Predchádzajúci
Nasledujúci

Cvičenie I

Cvičenie.
  1. Dokážte, že
    1. Existuje práve jedna os uhla. Kniha I, Tvrdenie IX.
    2. Každá nenulová úsečka má práve jeden stred, a ten je jej vnútorným bodom. Kniha I, Tvrdenie X. Pozrite si os úsečky Tu
    3. Riešte úlohy (napr. č. 3, 11 a 12 ) zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. Pokúste sa o riešenie aj ďalších úloh.
  2. Nech v rovnoramennom trojuholníku \small ABC platí, že uhol pri základni trojuholníka je dvojnásobkom uhla pri vrchole \small C . Overte, že dĺžka ramena a dĺžka základne sú v zlatom pomere. Pozrite Euklidove Základy Kniha II, Tvrdenie XI a otvorte applet Tu.
    Pomoc pri riešení úlohy: Do trojuholníka vpíšte trojuholník \small ADB s ním podobný
    otvorte applet Tu
    a aplikujte Euklidovo tvrdenie Kniha 1., T/IV a T/V.       Viac o zlatom pomere nájdete v prezentácii Tu.
  3. Ukážte, že uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné a že sa navzájom rozpoľujú. (Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať túto vlastnosť.)
  4. Pomocou tvrdenia "Uhlopriečky obdĺžnika sú ..." ukážte:
    Ak je \small ABC pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole \small C , potom všetky jeho vrcholy ležia na kružnici, ktorej priemerom je strana \small AB .
  5. Ukážte, že platí:
    \small\overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB} .
    Uvedomte si, že pre polohu bodu \small X vzhľadom na \small A , B máme možnosti: \small  \mu( XAB),X = A, \mu( AXB),X = B,\mu( ABX). 
  6. Uveďte definíciu opačnej polroviny. (Pozrite si prácu: Monoszová, G.: Planimetria.)
  7. Dané sú tri nekolineárne body \small A,B,C . Určte množinu (šrafovaním)
    1. \small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace
    2. \small \lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace
    3. \small \lbrace{X; \overleftrightarrow{XC} \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace
    4. \small \lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace
      Použite applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny. 

    8. Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku \omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace .

  8. Zostrojte rovnoramenný trojuholník \small ABC so základňou \small AB pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam \small AB, AC a k hPriamkam \small AB, BC určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
  9. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
  10. Zostrojte hyperbolickú kolmicu \sigma \subset \omega na hyperbolickú priamku \small \alpha =AB , ktorá neprechádza bodom \small P \notin \alpha .
    11. Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
  11. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka \small ABC (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
Poznámky.
  1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
  2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka \small ABC je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice k  a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
  3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci