme od vzájomnej polohy daných prvkov.

Nech $d=c.sin\alpha$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$, potom počet priesečníkov $\small C_i$ závisí na hodnotách $a,d,\alpha$. Musíme rozlíšiť dve základné situácie:

1. Pokiaľ platí, že $0 < \alpha < 90°$, potom je $0 < d < c$ a úloha
              a) nemá riešenie, ak $0 < a < d$
              b) má práve jedno riešenie pre $a = d$ alebo $a ≥ c$
              c) má práve dve riešenia za podmienky $d < a < c$. 
   
2. Pre $90° ≤ α < 180°$ je diskusia jednoduchšia, úloha
             a) nemá riešenie za podmienky $0 < a ≤ c$  
             b) má práve jedno riešenie, pokiaľ platí $a > c$.

Poznamenajme, že k úsečke $\small AB$ existujú dva uhly $\small ABL$ a $\small ABL′$ veľkosti $\alpha$, čo zdvojnásobuje počet riešení. Sú však osovo symetrické.

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. V literatúre je tento axiomatický systém známy ako Hilbertov axiomatický systém. V práci [HIL] je uvedených šesť primitívnych pojmov, ktoré sú začlenené do dvoch skupín:

1. Primitívne objekty
• body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy $\small A , B , C , ...$;
• priamky - na označenie používame malé písmená $\small a , b , c , ...$ a
• roviny - označujeme malými gréckymi písmenami $\small \alpha, \beta, \gamma , ...$.
2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
• incidencia - $\small A ∈ a$ ["bod $\small A$ leží na priamke $\small a$", "priamka $\small a$ prechádza bodom $\small A$", "bod $\small A$ a priamka $\small a$ sú incidentné"].
• vzťah "medzi" - \small $\small \mu(ABC)$ [usporiadanie troch kolineárnych bodov $\small A , B , C$, kde bod $\small B$ leží medzi bodmi $\small A , C$]; používa sa aj označenie $\small A \ast B \ast C$. Pozri prácu [ChalJ]
• zhodnosť (kongruencia) - $u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o (primitívnych) vzťahoch medzi nimi.

Otvorte si interaktívny applet Tu.

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie
2. axiómy usporiadania
3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
4. axióma o rovnobežnosti
5. axiómy spojitosti
Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.

Body $\small P_1, P_2, P_3, ...$ nazývame kolineárne, ak existuje priamka so všetkými týmito bodmi incidentná.

Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi $\small A, B$ prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi $\small A, B,C$ prechádza práve jedna rovina.
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body $\small A, B$ priamky $\small p$ ležia v rovine $\small \alpha$, potom každý bod priamky $\small p$ leží v rovine $\small \alpha$.
I7: Ak dve roviny $\small \alpha, \beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov $\small A, B,C,D$.

Tvrdenie
Ak $p,q$ sú dve rôzne priamky, potom $p$ a $q$ majú najviac jeden spoločný bod.

Dôkaz. nepriamo

• predpokladajme, že $\small p \neq q$ a zároveň $\small A,B \in p \cap q$;
• potom $\small A ∈ p , B ∈ p$ a zároveň $\small A ∈ q , B ∈ q$;
• podľa axiómy I1 existuje priamka $\small \overleftrightarrow{AB}$ je určená bodmi $\small A, B$;
• a zároveň podľa axiómy I1 bude $\small p=\overleftrightarrow{AB}$, lebo $\small A, B \in p$;
• podobne zistíme, že $\small q=\overleftrightarrow{AB}$
• a teda musí platiť $\small p=q$, čo je spor s predpokladom sú totožné.

V ďalšej časti sa zameriame na interpretáciu Euklidovskej roviny pomocou dynamických geometrických systémov (DGS). Budeme používať softvér GeoGebra. Vo všeobecnosti ak DGS má správne interpretovať danú geometriu (napr. Euklidovskú), tak je nutné vhodne popísať/definovať základné geometrické pojmy a vzťahy. Túto požiadavku výstižne charakterizuje doc. Vallo vo svojej habilitačnej práci, kde zdôrazňuje požiadavku determinovanosti pri využívaní IKT v geometrii.

V DGS je nutné, aby dôležité prvky geometrických útvarov boli deterministicky definované (Vallo, 2021).

Uvádzame niekoľko východísk, ktoré tvorcovia softvéru GeoGebra naprogramovali v jeho základnej verzii. Vo vzhľade Nákresňa (2-rozmerný priestor) je bod reprezentovaný dvojicou reálnych čísel. Tento model je izomorfný s afinným dvojrozmerným priestorom nad poľom reálnych čísel.
Požiadavka determinovanosti z pohľadu geometrie znamená presne stanoviť, čo predstavuje bod so súradnicami $\small (a,b)$. Presné geometrické vymedzenie (determinovanosť) veľmi dobre interpretujú nasledovné príkazy softvéru GeoGebra.

1. Príkaz $\small A = (a,b)$ vygeneruje na zobrazovacej ploche bod so súradnicami $\small (a,b)$ a s popisom $\small A$.
   
2. Príkaz $\small B = (a,b)$ vygeneruje opäť bod s tými istými súradnicami a s popisom $\small B$.

Obidva body sa budú prekrývať a budú prezentovať dva totožné body. Môžeme ich aj farebne odlíšiť, čo sa zjavne prejaví pri dynamickej zmene bodu $\small B$.
Pri klasickej výučbe geometrie (manuálne rysovacie prostriedky) je problematické reálne „pracovať“ s totožnými (identickými) útvarmi. Napríklad dva rôzne ale totožné body rozlíšime len tak, že pri ich popise uvedieme $\small A = B$.

Poznámka.
V DGS priesečník dvoch priamok sa musí exaktne definovať pomocou nástroja Priesečník. Ak nie, tak DGS ho neidentifikuje ako bod.

Pomocou nástroja " Priesečník" môžeme vytvoriť tri priesečníky výšok v trojuholníku

1. $\small V\in k_a\cap k_b$
2. $\small V_1\in k_b\cap k_c$
3. $\small V_2\in k_c\cap k_a$,

o ktorých vieme dokázať (Kapitola "Významné prvky trojuholníka"), že sú to tri totožné body.

DGS to chápe ako tri samostatné body. Pomocou nástroja "Vzťah a = b" môžeme napríklad overiť, či bod $\small V_1\in k_b\cap k_c$ leží aj na kolmici $\small k_a$. GeoGebra nám zobrazí oznam/výsledok, ktorý predstavuje obrázok vpravo. Celá konštrukcia "Priesečník výšok v trojuholníku" je znázornená na obrázku vľavo.

V predchádzajúcej časti sme stručne načrtli interpretáciu základných pojmov (bod, priamka, incidencia a pod.) v programe GeoGebra. Interpretácia týchto pojmov môže mať rôzne podoby.
Ak priradíme základným pojmom nejaký konkrétny význam, tak vytvoríme model geometrie.
Potom v tomto modeli môžeme skúmať, či platia axiómy v systéme, ktorý sme zaviedli. Ak sú axiómy v tejto interpretácii (v modeli geometrie) pravdivé, potom takto vytvorený model je modelom daného axiomatického systému.
Uvádzame niekoľko modelov geometrie.

Incidenčné modely geometrie

1. Trojbodová (prípadne štvorbodová, päťbodová) geometria
• $\small A, B, C$ sú body a $\small \lbrace{A,B}\rbrace , \lbrace{A,C}\rbrace , \lbrace{B,C}\rbrace$ sú priamky resp. Kompletný graf s 3 (prípadne so 4 resp. 5 vrcholmi.
  
• Euklidov postulát o rovnobežkách neplatí.
• Overte platnosť axióm incidencie.
2. Algebraický model - analytická geometria euklidovskej roviny
• Body sú usporiadané dvojice $(a_1, a_2)$ reálnych čísel.
• Priamky sú lineárne rovnice $ax + by + c = 0 ((a, b) \neq (0, 0))$.
• Incidencia: $\small A=(a_1,a_2) \in p(ax+by+c=0) \Leftrightarrow (a_1,a_2)$ je riešením rovnice $ax+by+c\small =0$.
• Model je reprezentovaný vzhľadom Nákresňa v programe GeoGebra.

Sféra ako neincidenčný model

• Bodmi sú body na guľovej ploche (sfére). Priamkami sú kružnice na sfére so stredom v strede gule.
• Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch, preto nejde o model incidenčnej geometrie. Otvorte si applet a pohybujte bodmi $\small A,B, C,D$.

Otvorte si interaktívny applet Tu

Lineárna perspektíva (15. stor.) - projekcia bodov trojrozmerného priestoru do roviny (na plátno).

Axiómy zhodnosti
Z1: Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A,B$ a polpriamku vychádzajúcu z bodu $\small A'$
existuje na tejto polpriamke práve jeden bod $\small B'$ taký, že $\small AB \cong A'B'$.
Z2: Ak $\small AB \cong A'B'$ a $\small AB \cong A''B''$, potom $\small A'B' \cong A''B''$.
Navyše, každá úsečka je zhodná sama so sebou: $\small AB \cong AB$.
Z3: Ak $\small \mu( ABC)$, $\small \mu( A'B'C')$, $\small AB \cong A'B'$ a $\small BC \cong B'C'$, potom $\small AC \cong A'C'$.
Z4: Pre daný uhol $\small ∠ABC$, danú polpriamku $\small \overrightarrow{B'A'}$ a danú polrovinu ohraničenú priamkou $\small \overleftrightarrow{A'B'}$
existuje práve jedna polpriamka $\small \overrightarrow{B'C'}$ v danej polrovine tak, že $\small ∠A'B'C' \cong ∠ABC$.
Z5: Ak $\small ∠ABC \cong ∠A'B'C'$ a $\small ∠ABC \cong ∠A''B''C''$, potom $\small ∠A'B'C' \cong ∠A''B''C''$.
Navyše, každý uhol je zhodný sám so sebou: $\small ∠ABC \cong ∠ABC$.
Z6: Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$,
potom $\small ∠A \cong ∠A'$ a $\small ∠C \cong ∠C'$.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu a presuňte trojuholník $\small \triangle A'B'C'$ na trojuholník $\small \triangle ABC$.

Definícia.
Hovoríme, že trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ sú zhodné, označujeme $\small \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'$, ak
$\small AB \cong A'B', BC \cong B'C', AC \cong A'C'$ a $\small ∠A \cong ∠A', ∠B \cong ∠B', ∠C \cong ∠C'$.

Veta sus. (Euklidove Základy, Tvrdenie I.4)
Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôkaz.
V dôsledku axiómy Z6 stačí ukázať, že $\small AC \cong A'C'$. Dôkaz urobíme sporom. Nech
$\small AC \ncong A'C'$.
Nech $\small C'' \in \overrightarrow{A'C'}: A'C'' \cong AC$, pre ktorý platí $\small C' \neq C''$. Použitím axiómy Z6 dostaneme, že
$\small ∠A'B'C' \cong A'B'C''$,
čo je v rozpore s axiómou Z4 o prenášaní uhla. Teda musí platiť $\small C' = C''$.

Poznámky.

1. Niekedy sa veta sus uvádza ako axióma Z6.
2. Porovnajte nami prezentovaný dôkaz vety sus s dôkazom v uvedeným v Euklidových Základoch.
3. Ďalšie vety o zhodnosti trojuholníkov nájdete v samostatnej e-knihe tohto kurzu.

V Hilbertovom axiomatickom systéme axiómy Z1 a Z4 zaručujú jednoznačnosť prenášania

1. danej úsečky na danú polpriamku - Z1
2. uhla danej veľkosti do polroviny - Z4

V Euklidových Základoch sú tieto axiomatické pojmy uvádzané ako konštrukcie. Prenášanie úsečky (Tvrdenie I.3) sa popisuje pomocou kružnice. Prenášanie uhla (vyhľadajte v prvej knihe Euklidových Základov).

