Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Kubovčík, M.: Kužeľosečky |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 13:22 |
Opis
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
1. Elipsa
Majme dva rôzne body roviny
. Označne vzdialenosť týchto bodov reálnym číslo
.
Elipsa je množina všetkých bodov roviny
, ktoré majú rovnaký súčet vzdialeností
od týchto dvoch pevne zvolených bodov
a tento súčet je väčší, ako vzdialenosť týchto bodov:
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![a \in \mathbb{R} a \in \mathbb{R}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c83bc259c8142d2d0f3e7f3b1b5e05b.png)
Elipsa je množina všetkých bodov roviny
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
od týchto dvoch pevne zvolených bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a > \mid F_1F_2 \mid 2a > \mid F_1F_2 \mid](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65187894929e365ae6a0d573131d1e38.png)
![e = \{ \forall X \in \rho ; |XF_1| + |XF_2| = 2a\} e = \{ \forall X \in \rho ; |XF_1| + |XF_2| = 2a\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a70de980e65069babf32388d1930d474.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/elipsa.png)
Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom elipsy
a jej ohniskami
alebo
sa nazývajú sprievodiče bodu
.
Sprievodiče bodu
tvoria dva uhly so spoločným
vrcholom v bode
.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží stred elipsy
, vo vonkajšom uhle sprievodičov ležia hlavné vrcholy elipsy
.
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![F_2 F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfa0c88ec236f64b0c078015d65db2b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Sprievodiče bodu
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží stred elipsy
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
Priamka
je dotyčnicou ku elipse v dotykovom bode
práve vtedy,
keď je osou vonkajšieho uhla 𝜔 sprievodičov bodu dotyku
.
![t t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
keď je osou vonkajšieho uhla 𝜔 sprievodičov bodu dotyku
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/doty%C4%8Dnica%20ku%20elipse.png)
Združené priemery elipsy nazývame také dva priemery elipsy, pre ktoré platí,
že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s priemerom k nemu združenému.
že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s priemerom k nemu združenému.
Riadiace kružnice elipsy
sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom elipsy podľa všetkých dotyčníc ku elipse,
pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti
:
.
![g_1, g_2 g_1, g_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2736d327efadfbd0e9d3d5fe41cfd660.png)
pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![𝑔_1(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎) 𝑔_1(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf08e8b8aafea9a4e9663f0879fa3dda.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/riadiaca%20kru%C5%BEnica%20elipsy.png)
1.1. Konštrukcia elipsy
Ohnisková (bodová) konštrukcia:
najprv zostrojíme úsečku
o veľkosti \2a\) a na nej si zvolíme ľubovoľný bod
potom zostrojíme tzv. hyperoskulačné kružnice
takto získame body
patriace hľadanej elipsy ako prienik hyperoskulačných kružníc
ďalšie body elipsy získame podobným postupom ľubovoľnou voľbou bodu
na úsečke ![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|) k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84a752713764826434125eba0057f0d5.png)
![M_1, M_2 M_1, M_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce38d8bbcac0481707774a9d5fea616b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
Trojuholníková (zástavková) konštrukcia:
- využívame vtedy, ak máme zadané stred elipsy
, veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi
, hlavnú a vedľajšiu os
- zostrojíme sústredné kružnice
- vedieme ľubovoľnú priamku p prechádzajúcu stredom elipsy
- získame priesečníky polpriamky a sústredných kružníc:
- zostrojíme takéto priamky
- získame bod elipsy
ako priesečník zostrojených priamok:
Prúžková konštrukcia:
- využívame vtedy, ak máme zadanú hlavnú os
, hlavné vrcholy
a bod
, ktorý patrí elipse, ale nie je vrcholom tejto elipsy
- nájdeme stred elipsy
ako stred úsečky
- takto poznáme veľkosť hlavnej polosi
, teraz nám stačí nájsť veľkosť vedľajšej polosi
- najprv zostrojíme vedľajšiu os
- potom zostrojíme kružnicu
so stredom v bode
a polomerom
, t. j.
- získame priesečník
- zostrojíme priamku
a získame priesečník
tejto priamky a hlavnej osi
- hľadaná veľkosť vedľajšej polosi
je
- obdobne postupujeme, keď poznáme vedľajšie vrcholy
, s rozdielom, že hľadáme veľkosť hlavnej polosi
Rytzova konštrukcia:
- využívame vtedy, keď poznáme združené priemery elipsy
- keďže združené priemery sa pretínajú v strede elipsy, tak najprv nájdeme tento stred elipsy
, a potom otočíme bod
o
okolo bodu
, t. j.
- nájdeme bod
ako stred úsečky
- zostrojíme kružnicu \(𝑘(O; r = |OS|)\)a priamku
- získame priesečníky
kružnice
a priamky
také, pre ktoré platí:
1.2. Konštrukčné úlohy na elipsu
Príklad 1: Zostrojte elipsu, ak sú dané jej dve dotyčnice
, stred elipsy
a hlavná polos
.
Riešenie príkladu v GeoGebre.
