Kubovčík, M.: Kužeľosečky
7. Riadiaca priamka kužeľosečky
7.1. Dôkaz vety pre regulárne kužeľosečky
Nech súradnicová os KSS je kolmá na riadiacu priamku a prechádza bodom . Pre hľadané body roviny platí,
že neležia na riadiacej priamke , preto . Označme vzdialenosť daného bodu od danej riadiacej priamky :
.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú , kde , riadiaca priamka je popísaná rovnicou .
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi , pevne zvoleným bodom a riadiacou priamkou , platí:
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen , takže potom .
Keďže možnosť nevyhovuje pre ľubovoľné kladné , tak budeme predpokladať, že .
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky od riadiacej priamky je rovná:
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu od riadiacej priamky .
že neležia na riadiacej priamke , preto . Označme vzdialenosť daného bodu od danej riadiacej priamky :
.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú , kde , riadiaca priamka je popísaná rovnicou .
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi , pevne zvoleným bodom a riadiacou priamkou , platí:
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen , takže potom .
Keďže možnosť nevyhovuje pre ľubovoľné kladné , tak budeme predpokladať, že .
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky od riadiacej priamky je rovná:
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu od riadiacej priamky .
Najprv ukážeme platnosť vety pre elipsu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme :
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme :
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
Pre parabolu predpokladáme, že . Potom vrcholová rovnica kužeľosečky má tvar:
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.