Definícia.
Nech $\small S \in E_2$ je ľubovoľný bod a $r$ je daná nenulová úsečka. Kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov $\small X \in E_2$, pre ktoré platí, že úsečka $\small SX$ je zhodná s úsečkou $r$.
$\small k(S; r) := \lbrace{X \in E_2; SX \cong r}\rbrace$

Definície ďalších geometrických útvarov budeme uvádzať priebežne podľa potreby.
Axióma Z4 predstavuje euklidovskú konštrukciu prenášania uhla do danej polroviny. Vo vyučovaní geometrie na ZŠ sa táto konštrukcia uskutočňuje pomocou listu papiera alebo pomocou kružidla. Dynamickú formu aktivity prenášania uhla pomocou kružidla, ktorá je vhodná pre žiakov základných škôl, predstavuje nasledujúci applet.

1. Uhol $\small \alpha = ∢ AVB$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
2. Zapisujeme $\small ∢ AVB ≅ ∢POQ$.
3. Čítame: uhol $\small \alpha (∢ AVB)$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
   

Kružnica sa využíva aj pri euklidovskej konštrukcii osi uhla Kniha 1, Tvrdenie IX ako ukazuje nasledujúci obrázok.
V predchádzajúcich dvoch euklidovských konštrukciách sa mimovoľne predpokladalo, že pri prenášaní úsečky jej veľkosť sa nemení. V Hilbertovom axiomatickom systéme vlastnosť zachovávania "veľkosti útvaru" pri "prenášaní" sa zaručuje pomocou axióm Z1 a Z4.
Rozdiel medzi Euklidovými Základmi a Hilbertovým axiomatickým prístupom je zásadný, ktorý podrobnejšie popíšeme v nasledujúcej podkapitole.

Definícia (Susedné uhly).
Uhly $\small \alpha= \angle ABC, \beta= \angle CBD$ sa nazývajú susedné, ak ramená $\small \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}$ tvoria opačné polpriamky.

Tvrdenie.
Ak sú dva uhly zhodné, potom aj ich susedné uhly sú zhodné.

Dôkaz.

Axiómy usporiadania
U1: Ak $\small B$ leží medzi $\small A$ a $\small C$ [$\small \mu (ABC)$], potom $\small A, B, C$ sú tri rôzne kolineárne body a platí tiež, že $\small B$ leží medzi $\small C$ a $\small A$.
U2: Pre ľubovoľné navzájom rôzne body $\small A, C$ existujú body $\small B, D$ tak, že $\small \mu( ABC)$ a $\small \mu( ACD)$.
U3: Pre ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body práve jeden z nich leží medzi zvyšnými dvoma.
U4: (Paschova axióma, 1882) Nech priamka $p$ neprechádza žiadnym z nekolineárnych bodov $\small A, B, C$.
Ak $p$ pretína úsečku $\small AB$, potom pretína buď úsečku $\small AC$ alebo úsečku $\small BC$.

Definície.

1. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Úsečka $\small {AB}$ je množina bodov $\small X$, ktoré ležia medzi bodmi $\small A,B$ zjednotená s dvojprvkovou množinou $\small \lbrace{A, B}\rbrace$. Body $\small A , B$ sú krajné body úsečky.
   $\small {AB} := \lbrace{X; \mu(AXB)}\rbrace \vee X \in \lbrace{A,B}\rbrace$
2. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Polpriamka $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov úsečky $\small AB$ a bodov $\small X$, pre ktoré platí $\small \mu( ABX)$.
   $\small \overrightarrow{AB} :=\lbrace X\in AB \vee \mu(ABX) \rbrace$
3. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Opačná polpriamka k polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov $\small X$, pre ktoré platí, že bod $\small A$ leží medzi bodmi $\small B, X$ zjednotenú s jednobodovou množinou $\small \lbrace{A}\rbrace$.
   $\small \overleftarrow{AB} := \lbrace{ X=A \vee \mu(BAX) }\rbrace$

Znázornite všetky tri situácie v GeoGebre. Pozrite si prácu [MON].

Tvrdenie.
Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A , B$ platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} = AB$ .

Dôkaz.
Z definície polpriamky dostávame
$\small AB \subset \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.
Potrebujeme ešte dokázať, že platí $\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \subset AB$. Zvoľme si ľubovoľný bod $\small C$, pre ktorý platí
$\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.

1. Nech $\small C = A$ alebo $\small C = B$, potom dokazovaná inklúzia platí.
2. Nech $\small C \neq A, C \neq B$. Keďže $\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$, tak musí súčasne platiť
   • $\small C \in \overrightarrow {AB}$ (horná časť appletu), v tom prípade z definície polpriamky dostávame, že
     $\small \mu (ACB)$ alebo $\small \mu (ABC)$.
   • podobne pre $\small C \in \overrightarrow {BA}$ (dolná časť appletu) je buď $\small \mu (BCA)$ alebo $\small \mu (BAC)$.
Súčasne môže nastať len prípad $\small \mu (ABC)$. Záver: z axiómy U3 dostávame: $\small \mu (ABC) \Leftrightarrow C \in AB$.

Cvičenie.
Dokážte, že platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.

Dôkaz.
Dôkaz je nutné rozložiť do dvoch krokov (dokazujeme rovnosť množín).

1. Nech $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$, potom treba dokázať $\small C \in \overleftrightarrow{AB} \$. Použite definíciu polriamky.
2. Nech $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$, potom treba dokázať $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$. Použite definíciu priamky.

Uvedomte si, že pre polohu (Pozri práca [CHAL, str. 16] bodu $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small \; \mu( CAB), \;C = A,\; \mu( ACB), \;C = B,\; \mu( ABC)$. Prvé tri možnosti znamenajú, že $\small C \in \overrightarrow {BA}$

Definícia.
Daná je priamka $p$ a body $\small A , B$ neležiace na tejto priamke. Hovoríme, že body $\small A , B$
• ležia na opačných stranách od danej priamky, ak úsečka $\small AB$ túto priamku pretína, t.j. ak na tejto priamke existuje bod $\small X$ tak, že $\small \mu (AXB)$
• ležia na tej istej strane od priamky $p$, ak $\small A = B$ alebo ak $\small A \neq B$ a úsečka $\small AB$ priamku $p$ nepretína (\\small ( p \cap AB= ∅ ) \)

Príklad.
Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
$\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$.
Konštrukčný návod Tu. Applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny Tu.
Riešenie Tu.

Tvrdenie (separačná vlastnosť v rovine, U4S).
Priamka $p$ delí rovinu okrem bodov priamky $p$ na dve triedy tak, že body ležia v tej istej triede práve vtedy, keď
ležia na tej istej strane od priamky $p$. (t.j. neexistuje bod $\small X \in p$ taký, že $\small \mu (AXB)$, kde $\small A$ a $\small B$ sú dané body).
Dôkaz pozri prácu [CHAL] .

Definície.

1. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod polrovinou $\small \overrightarrow{ABC}$ rozumieme množınu bodov $\small X$, pre ktoré platí, že prienik úsečky $\small XC$ s priamkou $\small \overleftrightarrow{AB}$ je prázdna množina, alebo jednoprvková množina, ktorej prvkom je práve bod $X$.
   $\small \overrightarrow{ABC} := \lbrace{X \in E_2;XC \cap \overleftrightarrow{AB}= ∅ \vee XC \cap \overleftrightarrow{AB}= \lbrace{X}}\rbrace$
2. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín $\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
   $\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Pozrite si tiež definície v práci [MON] kapitola 2: "Konvexná množina".

Definícia (Rovnobežnosť).
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert:   Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.

Tvrdenie (Základy, T/XXVII).
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.

Dôkaz.
Urobte si cvičenie. Použite dôsledok vety o vonkajšom uhle.

Dôsledok - existencia rovnobežky.
Nech bod $\small B$ neleží na priamke $p$. Potom existuje priamka $q$ taká, že $\small B \in q \; \wedge \; p \parallel q$.

Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod $\small A$ na priamke $p$. Zostrojme priamku $\small t=AB$ (transverzála/priečka priamok $p,q$).
Následne zostrojíme priamku $\small q: B \in q$ tak, aby striedavé uhly pri priamkach $p,q$ s transverzálou $t$ boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť $p, q$ vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.

Poznámka.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.

Playfairova axióma.
Pre každú priamku $p$ a pre každý bod $\small B \notin p$ existuje práve (najviac) jedna priamka $\small q: B \in q$ rovnobežná s priamkou $p$ (ozn. $p \parallel q$ ).

Piaty Euklidov postulát.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.

Tvrdenie(Základy, T/XXXII).
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz.
Pokúste sa dokázať toto tvrdenie ako cvičenie. Tvrdenie T/XXXII je ekvivalentné axióme rovnobežnosti. Euklidov dôkaz nájdete v kapitole "Geometria trojuholníka".

Tvrdenie T/1 (Euklidove Základy Kniha 1, Tvrdenie I).
K danej úsečke $d$ zostrojte rovnostranný trojuholník tak, aby táto úsečka bola jednou z jeho strán.
Dôkaz.
Dôkaz má konštrukčný charakter. Euklides popisuje konštrukciu rovnostranného trojuholníka $\small ABC$ pomocou kružníc $\small k_1=(A,d), k_2=(B,d)$, ktoré sa pretínajú v dvoch rôznych bodoch.

Poznámky.

1. V Euklidových Základoch sa nenachádza axióma alebo tvrdenie, podľa ktorého je zaručená existencia spoločného bodu dvoch kružníc!
2. V e-knihe DGS sme už uviedli, že v afinnom priestore nad poľom racionálnych čísel sa kruhy nepretínajú.
3. Euklides síce nehovorí o spoločnom bode dvoch kružníc, uvádza len tvrdenie/formuláciu "... v ktorom sa kruhy navzájom pretínajú, ..."
4. Vyriešiť tento problém je možné sformulovaním axióm spojitosti.

Axiómy spojitosti.
S1: (Archimedova axióma) Nech sú dané úsečky $\small AB,CD$. Na polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ zostrojme postupne body $\small P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že
$\small AP_1 \cong P_1P_2 \cong \cdot \cdot \cdot \cong P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \cong CD$.
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $\small P_n \in AB$ a $\small P_{n+1} \notin AB$.
S2: (Axióma úplnosti) K bodom a priamkam v rovine už nie je možné pridať ďalšie tak, aby výsledná geometria stále spĺňala všetky doteraz uvedené axiómy

Poznámky.

1. Euklidovská rovina je model všetkých uvedených axióm.
2. Euklidovská rovina je afinná rovina $\small \mathbb{R^2}$ so skalárnym súčinom definovaným na jej vektorovej zložke. Používame aj označenie $\small \mathbb{E^2}$.
3. Geometria, ktorá spĺňa všetky Hilbertove axiómy (dôležitá je pritom Archimedova axióma), môžeme v nej zaviesť meranie! Pozrite si e-knihu "Miera úsečky".

V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].

1. Začiatok tejto cesty „Ako “ patrí približne do obdobia dvoch tisícročí pred naším letopočtom, do obdobia mezopotámskeho a egyptského staroveku.
2. Obdobie „Prečo“ zahŕňa obdobie od antického Grécka až po objavy neeuklidovských geometrií. S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia.

Objav neeuklidovských geometrií v 19. storočí patrí k najvýznamnejším historickým etapám vo vývoji matematiky a mal hlboký vplyv na vedu a filozofiu. Slovami M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]): Prenikaním informačno-komunikačných technológií (IKT) do života spoločnosti koncom 20. storočia nášho letopočtu sa začala revolúcia nielen v myslení ľudí ale aj v organizácii a riadení ich práce. Používanie IKT vo vzdelávacom procese sa stalo neodmysliteľnou súčasťou moderného vyučovania. V tejto práci chceme poukázať na nové možnosti riešenia konštrukčných úloh v hyperbolickej neeuklidovskej geometrie využitím nových nástrojov v programe GeoGebra. Zameriame sa na model Poincare Disc, v ktorom budeme riešiť základné geometrické úlohy len použitím "neeuklidovského" pravítka a kružítka.

Definícia.
Neeuklidovská geometria je taká geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (axióma rovnobežnosti) ale spĺňa axiómy incidencie, usporiadania a zhodnosti.

Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:

1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky.
2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke.

V našej práci sa budeme zaoberať len hyperbolickou rovinnou geometriou.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.

Uskutočníme dve operácie:

1. Operácia "stotožnenie" každých dvoch bodov hyperboloidu súmerných podľa jeho stredu. Takouto operáciou redukujeme daný hyperboloid len na jednu jeho časť. Takto definovanú dvojicu bodov nazývame združené body. V ďalších úvahách budeme pracovať len s jeho jednou časťou hyperboloidu, napríklad s "hornou časťou".
2. Operácia "prienik" bude predstavovať rez hyperboloidu stredovou rovinou, ktorá je určená dvomi rôznymi bodmi (dvomi združenými dvojicami bodov) a stredom hyperboloidu. Teoreticky stredová rovina môže byť trojakého typu: reálne pretína hyperboloid v hyperbole, môže sa dotýkať hyperboloidu alebo ho nepretína v reálnom prieniku.

Teraz môžeme definovať základné primitívne pojmy pre hyperbolickú geometriu.

1. Bod hyperbolickej roviny je trojakého typu:
   • vlastný bod hyperboloidu je dvojica $\small A, A'$ združených bodov, ktorú nazývame h-bod
   • nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný bod 1. druhu
   • nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný bod 2. druhu
   Napríklad bod $\small A$ (spolu so združeným bodom A') hyperboloidu je vlastný h-bod hyperbolickej roviny.
2. Priamka hyperbolickej roviny je krivka, ktorá vznikne ako prienik (rez) hyperboloidu s ľubovoľnou stredovou rovinou¹⁾. Keďže rezy takých rovín môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok.
   • ak prienikom stredovej roviny s hyperboloidom je hyperbola, tak túto krivku (hyperbolu) nazývame h-priamka
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej²⁾ kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.

Poznámky.

1. Stredová rovina (priamka) je rovina (priamka) prechádzajúca stredom $O$ hyperboloidu.
2. Asymptotická kužeľová plocha je rotačná plocha, ktorá sa dotýka rotačného hyperboloidu v nevlastnej kužeľosečke.
3. Nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný h-bod 1. druhu.
4. Nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný h-bod 2. druhu.
5. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok:
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.

Poincarè model

• model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• stred premietanie je vrchol $\small V'=(0,0,-1)$ (spodná časť) hyperboloidu
• premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu $\small O=(0,0,0)$.

• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je zrejme otvorený kruh $\omega=(O,\; r < 1)$
• tento otvorený kruh so stredom $\small O$ sa nazýva Poincarè Disc

Tvrdenie

1. Priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu $\small \omega (O,\; r=1)$.
2. Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk kruhu, ktorý je kolmý na jeho hranicu $\omega$.

Dôkaz

1. Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice $\small (O,\; r=1)$. To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu $\small \omega (O,\; r \leq 1)$. 
2. Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
   1. Nech $\small A,A'$ je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech $\small A_1,A'_1$ sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností $a_1,a'_1$ bodov $\small A_1,A'_1$ od stredu $\small O$ hyperboloidu platí:
      $a_1 \times a'_1=[ \frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}-1)] \times [\frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}+1)]=1$.
      Dôkaz toho, že súčin vzdialeností $\small | OA_1| \times | OA'_1|$ je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete.
      
      Dynamický obrázok si otvoríte Tu; interpretácia na hyperboloide Tu.
   2. Musíme ešte dokázať, že priemety h-bodov $\small A$ h-priamky (hyperboly) v označení $\small A_1$ ležia na kružnici kolmej na kružnicu $\small \omega (O,\; r=1)$. Dôkaz je v ďalšej kapitole tejto práce. Pri dôkaze budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.

Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica $\small k (S_k, r_k)$ a bod $\small O$, ležiaci zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small O$ a nech $\small A_1, A'_1$ sú priesečníky sečnice $p$ s kružnicou $\small k (S_k, r_k)$. Pod mocnosťou bodu $\small O$ ku kružnici $\small k (S_k, r_k)$ rozumieme číslo $m$, pre ktoré platí: $\small m = |OA_1| . |OA'_1|$.

Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu. Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].

Beltramiho-Kleinov model
Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom

• stred premietanie je stred hyperboloidu - bod $\small O=(0,0,0)$
• rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole $\small V=(0,0,1)$
• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je otvorený kruh $\small k=(V,r=1)$, ak $a=b=c=1$
• kruh s vrcholom $\small V$ a polomerom $r=1$ sa nazýva Klein Disc
• priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu.

Zhrnutie

1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
2. Priamkami sú tetivy tohto disku.

V obidvoch hyperbolických modeloch (Beltrami a Poincarè) neplatí axióma rovnobežnosti.

1. V obidvoch prípadoch existuje viac ako jedna rovnobežka.
2. Existencia rovnobežky vyplýva z prvých skupín axióm.
3. V modeli "Sféra" nemáme zaručenú ani existenciu rovnobežky.
4. Kleinov disk a Poincarè disk sú modely, ktoré vzniknú aj premietaním  do vhodnej roviny. Pozri Disk a hyperboloid.
5. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný (kruhy a uhly sú skreslené).
6. Neeuklidovská hyperbolická geometria reprezentovaná Poincarè diskom je konformná.

Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$.

Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$ a nech bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu $k$ prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov $\small A,A'$. Ak kružnica $k$ pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$, tak kružnica $k$ pretína kružnicu  - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$  kolmo.

Dôkaz

1. Nech body $\small A,B$ sú priemety bodov h-priamky $\small AB$. Pozrite si priložený obrázok.
2. Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
   $| OA| \times | OA'|=| OB| \times | OB'|=1$.
3. Odkiaľ: bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ aj v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$. Podobne to môžeme povedať aj o bodoch $\small B,B'$.
4. Nech $k$ je kružnica určená bodmi $\small A,A',B$, potom v dôsledku mocnosti bodu $\small O$ ku kružnici $k$ bude aj bod $\small B'$ bodom kružnice $k$.
5. Teraz uvažujme o dotykových bodoch $\small P,Q$ na dotyčniciach z bodu $\small O$ ku kružnici $k$.
6. Mocnosť bodov $\small A,B,P,Q$ ku kružnici $k$
   $\small \left| OB \right| \times \left|OB' \right|=\left| OP \right|^2=\left| OQ \right|^2=1$
7. Z toho vyplýva, že body $\small P,Q$ sú samodružné v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$.
8. Priamky $\small \overleftrightarrow{OP}, \overleftrightarrow{OQ}$ sú dotyčnice ku kružnici $k$. Odkiaľ $\small \overleftrightarrow{SP} ⟂\; \overleftrightarrow{OP}, \; \overleftrightarrow{SP}⟂ \; \overleftrightarrow{OP}$.
9. Kružnica $k$ je kolmá na kružnicu $\omega$.
Tým je dôkaz lemy ukončený.

V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.

Priemetom h-priamky $\small AB$ je otvorený oblúk $\small \widehat{PAQ}$ na kružnici $k$.

Poincarè diskový model (tiež sa používa označenie Poincarè Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako otvorený kruh $\omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 < 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace$. Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:

• vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
• koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
• priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je žiadny problém.
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.

Poznámky

1. V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincarè modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
2. Pri riešení konštrukčných úloh v Poincarè modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).

Poznámky.

1. Konštrukcie v Poincarè Disku si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
2. Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincarè disku.
3. Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
4. Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.

Príklad (Vytvorenie nástroja).
Daný je kruh $\small \omega (O, r=1)$ a body $\small A, B$ ležiace vnútri kruhu, pričom úsečka $\small AB$ nie je priemerom. Zostrojte obraz hyperbolickej h-priamky určenej bodmi $\small A, B$ v prostredí GeoGebra.

Riešenie - zostrojenie kružnicového oblúka v Euklidovskej rovine
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov $\small A, B$ je vnútorný bod kruhu $\small \omega$ a je rôzny od stredu $\small O$. Podľa už dokázaného tvrdenie je hľadaná h-priamka kružnicový oblúk, ktorý je určený bodmi $\small A, B$ a zároveň leží na kružnici kolmej ku kruhu $\small \omega (O, r=1)$. Pozrite si nasledujúci obrázok.
Postup euklidovskej konštrukcie.

1. V kruhovej inverzii $\small \omega (O, r=1)$ zostrojíme obrazy $\small A', B'$ bodov $\small A, B$.
2. Zostrojíme kružnicu $k$ určenú bodmi $\small A, A', B'$ alebo bodmi $\small A, B, B'$. Nájdeme priesečníky $\small K,L$.
3. Na kružnici $\small k (S_k, r)$ vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi $\small K,L$.
4. Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky $\small AB$. Túto konštrukciu si otvoríte Tu.

Konštrukciu kružnicového oblúka, ktorá zohľadňuje aj prípady

1. úsečka $\small AB$ je priemerom kružnice $\small \omega (O, r=1)$ - v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
2. obidva body $\small A, B$ ležia na kružnici $\small \omega (O, r=1)$ ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete v nami vytvorenom applete Tu.

Túto konštrukciu si uložte do vášho PC napríklad pod názvom "h-Priamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie Nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz h-priamky v Poincarè modeli.
Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincarè modeli.

1. Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
   • ako výstupné objekty vyberte oblúk "hPriamka" (otvorte si aj algebraické okno)
   • ako vstupné objekty vyberte body: $\small A,B$
   • vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
   • v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
   • zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
4. Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
5. Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam (ak nie, tak Prispôsobte paletu nástrojov) . Teraz si vytvorte kružnicu $\small (O, r=1$ a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložte si tento súbor napr. s názvom Nástroj hPriamka.

Nami novovytvorený nástroj hPriamka v GeoGebre na zostrojenie obrazu h-priamky v modeli Poincaré Disc $\small \omega$ s polomerom $r=1$ si môžete otvoriť Tu (je umiestnený vpravo na lište nástrojov).
Používanie nástroja hPriamka je analogické ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu $\small \omega$ - pomocou nástroja Bod. Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).

Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorého sa vykreslí obraz hyperbolickej úsečky (časti hyperboly) v modeli Poincarè Disku.
Využite kompletnú konštrukciu hPriamky.
Pokračujte v tejto konštrukcii krokmi:

1. zostrojte stred oblúka "hPriamka", ktorý označte napr. $\small S_h$
2. potom zostrojte oblúk s názvom "hUsecka" určený stredom $\small S_h$ a krajnými bodmi $\small A,B$ a
3. následne vytvorte GeoGebra nástroj s rovnakým názvom "hUsecka".

Porovnajte vaše riešenie s riešením Tu.

Nech sú dané dva rôzne body $\small S$ a $\small A$ na hyperboloide. 

1. Uvažujme o kružnici $\small k=(S; r= | SA|$, ktorej všetky body sú bodmi hyperboloidu. Symbolicky: $\small \forall X \in k \Rightarrow X \in HYP$.
2. Nech bod $\small B$ je stredovo súmerný k bodu $\small A$ podľa stredu $\small S$, potom bod $\small B$ je tiež bodom kružnice $k$ a zároveň bodom hyperboloidu.
3. Nech $\rho$ je určená bodmi $\small A,S$ a bodom StredPremietania. Táto rovina pretína daný dvojdielny hyperboloid v hyperbole (v applete červená krivka).
4. Zostrojme dotyčnice k tejto hyperbole v bodoch $\small A,B$ a ich priesečník $\small S_1$.
5. Potom platí nasledujúce tvrdenie, ktoré uvádzame bez dôkazu. K dôkazu sú potrebné širšie znalosti stredového premietania kužeľosečiek.

Tvrdenie
Priemetom kružnice $\small k=(S; r=|SA|$ do stredovej roviny (Poincaré disku $\small  \omega= \lbrace{x^2+y^2< 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$) je kružnica $\small k'=(S'_1; r= | S'_1A'|$,

Poznámka.
Na základe tohto tvrdenia môžeme uskutočniť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom $\small S$ a bodom $\small A$ a na základe tejto konštrukcie aj nástroj v GeoGebre pomocou, ktorého narysujeme kružnicu v modeli Poincaré Disc.

Poznámka.
Teraz už máme tri základné (euklidovské) nástroje: hPriamku hUsecku a hKružnicu v Geogebre.

Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincarè Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$, ktoré sú zovšeobecnením euklidovských konštrukcií, sú prezentované formou riešených úloh. Pri riešení úloh z z neeuklidovskej geometrie je vhodné, aby ste si najskôr stiahli applet "Poincaré Disk" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou tohto appletu vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; vieme určiť vzdialenosť dvoch bodov.

Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
   Riešenie Tu.
2. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$.
   Návod:
   1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
   2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
   3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
   4. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \in \alpha$. Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AP, PC$ ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
4. Zostrojte hyperbolickú rovnobežku k hyperbolickej priamke $\small a=AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \notin a$. Využite vlastnosť striedavých uhlov.

Poznámka.
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.

Cvičenie.

1. Dokážte, že
   1. Existuje práve jedna os uhla. Kniha I, Tvrdenie IX.
   2. Každá nenulová úsečka má práve jeden stred, a ten je jej vnútorným bodom. Kniha I, Tvrdenie X. Pozrite si os úsečky Tu
   3. Riešte úlohy (napr. č. 3, 11 a 12 ) zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. Pokúste sa o riešenie aj ďalších úloh.
2. Nech v rovnoramennom trojuholníku $\small ABC$ platí, že uhol pri základni trojuholníka je dvojnásobkom uhla pri vrchole $\small C$. Overte, že dĺžka ramena a dĺžka základne sú v zlatom pomere. Pozrite Euklidove Základy Kniha II, Tvrdenie XI a otvorte applet Tu.
   Pomoc pri riešení úlohy: Do trojuholníka vpíšte trojuholník $\small ADB$ s ním podobný
   otvorte applet Tu
   a aplikujte Euklidovo tvrdenie Kniha 1., T/IV a T/V.   Viac o zlatom pomere nájdete v prezentácii Tu.
3. Ukážte, že uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné a že sa navzájom rozpoľujú. (Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať túto vlastnosť.)
4. Pomocou tvrdenia "Uhlopriečky obdĺžnika sú ..." ukážte:
   Ak je $\small ABC$ pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $\small C$, potom všetky jeho vrcholy ležia na kružnici, ktorej priemerom je strana $\small AB$.
5. Ukážte, že platí:
   $\small\overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.
   Uvedomte si, že pre polohu bodu $\small X$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small  \mu( XAB),X = A, \mu( AXB),X = B,\mu( ABX)$. 
6. Uveďte definíciu opačnej polroviny. (Pozrite si prácu: Monoszová, G.: Planimetria.)
7. Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
   1. $\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   2. $\small \lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace$
   3. $\small \lbrace{X; \overleftrightarrow{XC} \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   4. $\small \lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
      Použite applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny. 

Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$.


8. Zostrojte rovnoramenný trojuholník $\small ABC$ so základňou $\small AB$ pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AB, AC$ a k hPriamkam $\small AB, BC$ určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
9. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
   
10. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá neprechádza bodom $\small P \notin \alpha$.
    
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
11. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka $\small ABC$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
    

Poznámky.

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.

Definícia (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme).
Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín$\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
$\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Základné pojmy.

1. Body $\small A, B, C$ sú jeho vrcholy.
2. Jednotlivé úsečky $\small AB,BC,AC$ sú strany $\small \triangle ABC$.
3. Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka $\small \triangle ABC$.
4. Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín $\small \overrightarrow {ABC}, \overrightarrow {BCA},\overrightarrow {CAB}$ sú vnútorné body alebo vnútro $\small \triangle ABC$.
5. Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri $\small \triangle ABC$, sú vonkajšie body alebo vonkajšok $\small \triangle ABC$.

Poznámky.

1. Množinové poňatie pojmu trojuholník je vhodné pre SŠ
   Trojuholník $\small ABC$ je množina všetkých bodov, ktoré súčasne ležia v polrovinách $\small \vec{ABC} , \vec{BCA},\vec{CAB}$, pričom body $\small A,B,C$ sú nekolineárne.
2. Pojem trojuholníka vhodný pre 2. stupeň ZŠ
   Nech $\small A, B, C$ sú tri nekolineárne body. Trojuholník $\small ABC$ je časť roviny ohraničená úsečkami $\small ABC$.

Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:

1. Veta o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.
2. Trojuholníkovú nerovnosť.

Veta (Súčet vnútorných uhlov).
Súčet všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je priamy uhol (veľkosť je rovná 180°).

Euklides pri dôkaze tejto vety sa opiera o tvrdenia (pozrite si podkapitolu Vety o trojuholníku)

• T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
• T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"

Interpretácia - existuje mnoho appletov, ktoré interpretujú vetu o súčte vnútorných uhlov. Aktivujte si dva, v ktorých:

Euklidov dôkaz - applet Tu.

Trojuholníky môžeme rozčleniť podľa viacerých kritérií, napríklad podľa:

1. dĺžky jeho strán
2. veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.

Vzhľadom na dĺžky (veľkosti) strán v danom trojuholníku rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Rovnostranný trojuholník - všetky strany trojuholníka majú rovnakú dĺžku (sú navzájom zhodné). 
2. Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany rovnakej dĺžky (sú navzájom zhodné).
3. Rôznostranný trojuholník - všetky strany majú rozličnú dĺžku (žiadne dve strany trojuholníka nie sú zhodné).

Poznámka
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla: $a,b,c$ môžu nastať len prípady:
                 1. $a=b=c$, 2. $a=b≠c$, 3. $a≠b, a≠c, b≠c$

Vzhľadom na veľkosti veľkosti najväčšieho vnútorného uhla rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).
2. Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (jeden pravý uhol). 
3. Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.

V priloženom applete "Rozdelenie trojuholníkov" môžete generovať rôzne typy trojuholníkov tak, že budete pohybovať vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré sú charakterizované veľkosťou strán a veľkosťou uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrcholov trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje). Pokúste sa zodpovedať otázku: Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?

Úloha.
Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Práca [LAR] (Larson, Príklad 8.1.16, Tu)

Riešenie.

1. Geometrické modelovanie/riešenie pomocou GeoGebry vhodné aj pre základné školy.
   
   Applet otvoríte Tu.
2. Konštrukčné riešenie
   
   Applet otvoríte Tu.
3. Algebraické riešenie pomocou kosínusovej vety vhodné pre stredné školy
   $\alpha= cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right)$
   $\beta= cos^{-1}\left( \frac{1}{112} \; \left(x - 113 \right) \right)$
   $x - 64 - 25 = -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos^{-1} \left( 2 \; \pi - cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right) - cos^{-1} \left( \frac{x - 113}{112} \right) \right)$ Applet Tu

Definícia (Deliaci pomer).
Nech $\small A,B,C$ sú tri kolineárne body také, že $\small A \neq B, C \neq B$. Deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom k bodom $\small A,B$ rozumieme reálne číslo $\lambda$ (označenie $\small (ABC)$), pre ktoré platí
$\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}$.
Pre bod $\small C \notin AB$ je $\small (ABC) > 0$ a pre bod $\small C \in AB$ je $\small (ABC) < 0$. Pre $\small C =A$   je zrejme $\small (ABC) = 0$.

Poznámky.

1. V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo $\lambda$, pre ktoré platí:
   $\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$.
   Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
2. Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1. Dokážte to.
3. Pre tri rôzne kolineárne body platí:
   $\small (BAC) = \frac{1}{(ABC)} ; \;  \;  \;  (ACB) = 1-(ABC); \;  \;  \;  (CAB) = \frac{1}{1−(ABC)}$ .
   Dokážte to.
4. V rovine sú dané dva pevne body $\small A,B$. Množina všetkých bodov $\small X$ tejto roviny, pre ktoré platí
   $\small \frac{|AX|}{|BX|} = k$,
   kde $k$ je reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.

Cevova veta.
V trojuholníku $\small ABC$ sa priamky $\small {AK},{BK},{CK}$, kde $\small K$ je vnútorným bodom trojuholníka $\small ABC$ a $\small D,E,F$ sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
$\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod. Uvedieme jej prvú časť dôkazu, ktorý má konštrukčný charakter.
Dôkaz.
1. ($\Rightarrow$): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak $\small S=1$.
2. ($\Leftarrow$): Ak $\small S=1$, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].

Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar $\frac{m}{m} =1$.)
2. Výšky pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. $\small \frac{|AF|}{|FB|}= \frac{b \cdot cos \; \alpha }{a \cdot cos \; \beta }$, ak $\small CF$ je výška.)
3. Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
4. Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.

Morleyho veta.
Ak v trojuholníku $\small ABC$ zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka $\small KLM$.

Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.

Poznámky.

1. V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety $\small USU$ (uhly pri vrchole $\small U$ ... os uhla, pri vrchole $\small Z$ majú veľkosť $30^ \circ$, strana $\small UZ$ spoločná).
2. V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník $\small UXY$ je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
   • zo zhodnosti trojuholníkov $\small UXZ,UYZ$ vyplýva, že uhly pri vrcholoch $\small X,Y$ sú zhodné,
   • preto sú zhodné aj uhly $\small \angle XYU, \angle YXU: \angle UXY = \angle UXZ-60^ \circ$,
   • zároveň vieme, že platí $\small \angle XUY = \angle BUA = 180^ \circ - 2\alpha - 2\beta$.
   • trojuholníky $\small UXY,UYX$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
   • Odkiaľ pre ich veľkosti dostávame $\small \angle UXY = 180^ \circ -(180^ \circ - \alpha- \beta)= \alpha+ \beta$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
3. Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
• Ukážte, že strana Morleyovho trojuholníka je $\small  d = 8 \cdot R \cdot$sin$( \alpha )$ sin $\beta )$sin$( \gamma )$, kde $\small R$ je polomer kružnice opísanej $\small \triangle ABC$.

Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník $\small ABC$ a nech $\small A_1$ je stred strany $\small BC$. Úsečka $\small AA_1$ sa nazýva ťažnica trojuholníka $\small ABC$.

V ďalších podkapitolách tejto sekcie dokážeme vlastnosti o ťažniciach trojuholníka.

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $\small T$. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
2. Každá ťažnica je ťažiskom rozdelená na dve časti v pomere $2 : 1$.

Poznámky.

1. Ťažnice trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $t_a, t_b, t_c$.
2. Krajný bod ťažnice $\small t_a=AA_1$ označujeme $\small A_1$ resp. používa sa označenie: $\small S_{BC}$ - stred strany $\small BC$ alebo $\small S_a$ - stred strany $a$.
3. Vlastnosť, že ťažisko rozdeľuje každú ťažnicu v pomere $2 : 1$ sa na ZŠ robí meraním, na stredných školách sa už dokazuje táto vlastnosť.
4. V príprave budúcich učiteľov matematiky sa prezentuje viacero dôkazov. Napríklad ako dôsledok Cevovej vety alebo pomocou osovej afinity transformujeme trojuholník na rovnostranný. Tiež sa využíva aj vhodná rovnoľahlosť $\small H=(T, \kappa= -1/2)$.

Pri hľadaní ťažiska trojuholníka sa sústredíme na skúmanie vlastností priečok rovnobežných s danou stranou trojuholníka.

Experiment.
Vytvorme v GeoGebre model trojuholníka $\small ABC$ rozdeleného na veľmi tenké pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou $\small AB$.

1. Zrejme ťažisko $\small T_p$ každého tenkého pásika bude ležať v jeho "strede"
2. Pásiky budeme postupne zužovať, až dostaneme rovnobežné úsečky $\small PQ$ so stranou $\small AB$
3. Pri posúvaní rovnobežnej úsečky $\small PQ$ pomocou bodu $\small L$ sa bude zaznamenávať stopa jej stredu $\small T_p$
→
4. Stopa ako množina všetkých stredov $\small T_p$ je zrejme úsečka $\small C_1C$, kde $\small C_1$  je stred strany $\small AB$
5. Ťažnica trojuholníka je množina všetkých stredov $\small T_p$ priečok $\small PQ$
6. Učiteľ nabáda žiakov, aby sformulovali otázky súvisiace s ťažnicami trojuholníka. Uvádzame niekoľko vhodných otázok:
• Môže ležať ťažnica mimo trojuholníka?
• Ako zostrojíme ťažnicu trojuholníka?
• Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $ABC$ ?

Pokračujeme v ďalšom experimente a hľadajme odpovede na otázky:

1. Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $\small ABC$ ?
→
2. Na aké časti rozdeľuje ťažisko každú ťažnicu?

Experimenty sú spracované podľa práce: [LUK] Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.(Dostupné Tu).

Veta.
Ťažnice trojuholíka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.

Konštrukčný dôkaz.

1. Vyberieme (zvolíme si) dve ťažnice $\small CC_1, BB_1$
2. Zostrojíme rovnobežky s týmito ťažnicami v bodoch $\small B,C_1$. Ich jednoznačnú existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
3. Zostrojíme priesečník $\small D$ týchto rovnobežiek. Vznikne rovnobežník, v ktorom uhlopriečky $\small BC, TD$ sa rozpoľujú.
4. V trojuholníku $\small ABD$ je $\small C_1T$ stredná, odkiaľ dostávame $\small T$ je stred $\small AD$.
5. Podobne pre trojuholník $\small ABC$ je $\small B_1T$ stredná priečka trojuholníka.
6. Z bodov 4 a 5 vyplýva, že priesečník $\small E=BC, TD$ je stred strany. Teda $\small E=A_1$, čo bolo treba dokázať.

Urobte dôkaz pomocou Cevovej vety aj pomocou afinity. Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera Tu.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small KLM$ , ak je dané: $\small KL=8cm$ , $\small LM=7cm$ , $t_k=6cm$.

Rozbor úlohy.

1. V trojuholníku $\small KLA_1$poznáme dĺžky všetkých strán $\small (LA_1 = 1/2 LM)$
2. Môžeme zostrojiť trojuholník $\small KLA_1$ pomocou vety $\small sss$
3. Predĺžením strany $\small LA_1$ zostrojíme bod $\small M$

• urobte konštrukciu trojuholníka $\small KLM$ podľa vyššie uvedeného rozboru (náš návrh Tu),
• urobte diskusiu o počte riešení.

Definícia.
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.

Výšky trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $v_a, v_b, v_c$.

1. Výšky sa pretínajú v jednom bode $\small V$.
2. Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum, stiahnite si applet Tu

Úloha.
Zostrojte trojuholník, ak je daná výška $v_c$, uhol $\small α=BAC$ a uhol $\small β=BCA$.

1. Urobte rozbor tejto úlohy a porovnajte s návrhom v priloženom applete →.
2. V priloženom applete deaktivujte Začiarkavacie políčko a navrhnite postup konštrukcie.
3. Urobte symbolický zápis konštrukčných krokov v geometrickom okne 2, pozrite si náš návrh Tu →.
4. Preveďte dôkaz správnosti konštrukcie a urobte diskusiu.

Albert Einstein → (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)

Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke¹⁾ o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.

1. Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
2. Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
3. Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem.

Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.

1. Urobte analýzu tohto dôkazu. Zodpovedajte na otázky:
• Prečo môžeme zostrojiť rovnobežky $a', b', c'$
• Ktoré vlastnosti rovnobežníkov sa v dôkaze využívajú?
• Vedeli by ste ich dokázať?
2. Vaša argumentácia by mala vychádzať z elementárnych Euklidových tvrdení a postulátov.

Vyššie uvedený dôkaz sa opiera o dve základné tvrdenia:

1. V rovnobežníku protiľahlé strany majú rovnakú veľkosť. Pozrite si Euclid's Elements, Book I, Proposition 34.
2. Priamka prechádzajúca stredom kruhu a stredom tetivy je kolmá na túto tetivu a rozpoľuje túto tetivu. Pozrite si Euclid's Elements, , Book III, Proposition 3. Toto tvrdenie bolo pravdepodobne známe už Thálesovi.

V trojuholníku $\small ABC$ sú dané stredy strán $\small A_1 \in CB,B_1 \in AB,C_1 \in AB$. Spojte tieto body úsečkami.

Definícia (Stredná priečka trojuholníka).
Úsečky $\small A_1B_1$, $\small A_1C_1$, $\small B_1C_1$ sa nazývajú stredné priečky trojuholníka $\small ABC$.

Veta.

1. Trojuholník $\small ABC$ sa rozdelil na štyri "rovnaké, zhodné" trojuholníky: $\small \bigtriangleup AB_1C_1 \simeq \bigtriangleup A_1BC_1 \simeq \bigtriangleup A_1B_1C \simeq \bigtriangleup A_1B_1C_1$.
2. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, sú rovnobežné s protiľahlými stranami trojuholníka.
3. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, majú polovičnú dĺžku ako protiľahlé strany v trojuholníku.

Dôsledok.

1. Stredná priečka trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka.
2. Jej veľkosť sa rovná polovici veľkosti strany, s ktorou je rovnobežná.

Definícia.
Bod trojuholníka, ktorý je invariantný vzhľadom na rovnoľahlosť, sa nazýva trojuholníkové centrum (triangle Center).

Najznámejšie sú napríklad

1. ťažisko, ortocentrum - popísané v predchádzajúcich častiach,
2. stred kružnice opísanej a vpísanej - budú charakterizované v ďalších častiach.
   
V súčasnosti je popísaných viac ako 16 tisíc trojuholníkových centier. Každý bod v zozname je identifikovaný indexovým číslom $\small X _n$ a názvom.

Menej známe ale často využívané v konštrukciách sú Eulerova priamka a Feurbachova kružnica deviatich bodov.

Definícia (Eulerova priamka).
V ľubovoľnom trojuholníku, s výnimkou rovnostranného, ležia ortocentrum $\small O$, ťažisko $\small T$ a stred opísanej kružnice $\small S$S na jednej priamke, ktorú nazývame  Eulerova priamka. Pre ich vzdialenosti platí $\small |OS| = 2 |TS|$. V rovnostrannom trojuholníku body $\small O, T, S$ splývajú.

Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera, prípadne navrhnite iný dôkaz s využitím rovnoľahlosti Tu.

Definícia (Feuerbachova kružnica).
Nech $\small ABC$ je všeobecný trojuholník, $\small A_0,B_0,C_0$ nech sú päty jeho výšok, $\small A_1,B_1,C_1$ nech sú stredy jeho strán, $\small V$ nech je priesečník výšok a $\small P, Q, R$ nech sú postupne stredy úsečiek $\small AV, BV, CV$. Potom $9$ bodov $\small A_0,B_0,C_0,A_1,B_1,C_1,P, Q, R$ leží na jednej kružnici, ktorú nazývame Feuerbachova kružnica. Pozrite si konštrukčný dôkaz Tu.

Definícia.
Kružnica, ktorá prechádza všetkými troma vrcholmi trojuholníka sa nazýva kružnica opísaná trojuholníku.

Konštrukčne pri hľadaní stredu opísanej kružnice postupujme takto:

1. Zvolíme si ľubovoľné dve strany trojuholníka a zostrojíme ich osi .
2. Priesečník týchto osí je stred $\small S$ kružnice opísanej trojuholníku $\small ABC$.
3. Zároveň je nutné dokázať, že os tretej strany trojuholníka $\small ABC$ prechádza vždy týmto priesečníkom.
   (dôkaz už poznal Tháles) $\small \left( \left| AS\right| =\left| BS \right| ∧\left| BS\right| =\left| CS \right| \right) ⇒\left( \left| AS\right| =\left| CS \right| \right)$.
4. Z tejto konštrukcie vyplýva aj tvrdenie, že každému trojuholníku možno opísať práve jednu kružnicu.

Z uvedenej konštrukcie ľahko zodpovieme na otázky:

1. Bude ležať stred kružnice opísanej $\small S$ vždy vnútri trojuholníka?
2. Kde leží stred kružnice opísanej u pravouhlých trojuholníkov? 

Tvrdenie.
Na osi úsečky $\small AB$ ležia všetky stredy kružníc, ktoré prechádzajú obidvomi bodmi $\small A, B$.

Dôkaz uvádza Euklides v Knihe 1, Tvrdenie X., pozri kapitolu "Euklidovské konštrukcie".

Definícia.

1. Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku sa nazýva Tálesova kružnica.
2. Stred Tálesovej kružnice leží v strede prepony $\small AB$ trojuholníka $\small ABC$.
3. Hovoríme, že Tálesova kružnica je zostrojená nad priemerom $\small AB$.

Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku.

1. Veľkosť polomeru opísanej kružnice určuje vzťah $r= \frac{a}{2 \sin \alpha}= \frac{b}{2 \sin \beta}= \frac{c}{2 \sin \gamma }$
2. Spojnica stredu opísanej kružnice a vrcholu trojuholníka je kolmá k strane jeho ortického trojuholníka (tzv. Nagelova veta →).
3. Kružnica deviatich bodov je rovnoľahlým obrazom opísanej kružnice so stredom rovnoľahlosti v ťažisku trojuholníka a koeficientom $\kappa = - 0,5$.

Ortický trojuholník je trojuholník, ktorý je tvorený spojnicami pat výšok trojuholníka.

Definícia.
Ak z ľubovoľného bodu $\small X$ opísanej kružnice zostrojíme kolmice k jednotlivým stranám trojuholníka, tak päty týchto kolmíc budú ležať na jednej priamke. Túto priamku nazývame Simsonova priamka. Ak bod $\small X$ spojíme s ortocentrom (priesečník výšok trojuholníka), tak Simsonova priamka prechádza stredom tejto úsečky.

Definícia. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka sa nazýva vpísaná kružnica.

Vlastnosti

1. Stred kružnice vpísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osí jeho vnútorných uhlov
2. Stred kružnice vpísanej trojuholníku je vnútorným bodom trojuholníka
3. Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka, pre jeho veľkosť platí:
• $\rho = {\frac {2S}{o}}$ $o$ = obvod trojuholníka, $\small S$ = obsah
• $\rho =\frac{1}{2} (a+b+c) \cdot \ tg( \frac{ \ \alpha}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \beta}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \gamma }{2})$
  
4. Vzdialenosť medzi stredmi kružnice vpísanej a opísanej je $d={\sqrt {r^{2}-2r\rho }}$
   

Cvičenie.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, pre ktorý je dané: $v_c = 5\; cm, , b = 6\; cm, \rho = 2\; cm$ →

Definícia. Kružnica, ktorá sa zvonka dotýka strany trojuholníka a dvoch priamok, ktoré sú predĺžením zvyšných strán trojuholníka sa nazýva kružnica pripísaná trojuholníku.

Vlastnosti

1. Stred kružnice pripísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osi jedného vnútorného uhla a dvoch vonkajších uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch.
2. Každý trojuholník má tri pripísané kružnice.
3. Vzdialenosť vrcholu trojuholníka $\small A$ od dotykového bodu $\small T_i$ pripísanej kružnice je rovná polovici obvodu trojuholníka $\small | AT_i| =\frac{O_{ABC}}{2}$.

Veta (Veta o osi vnútorného uhla). V každom trojuholníku platí, že os vnútorného uhla delí protiľahlú stranu v rovnakom pomere, ako je pomer dĺžok príslušných priľahlých strán.

Cvičenie.

1. Vyhľadajte v Euklidových Základoch tvrdenia - Kniha I. T/34 a Kniha III, T/3.
2. Vyhľadajte v literatúre iné dôkazy vety o ortocentre trojuholníka.

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku $\small ABC$, v ktorom prepona má veľkosť $c$ a odvesny majú veľkosti $a,b$ platí $\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}$ .

Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu.  
4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
5. Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie.

Poznámky.

1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
   • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
   • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - $\small A$ a štvrtý na mieste $\small C$ a siedmy na $\small B$,
   • vznikol pravý uhol $\small ABC$.

Veta (Obrátená pytagorova veta).
Ak v trojuholníku $\small ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou $c$.

Príklad.
Dané sú sústredné kružnice $\small k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2$. Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami $k_1, k_2$ a obsahom kruhu nad tetivou $\small XY$ kružnice $k_1$, ktorá sa dotýka kružnice $k_2$. Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Wiki odkaz Tu). Otvorte si applet Tu

Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII).

Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.

Dôkaz.

1. $\small ABC$ je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom $\small BAC$. Hovorím, že štvorec na $\small BC$ sa rovná (súčtom) štvorcov na $BA$ a $\small AC$.
2. Nech je narysovaný
• na $\small BC$ štvorec $\small BDEC$
• na $\small BA$ a $\small AC$ štvorce $\small GB$ a $\small HC$. (T.46)
3. Bodom $\small A$ je vedená rovnobežka $\small AL$ k $\small BD$ alebo k $\small CE$ (T.31) a spojnice (úsečky) $\small AD$ a $\small FC$. (Post.1)
4. Vzhľadom na to, že každý z uhlov $\small BAC$ a $\small BAG$ je pravý, z toho vyplýva, že priamkou $\small BA$ a bodom $\small A$ na ňom dve priame línie $\small AC$ a $\small AG$, ktoré nie sú ležiace na tej istej strane, spôsobujú, že susedné uhly sa rovnajú dvom pravým uhlom (Def.22)
• preto $\small CA$ je v priamke s $\small AG$ (tvoria jednu priamku) (T.14)
• z rovnakého dôvodu je $\small BA$ tiež v priamke s $\small AH$.
• 
5. Pretože uhol $\small DBC$ sa rovná uhlu $\small FBA$, pretože každý je pravý (Post.4)
• pridajte uhol $\small ABC$ do každého, preto sa celý uhol $\small DBA$ rovná celému uhlu $\small FBC$ (Kon.2)
6. Keďže $\small DB$ sa rovná $\small BC$ a $FB$ sa rovná $\small BA$ (Def.22),
• obe strany $\small AB$ a $\small BD$ sa rovnajú obom stranám $\small FB$ a $\small C$ a 
  uhol $\small ABD$ sa rovná uhlu $\small FBC$, preto základňa $\small AD$ sa rovná základni $\small FC$ a
  trojuholník $\small ABD$ sa rovná (je zhodný) trojuholníku $\small FBC$. (T.4)
• →
7. Teraz rovnobežník $\small BL (BDLA_0)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small ABD$, pretože majú rovnakú základňu $\small BD$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small BD$ a $\small AL$ (majú spoločnú výšku). (T.41)
8. A štvorec $\small GB (ABFG)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small FBC$, pretože opäť majú rovnakú základňu $\small FB$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small FB$ a $\small GC$. (T.41) 
9. Preto sa rovnobežník $\small BL$ rovná štvorcu $\small GB$. (Kon.2)
10. Podobne, ak vedieme spojnice (úsečky) $\small AE$ a $\small BK$, rovnobežník $\small CL$ sa rovná štvorcu $\small HC$. Preto sa celý štvorec $\small BDEC$ rovná súčtu dvoch štvorcov $\small GB$ a $\small HC$. (Kon.2) 
11. A štvorec $\small BDEC$ je narysovaný na $\small BC$ a štvorce $\small GB$ a $\small HC$ na $\small BA$ a $\small AC$. Teda štvorec na $\small BC$ sa rovná súčtu štvorcov na $\small BA$ a $\small AC$. 
    

V dôkaze boli použité tieto zdroje z Euklidových Základov:

1. Definícia 22: Zo štvorstranných útvarov je štvorec, ktorý je rovnako rovnostranný a pravouhlý; obdĺžnik, ktorý je pravouhlý, ale nie rovnostranný; kosoštvorec, ktorý je rovnostranný, ale nie pravouhlý; kosodĺžnik, ktorý má opačné strany a uhly rovno navzájom, ale nie je ani rovnostranný, ani pravouhlý. Okrem týchto sú to štvoruholníky, ktoré sa nazývajú lichobežníky (rôznobežníky). 
2. Postulát 1: Nech je úlohou nakresliť priamku z ktoréhokoľvek bodu do ktoréhokoľvek bodu. Tento prvý postulát hovorí, že vzhľadom na akékoľvek dva body, ako sú A a B, existuje priamka AB, ktorá ich má ako koncové body. (Porovnaj s postulátom 5).
3. Postulát 4: To, že všetky pravé uhly sa navzájom rovnajú. 
4. Tvrdenie 4: Ak dva trojuholníky majú dve strany rovnajúce sa dvom stranám a majú uhly obsiahnuté v rovnakých rovných priamkach rovnaké, potom majú tiež základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom respektíve, a síce oproti rovnakým stranám. Veta o zhodnosti trojuholníkov - sus 
5. Tvrdenie 14: Ak na priamke a v bode na nej sú dve priamky, ktoré neležia na tej istej strane, sa súčet susedných uhlov rovná dvom pravým uhlom, potom sú tieto dve priamky navzájom k sebe v priamke (tvoria jednu priamku). Tvrdenie 31 Vytvor priamku cez daný bod rovnobežne s danou priamkou. 
6. Tvrdenie 41: Ak rovnobežník má rovnakú základňu s trojuholníkom a je medzi tými istými rovnobežkami, rovnobežník je dvakrát väčší ako trojuholník. 
7. Tvrdenie 46: Na danej priamke narysuj štvorec. (Súčasná matematická formulácia tejto vety: Nad danou úsečkou je možné narysovať štvorec.) 
8. Koncepcia/Zásada 2: Ak sú rovnosti pridané do rovnováhy, potom celky sú rovnaké. 
9. Koncepcia/Zásada 5: Celok je väčší než časť.

Cvičenie.
Vytvorte si vlastný applet, ktorým budete interpretovať Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Pozrite si náš návrh:

Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.

Dôkaz.
Nech v pravouhlom trojuholníku $\small ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $\small C$ je $\small v_c=CC_0$ výška na preponu $\small AB$.
Zrejme platí:

1. výška $v_c$ pravouhlého trojuholníka rozdelí trojuholník na ďalšie dva pravouhlé trojuholníky,
2. päta výšky $v_c$ rozdelí preponu na dva úseky priľahlé k odvesnám trojuholníka: $c_a$ a $c_b$,
3. zo vzťahu $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$ dostávame $\alpha = 90^\circ - \beta$,
4. všetky tri vzniknuté trojuholníky sú navzájom podobné: $\small ACB \sim AC _0C \sim CC_0B$ .

Z podobnosti trojuholníkov $\small ACB \sim AC_0C$ a $\small ACB \sim CC_0B$ vyplýva: $v_c : c_b = c_a : v_c$. Po úprave dostaneme vzťah ${v_c}^2= c_a . c_b$.
Tým je dôkaz Euklidovej vety o výške ukončený. Dôkaz, ktorý využíva zhodnosť od Vinklera nájdete Tu.

Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.

Dôkaz.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small CBC_0$ vyplýva: $a : c= c_a : a$. Po úprave dostaneme vzťah $a^2= c . c_a$.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small ACC_0$ odvodíme druhú Euklidovu vetu $b^2= c . c_b$.

Cvičenie.
Dokážte Pytagorovu vetu pomocou Euklidových viet.

Význam pojmov Zhodnosť a Podobnosť vo všeobecnosti možno vykladať rôznymi spôsobmi. V geometrii tieto termíny bežne sa používajú v prípadoch, ktoré sa týkajú merania.  Prídavné meno zhodné (kongruentné) sa často používa na označenie predmetov, ktoré sa môžu prekrývať, zatiaľ čo podobné je voľnejšia myšlienka, ktorá spája predmety rovnakého charakteru.

1. Fráza "zhodné objekty" sa používa na opis útvarov, ktoré za určitých okolností navzájom sa dajú premiestniť tak, aby "sa prekrývali". Charakteristika dvoch zhodných geometrických útvarov sa v matematike opiera o systém axióm. Zhodné útvary majú rovnaké rozmery a možno ich prekrývať, zatiaľ čo podobné útvary sú tie, ktoré sa zdajú byť identické, ale nemožno ich prekrývať. Obe tieto frázy môžu v širších súvislostiach označovať množstvo iných vecí.
2. Termín "podobnosť" je odvodené z latinského slova "similis", čo znamená "ako alebo podobné". V matematickej oblasti si podobnosť vyžaduje dva objekty, ktoré majú rovnaký tvar, ale nie nevyhnutne rovnakú veľkosť.

Porovnávacia tabuľka prevzatá z UnAcademy                                                                        

	Zhodný	Podobný
Význam	Vzťahuje sa na postavy alebo čokoľvek iné, čo má rovnakú veľkosť a tvar a môže sa navzájom prekrývať.	Používa sa na opis postáv alebo iných objektov, ktoré majú podobnú veľkosť a tvar, ale nie sú identické z hľadiska rozmerov.
Presnosť	Geometricky "presné" a prekrývajúce sa útvary/obrazce sú známe ako zhodné útvary.	Slangová fráza pre identické postavy, ktoré majú veľa spoločného, pokiaľ ide o tvar ale nie veľkosť.
Orientácia	Dokonca aj keď sú umiestnené v opačných orientáciách, zhodné postavy sa navzájom prekrývajú.	Aj keď sú usporiadané v rovnakom smere, podobné objekty sa navzájom neprekrývajú.

Definícia.

1. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú zhodné, ak sa zhodujú vo všetkých odpovedajúcich stranách a vo všetkých odpovedajúcich uhloch. Označujeme $\small \triangle ABC \simeq \triangle A'B'C'$.
2. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné. Označujeme $\small \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Veta (o zhodnosti trojuholníkoch).

1. (sus)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom sú zhodné.
2. (sss)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v troch stranách sú zhodné.
3. (usu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých, tak sú zhodné.
4. (Ssu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej strane, tak sú zhodné.

Dôkaz.

1. Euklidových Základoch je veta sformulovaná ako Proposition 4 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
   2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$. 
   Nepriamy dôkaz
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$. 
   • Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$. 
   2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.  
   • Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$. 
   3. Ale $\small B$ sa tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej. 
   • V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
   4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$ a rovná sa. 
   5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$ .
   3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.
      
      Ilustračný obrázok vety (sus).
2. V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je prenesený na trojuholník $\small DEF$ tak, aby bod $\small B$ bol umiestnený na bode $\small E$ a priamka $\small BC$ na $\small EF$.
   2. Potom bod $\small C$ sa prekrýva (zhoduje) s bodom $\small F$, pretože $\small BC$ sa rovná $\small EF$.
   3. Ukážeme, že aj úsečka $\small BA$ resp. $\small CA$ sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou $\small ED$ resp. $\small FD$. Budeme dokazovať nepriamo.
      1. Nech základňa $\small BC$ sa prekrýva (zhoduje) so základňou $\small EF$ ale strany $\small BA$ a $\small AC$ sa neprekrývajú so stranami $\small ED$ a $\small DF$ (zobrazia vedľa ako $\small EG$ a $\small GF$. Uvažujme prípad, keď bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFL}$.
      2. Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I)vyplýva:
   • Keďže trojuholník $\small EDG$ je rovnoramenný, tak uhol $\small DGE$ rovná uhlu $\small GDE$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDE$ je väčší ako uhol $\small GDF$.
   • Tiež trojuholník $\small GDF$je rovnoramenný, preto aj uhol $\small GDF$ rovná uhlu $\small DGF$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDF$ väčší ako uhol $\small GDE$, čo je spor.
   • Preto musí byť bod $\small D$ totožný s bodom $\small G$.
   • Podobne postupujeme v prípade, ak bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFE}$.
     
   4. Ukázali sme, že strana $\small BA$ resp. $\small AC$ sa prekrýva so stranou $\small ED$ resp. $\small DF$. To znamená, že uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
   5. Teraz stačí použiť vetu $sus$ a dostávame tvrdenie: trojuholníky $\small ABC$ a $\small DEF$ sú zhodné.

V trojuholníkoch $\small ASC, BSC$ odpovedajúce strany majú rovnakú dĺžku. Keďže

1. ramená rovnoramenného trojuholníka sú zhodné úsečky,
2. stred $\small S$ rozpoľuje základňu $\small AB$, preto $\small AS=BS$,
3. $\small v_c=CS$ je spoločná strana pre obidva trojuholníky $\small preto, BSC$ preto platí :
V trojuholníkoch odpovedajúce strany majú rovnakú veľkosť, preto $\small \bigtriangleup ASC \simeq \bigtriangleup BSC$.

Poznámky.

1. Tháles: V rovnoramennom trojuholníku uhly pri základni sú zhodné.
2. Euklides: Základy/Proposition 5 (Euclid's Elements, Book I. )

Príklad 3. (Veta Ssu)
Na osi $o$ ostrého uhla $\small AVB$ zostrojte vnútri uhla $\small AVB$ bod $S$. Zostrojte kružnicu $o$ $\small k=(S,r)$ tak, aby platilo $r > VS$ .
Označte priesečníky priamky $\small AV$ s kružnicou $k$ ako $\small M,N$ a priesečníky priamky $\small BV$ s kružnicou $k$ ako $\small P,Q$ .

Dokážte, že úsečky $\small MN, PQ$majú rovnakú veľkosť.

Analýza úlohy. 

1. Najskôr sa pokúste dokázať rovnosť $\small VQ = VN$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔNVS ≅ ΔQVS$ .
Pre tieto trojuholníky platí: 
• strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom 
• $\small SN≅ SQ$ (polomery kružnice $\small k$
• $\small ∢SVN ≅ ∢SVQ$ (os uhla - zhodné polovice uhla $\small ∢BVA$ ) 

Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VQ ≅ VN$.
2. Potom dokážte rovnosť $\small VM = VP$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔPVS ≅ ΔMVS$ .
   
   
   Pre tieto trojuholníky platí:
   • strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom
   • $\small SM ≅ SP$ (polomery kružnice $k$)
   • $\small ∢SVM ≅ ∢SVP$ (súčet zhodných vrcholových uhlov a polovíc uhla $\small ∢BVA$ )
   Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VM ≅ VP$
3. K ukončeniu dôkazu si stačí uvedomiť, že úsečky $\small MN$ a $\small PQ$ získame sčítaním dvoch dvojíc zhodných úsečiek, platí $\small MN ≅ PQ$.

Príklad 4.
...

... ...

Definícia.
Dva trojuholníky $\small △ABC, △A_1B_1C_1$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.

Trojuholník $\small △ABC$ je podobný trojuholníku $\small △A_1B_1C_1$, práve vtedy keď existuje kladné číslo $k$ také, že pre ich strany platí:

• $\small \left| \begin{matrix} AB \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1B_1 \end{matrix} \right|$,
• $\small \left| \begin{matrix} AC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1C_1 \end{matrix} \right|$, 
• $\small \left| \begin{matrix} BC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} B_1C_1 \end{matrix} \right|$ 

a pre ich uhly platí:

• $\alpha \simeq \alpha_1$,
• $\beta \simeq \beta_1$, 
• $\gamma \simeq \gamma_1$. 

Definícia.
Pomer $k$ nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov. Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:

• $k > 1$ - zväčšenie,
• $k < 1$ - zmenšenie,
• $k = 1$ - trojuholníky sú zhodné.

 Tu

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak sú dané jeho výšky $v_a,v_b,v_c$

Rozbor.

1. Hľadajme súvislosti medzi výškami trojuholníka a jeho stranami. Použijeme vzťah pro obsah trojuholníka: $\small S = \frac{1}{2} a . v_a$.
2. Z neho vyplýva, že $\small 2 . S = a .v_a = b . v_b = c . v_c$ a teda $a : b : c = 1/v_a : 1/v_b : 1/v_c$.
3. Označme $a´= 1/v_a,  b´ = 1/v_b ,  c´= 1/v_c$  
   
4. Uvažujme o ľubovoľnom trojuholníku $\small A´B´C´$ so stranami $a´,b´,c´$.
5. Takýto trojuholník je podobný trojuholníku $\small ABC$, lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$ .

1. V trojuholníku $\small KLM$ označme jeho výšky $a´,b´,c´$. 
2. Zrejme platí: $v_a : v_b : v_c = 1/a´: 1/b´: 1/c´$. Toto tvrdenie vyplýva z analýzy urobenej v druhom bode rozboru tejto úlohy. 
3. Po úprave dostaneme $1/v_a : 1/v_b : 1/v_c = a´: b´: c´ = a : b : c$ .
4. Konštrukciu začneme zostrojením trojuholníka $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$
• následne zostrojíme trojuholník $\small A´B´C´$ so stranami $a´, b´, c´$
• nakoniec zostrojíme trojuholník $\small ABC$ podobný trojuholníku $\small A´B´C´$.

Diskusia. Úloha má práve jedno riešenie, ak výšky spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.

Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $S$  vzdialenosť  rovnú kladnému reálnemu číslu $r$ sa nazýva kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $\small S$ vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu $r$ sa nazýva kruh so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky

Bod $\small S$ nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo $r> 0$ polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery $\small SA,SB$ rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva $\small AB$ rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.

Definícia.
Dané dve kružnice $k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2)$ s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) $\small S_1S_2)$ ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.

Ak majú kružnice len jeden spoločný bod $\small k_1 ∩ k_2 = T$, tak hovoríme, že kružnice sa dotýkajú.

1. Kružnice majú vonkajší dotyk , ak platí: $\small S_1S_2 = r_1 + r_2$.
2. Kružnice majú vnútorný dotyk, ak platí: $\small S_1S_2 = r_1 - r_2$.

Nech $\small ACB$ je oblúk kružnice $\small k (S; r)$ a jemu prislúchajúci obvodový uhol $\small ∢ ACB$. Skúmajme jeho veľkosť.

Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.

Otvorte motivačný applet Tu.

1. Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov $\small ∢ ACB$ od polohy bodu $\small C$.
2. Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu $\small C$, rozhodujúce sú body $\small A,B$ resp. uhol $ω$.
3. Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.<\li>
4. Ak body $\small A, B$ sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
   Definícia.
   Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou $\small AB$ je kružnica $k$ s priemerom $\small AB$ okrem bodov $\small A, B$. Kružnicu $k$ nazývame Thálesova kružnica.

Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.  

1. "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
2. "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).

Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:

Dôsledok.

Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ je vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

1. Zvoľme bod $\small C$ na kružnici $\small k(S, r=SA$ tak, aby bod $\small S$ bol vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$.
2. Podľa predchádzajúceho dôsledku veľkosť vonkajšieho uhla $\small \angle ASC_1$ trojuholníka $\small ASC$ pri vrchole $\small S$ je rovná dvojnásobku veľkosti uhla $\small \angle SCA$ pri základni rovnoramenného trojuholníka $\small ASC$. Podobne pre trojuholník $\small BSC$ platí $\small \angle BSC_1$=2.$\small \angle SCB$.
3. Odtiaľ dostávame
   $\small \angle ASB$=2.\( \small \angle ACB).

Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ leží na ramene uhla $\small ∡ACB$ Potom obvodový uhol $\small ACB$ je tiež polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body $\small B, S, C$ ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.

Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Zrejme platí $\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta$. Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole $\small C$. Zistíme, že $\small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS$. Keďže trojuholníky $\small ASC$, $\small BSC$ sú rovnoramenné, tak platí Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod $\small C$ môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.

Príklad.
Je daná kružnica $\small k (S, r))$ a na nej dva body $\small A,B$. Pre každý priemer $\small XY$ kružnice $k$ zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok $\small AX, BY$. Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že $AB$ nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2.)

V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina $\small M$ bodov s danou vlastnosťou $\small V$. Symolicky to môžeme zapísať takto $\small  M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace$. Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa skladá z troch častí:

1. Najskôr musíme určiť základné charakteristické prvky danej množiny (najčastejšie experimentálne) resp. komplexne popísať danú množinu $\small M$. Potom overiť platnosť výrokov:
2. $\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$,
3. ak $\small X$ má vlastnosť $\small V$, tak patrí do množiny $\small M$.

V našom príklade budeme pri experimentovaní postupovať takto:

1. Thalesova veta hovorí, že trojuholníky $\small XAY, XBY$ sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch $\small A,B$.
2. Obvodové uhly $\small \angle AXB$ a $\small \angle BYA$ majú rovnakú veľkosť $\alpha$.
3. Označme si $\small \phi = \angle AXY$ a $\small \psi = \angle BYX$.
4. Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto bude $\phi+\alpha =90°- \psi, \; \psi+ \alpha =90°- \phi$.
5. Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov $\phi+ \psi$ je konštantný pre ľubovoľný priemer $\small XY$ a dva pevné body $\small AB$.
6. Preto aj vrcholové uhly $\small \angle XPY=\angle APB$ majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body $\small P$ ležia na kružnicovom oblúku $\small (APB)$.
7. K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer $\small XY$ a jeden odpovedajúci priesečník $\small P=AX \cap BY$.

Postup, ktorý sme popísali v týchto 7 krokoch, zahŕňa časť A aj časť B. Experimentálne sme stanovili, že množina $\small M$ je kružnicový oblúk $\small (APB)$. Na overenie platnosti výroku "$\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$" teraz stačí ukázať, že výroková formula $[(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.)$ je tautológia.  To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup $[(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1.$ je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.

Poznámky.

1. Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
2. Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú množinu $\small M$.
3. Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
4. Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.

Je daná kružnica $\small k(S,r)$ so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Bod $\small M$ leží zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small M$ a $\small A,B$ sú priesečníky sečnice s kružnicou $k$ .

Skúmajme súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$. Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu $\small M$, môžeme vysloviť hypotézu:

Otvorte si motivačný applet Tu.

Otázky.
Je súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$ nezávislý od polohy sečnice $\small p= \overleftrightarrow{AB}$? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov $\small A,B$?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice $\small k(S,r)$? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.

Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu $\small M$ roviny možno priradiť reálne číslo $m$ , pre ktorého absolútnu hodnotu platí $\small |m| = |MA| × |MB|$, pričom

1. $m > 0$ pre bod $\small M$ ležiaci mimo kružnice (vonkajší bod kružnice),
2. $m = 0$ pre bod $\small M$ ležiaci na kružnici (bod kružnice),
3. $m < 0$ pre bod $\small M$ ležiaci vnútri kružnice (vnútorný bod kružnice).
Číslo $m$ sa nazýva mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $k$.

Veta 1.
Mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $\small k(S,r)$ nezávisí od polohy sečnice kružnice, ktorá prechádza bodom $\small M$ .

Dôkaz.

1. Uvažujme o trojuholníkoch $\small \triangle MCA, \triangle MBD$.
2. Obvodové uhly k oblúku $\small AC$ pri vrcholoch $\small B,D$ sú zhodné.
3. Uhol $\xi$ pri vrchole $\small M$ je spoločný pre obidva trojuholníky.
4. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné.
5. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MB|}{|MD|}=\frac{ |MC|}{|MA|}$.
6. Odtiaľ dostávame $\small |MA| × |MB| = |MC| × |MD|=$konštanta.
7. Tým je dôkaz ukončený.

Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu $\small CD$ tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude

• $\small \left| MD\right|=\left| MS\right|+\left| SD\right|=v+r$  a
• $\small \left| MC\right|=\left| MS\right|-\left| SC\right|=v-r$.
Po vynásobení $(v+r)(v-r)=v^2-r^2$.

Poznámka.
V prípade, keď bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo $\small m = v^2 -r^2$ záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.

Veta 2.
Pre mocnosť bodu $\small M$, ktorý leží zvonka kružnice $\small k(S,r)$, platí rovnosť $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$. Bod $\small T$ je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom $\small M$.

Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.

1. Vzťah $\small |m| = |MA| × |MB|$ platí pro ľubovoľnú sečnicu.
2. Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode $\small T$.
3. Bod $\small A$ i bod $\small B$ sa blížia k bodu $\small T$.
4. Veľkosť úsečky $\small MA$ sa blíži k veľkosti úsečky $\small MT$.
5. Z toho usudzujeme, že súčin $\small MA × MB$ sa blíži k súčinu $\small MT × MT = {MT}^2$.

Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov $\small \triangle MAT, \triangle MTB$, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}$.
Pri odvodení vzťahu $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$ môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník $\small MST$ je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.

Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.

Korektnosť definície a konštrukcia chordály.

1. Dané kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$ sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
2. Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť $m = 0$ k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
3. V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu $\small  k_3(S_3,r_3)$, ktorá pretína obe kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Zostrojme chordály $\small  chord(k_i,k_3)=\overleftrightarrow{A_iB_i}, \; i=1,2$. Ich priesečník označme $\small P$. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Aktivujte si priložený applet.

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V tejto kapitole sa budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. osovú afinitu,
   
3. stredovú kolineáciu,
4. kruhovú inverziu.

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý.  Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

Definícia.

1. Zhodné zobrazenie, ktoré nemení orientáciu trojice nelineárnych bodov nazývame priama zhodnosť . Zobrazenie, ktoré nie je priama zhodnosť sa nazýva nepriama zhodnosť.
2. Útvar $\small U$ nazývame samodružným zobrazenie $f$, ak sa v zobrazení $f$ zobrazí sám do seba, t.j. $\small f(U)=U$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.

Definícia.
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť,
3. Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small AX+ BX$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.

Otvorte applet od autora Daniel Mentrard Tu.

Definícia.
Nech $\small S$ je daný bod. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že bod $\small S$ je stredom úsečky $\small XX'$ nazývame stredová súmernosť ,
3. bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania.

Otvorte si dynamickú prezentáciu Tu.

Definícia.
Nech je daný bod $\small S$, uhol $\alpha$ (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, ktorý leží na kružnici $\small k(S;SX$ a zároveň uhol $\small XSX'$ je zhodný s uhlom $\alpha$, pričom orientácia je kladná, resp. záporná, sa nazýva otáčanie ,
3. Bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania. Otočenie so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ a kladnou resp. zápornou orientáciou budeme označovať $\rho_{S; -\alpha }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenia (Rozklad zhodností na osové súmernosti).

1. Identitu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú totožné. (Dôkaz prenechávame na čitateľa).
2. Každú stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú na seba kolmé a prechádzajú stredom stredovej súmernosti.
3. Každú rotáciu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi prechádzajú stredom rotácie, zvierajú uhol, ktorého veľkosť sa rovná jednej polovici veľkosti uhla rotácie, pričom orientácia uhla rotácie je súhlasná s orientáciou uhla od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.

Cvičenie (Stredová súmernosť).
Sú dané dve sústredné kružnice $k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom. Riešenie Tu.

Definícia.
Daný je vektor $\vec{u}$. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu $\small X$ je bod $\small X'$, pričom platí rovnosť vektorov $\small \vec{u}=\vec{XX'}$, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor $\vec{u}$ nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor $\vec{u}$ budeme označovať $\tau_{\vec{u} }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenie.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".

Otvorte si applet "Posunutie" Tu.

Definícia.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.

Otvorte si riešenie Tu.

Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou $o$ a vektorom $\vec{u}$ budeme označovať $\psi_{o;\vec{u}}$).

Poznámka.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.

Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.

Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti $\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)$ a nech $o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1$ sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:

1. Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
2. Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
3. Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.

Cvičenie
Daný je pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$ a body $\small X, Y$ , pričom $\small (ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $\small AXS$ do trojuholníka $\small Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?

Riešenie

Tvrdenie.

1. Zloženie ľubovoľného konečného počtu osových súmerností možno vždy redukovať na zloženie maximálne troch osových súmerností. Pozrite si konštrukčný dôkazu Tu.
   
2. Zložením ľubovoľného konečného počtu zhodných zobrazení je identita, alebo osová súmernosť, alebo stredová súmernosť, alebo rotácia, alebo translácia, alebo posunutá súmernosť.
3. Všetky zhodnosti v rovine tvoria vzhľadom na skladanie zobrazení grupu (tzv. grupu zhodností). Generátorom grupy zhodností je osová súmernosť.

Zhodnosti reprodukujúce štvorec tvoria podgrupu. Pozrite si dynamický model.

Otvorte Tu.

Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky $\small AB$ je úsečka $\small A'B'$, ktorej veľkosť je $k$-násobkom veľkosti úsečky $\small AB$ ( $k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

• obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$, obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
• obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$,
• obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
• obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol \\small \angle A'VB' \) zhodný s uhlom $\small \angle AVB$.

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod $\small S$ a reálne číslo $\kappa, \kappa \neq 0$. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie $\mathscr{H}(S, \kappa)$, ktoré priraďuje:

1. každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$, pre $\kappa>0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$, pre $\kappa$ na polpriamke k nej opačnej,
2. bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$.

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom $|\kappa|$. Pre $\kappa=1$ je identitou, pre $\kappa=-1$ rotáciou okolo $\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode $\small S$ ).
Pre $\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred $\small S$. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí: $\small  AB\; || \;A'B'$. Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta 1.
V rovnoľahlosti $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$: $\small X \rightarrow X'$

1. každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
2. každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
3. každé dve nezhodné kružnice $\small  (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
4. spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta 2.
Nech sú dve kružnice $\small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2)$ rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod $\small S_1$, vnútorný stred rovnoľahlosti $\small S_2$. Potom platí
$\small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1$,$\small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2$ .

Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.

Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka $\small ABC$ vpíšte štvorec $\small KLMN$ tak , aby strana $\small KL$ ležala na strane $\small AB$, bod $\small M$ ležal na strane $\small BC$ a bod $\small N$ na strane $\small AC$.
Riešenie v práci [RUM], str. 98. 

Cvičenie 2.
Sú dané dva rôzne body $\small A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $\small M$ bol stredom jeho strany $\small BC$.

Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.

Geometrické zobrazenia $\small f$ v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.

Definícia (Samodružné prvky).

1. Samodružný bod $\small X \in \mathbb E_2$ je bod, ktorý sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba. Platí: $\small X' = f(X)$.
2. Samodružná priamka $\small p \subset \mathbb E_2$ je priamka, ktorá sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sama na seba $\small p= f(p)$. Zároveň existuje bod $\small P \in p$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small P' \neq P ; P' \in p$ .
3. Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.

Zvoľme si v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ dve rôznobežné priamky $\small o=PQ, s=AA'$. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie $\small OA$ s vlastnosťami

1. Obrazom ľubovoľného bodu $\small X \in o=PQ$ je ten istý bod $\small X$, priamka $\small o=PQ$ je bodovo samodružná..
2. Obrazom ľubovoľného bodu $\small B \in \mathbb E_2$ je bod $\small B' \in \mathbb E_2$, ktorý leží na priamke $\small s^B=BB' \parallel s=AA'$.
3. Obrazom priamky $\small m=AB$ je priamka $\small m'=A'B'$, pričom bod $\small 1=m \cap m'$ je samodružný. V prípade rovnobežnosti $\small m \parallel o$ je tiež $\small m' \parallel o$ (bod 1 je nevlastný).
4. Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou $\small s=AA'$ je tá istá priamka, priamka je samodružná.
5. Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.

Vlastnosti.

• osová afinita je jednoznačne určená priakou $\small o=PQ$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$,
• priamku $\small o=PQ$ nazývame os afinity a priamku $\small s=AA'$ nazývame smer afinity,
• osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].
  

Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.

Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník $\small ABC$ zobrazil do rovnostranného trojuholníka $\small A'B'C'$. Riešenie nájdete Tu.

Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $(\small A, A'$$)$. Zostrojte bod $\small B'$, ktorý je obrazom daného bodu $\small B$. Nech $m =\small AB$ je priamka určená bodmi $\small A, B$. Uvažujme dva prípady:

1. Priamka $m$ je rôznobežná s osou $o$, riešenie Tu.
2. Ak priamka $m$ je rovnobežná s osou $o$ tak použijeme konštrukciu:
   • zvoľme si vhodnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá nie je rovnobežná s osou $o$
   • na priamke $p$ si zvoľme bod $\small C$ tak, aby priamka $\small BC$ nebola rovnobežná s osou $o$
   • obrazom priamky $\small p = AC$ je priamka $\small a´= A´1$, obraz $\small C´$ bodu $\small C$ musí ležať na priamke $a´$
   • bodmi $\small B, C$ je určená priamka $\small b = BC$, obrazom priamky $b$ je priamka $\small b´= C´2$
   • obraz $\small B´$ bodu $\small B$ musí ležať na priamke $b´$, riešenie Tu.

Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).

Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.

1. Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
   Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.)

Otvorte si applet Tu.
2. Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
   V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Pozrite si prácu [PLI].

Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".

Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny $\alpha, \alpha'$ a ich priesečnicu označme $o$. Zvoľme ďalej smer $s$, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami $\alpha, \alpha'$. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny $\alpha$ bodom a priamkam roviny $\alpha'$ tak, že platí:

• spojnice zodpovedajúcich si bodov sú rovnobežné s priamkou $s$,
• priesečníky zodpovedajúcich si priamok ležia na priamke $o$.

Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.

• Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
• Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).

Obr. Rez hranola
• Rovina $\rho$ zodpovedá rovine rezu, rovina $\rho'$ zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad $\small AE$. Zodpovedajúce si body sú napríklad body  $\small A,A'$. Os $o$ je priesečnica rovín $\rho, \rho'$ a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami

Otvorte si dynamický obrázok Tu.

Vlastnosti.

1. Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod $\small U \in \alpha$ leží v rovine rovnobežnej s rovinou $\alpha'$, tak priamka $\small \overleftrightarrow{SU}$ sa s rovinou $\alpha'$ pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod $\small V_ \infty$.

Otvorte si dynamický obrázok Tu.
2. Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
3. Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
4. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.

Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:

1. Vlastný bod $\small U$, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného $\small U'_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
2. Vlastný bod $\small V'$, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu $\small V_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
3. Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.

Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred $\small S$ je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.

Otvorte si krokované riešenie Tu.

Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami $\alpha, \alpha'$ v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.

1. Zvolíme si rovinu $\pi$, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín $\alpha, \alpha'$.
2. Os kolineácie $o$, stred kolineácie $\small S$ a zodpovedajúce si body $\small A,A'$ premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny $\pi$.
3. Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body $\small A*, A'*$ platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
4. Stred kolineácie $\small S*$ je rovnobežným priemetom stredu $\small S$, podobne body $\small A*, A'*$ sú priemety bodov $\small A,A'$.
5. Dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ nazývame kolineárne združené body.
6. Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom $\small S$, osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A → A'$. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$.

Cvičenie.

1. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte(určte) úbežnice. Riešenie Tu.
2. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ zostrojte obraz trojuholníka $\small ABC$. Strany $\small AB, AC$ pretínajú úbežnicu $u$.
   
   
   Riešenie Tu.

Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).

Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou

1. nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
2. má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
3. má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.

Pozrite si riešené príklady Tu.

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva \small
$\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
$\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.