![t_1, t_2 t_1, t_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/18bf1c2989ee6de2d466ee3eae3d8bc9.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9035/7.6.15%20%28priklad%201%20elipsa%29.png)
Príklad 2: Zostrojte elipsu, ak je dané ohnisko
, vedľajší vrchol
a bod
patriaci elipse. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![C C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9035/7.6.7%20%28pr%C3%ADklad%202%20elipsa%29.png)
Príklad 3: Zostrojte elipsu, ak sú dané jej vedľajšie vrcholy
a bod
patriaci tejto elipse. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![C, D C, D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc2379064200660b5c97f2571436b40e.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9035/7.6.16%20%28pr%C3%ADklad%203%20elipsa%29.png)
Príklad 4: Daný je trojuholník
a jeho vnútorný bod
. Zostrojte elipsu vpísanú trojuholníku
tak,
aby bod
bol jej ohniskom. Riešenie úlohy v GeoGebre.
![KLM KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7464e0d6c589e585e506c4020f286af6.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![KLM KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7464e0d6c589e585e506c4020f286af6.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9035/7.6.13%20%28pr%C3%ADklad%204%20elipsa%29.png)
2. Hyperbola
Majme dva rôzne body roviny
a reálne číslo
.
Hyperbola ℌ je množina všetkých bodov v rovine
, ktoré majú rovnaký rozdiel vzdialeností
od týchto dvoch zvolených bodov
a tento absolútny rozdiel je menší, ako je vzdialenosť ohnísk:
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![a \in \mathbb{R} a \in \mathbb{R}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d0e675f2e6e1d85695db0d55e3bc619.png)
Hyperbola ℌ je množina všetkých bodov v rovine
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f41309f56e21eb7f50c830a41b08e79.png)
od týchto dvoch zvolených bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2𝑎 < |F_1F_2| 2𝑎 < |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c0ccf3b2e000038b3187c6aa51a6d4b.png)
![ℌ = \{ \forall X \in \rho ; ||XF_1| - |XF_2|| = 2a\} ℌ = \{ \forall X \in \rho ; ||XF_1| - |XF_2|| = 2a\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6865aa0207ba1c639a8943e340719939.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/hyperbola.png)
Asymptoty hyperboly
sú priamky, ktoré prechádzajú stredom hyperboly
a zvierajú s hlavnou osou hyperboly uhol
, pre ktorý platí
.
![a_1, a_2 a_1, a_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c5c4f4abe5d26fd457c65536b7b8cb8.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
a zvierajú s hlavnou osou hyperboly uhol
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/371e54dd69a34f4e1282ee595cf847f0.png)
![\tan \phi = \pm \frac{a}{b} \tan \phi = \pm \frac{a}{b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65a1f1ac0034ea36ebd748b88120aa67.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/z%C3%A1kladn%C3%A9%20charakteristiky%20hyperboly.png)
Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom hyperboly
a jej ohniskami
alebo
sa nazývajú sprievodiče bodu
.
Sprievodiče bodu
tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode
.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom ležia ohniská hyperboly
, inak ide o vonkajší uhol sprievodičov.
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![F_2 F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfa0c88ec236f64b0c078015d65db2b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Sprievodiče bodu
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom ležia ohniská hyperboly
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Priamka
je dotyčnicou ku hyperbole v dotykovom bode
práve vtedy, keď je osou vonkajšieho uhla
sprievodičov bodu dotyku
.
![t t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![𝜔 𝜔](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/624e01effdfaf4ba66779e905dee3996.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/doty%C4%8Dnica%20ku%20hyperbole.png)
Riadiace kružnice hyperboly
sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom hyperboly
podľa všetkých dotyčníc ku hyperbole, pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti 2
:
.
![g_1, g_2 g_1, g_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2736d327efadfbd0e9d3d5fe41cfd660.png)
podľa všetkých dotyčníc ku hyperbole, pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti 2
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![𝑔_1
(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎) 𝑔_1
(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3f7320b7196e1465f51355e20452870.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/riadiaca%20kru%C5%BEnica%20hyperboly.png)
2.1. Konštrukcia hyperboly
Ohnisková (bodová) konštrukcia:
- využívame vtedy, ak máme zadané
- nájdeme stred hyperboly
ako stred úsečky
- zostrojíme kružnicu
a hlavné vrcholy
nájdeme ako priesečník kružnice
a priamky
- zvolíme si ľubovoľný bod
na priamke
- potom zostrojíme kružnice
,
- nájdeme body
patriace hyperbole ako priesečníky kružníc
2.2. Konštrukčné úlohy na hyperbolu
Príklad 1: Zostrojte hyperbolu, ak sú dané jej dva hlavné vrcholy
a dotyčnica ku hyperbole
. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.19%20%28pr%C3%ADklad%201%20hyperbola%29.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
![t t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.19%20%28pr%C3%ADklad%201%20hyperbola%29.png)
Príklad 2: Zostrojte hyperbolu, ak je daná jej asymptota
, ohnisko
a hlavná polos
. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.18%20%28pr%C3%ADklad%202%20hyperbola%29.png)
![a_1 a_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/027c3429f98f7c39bab027549e1b9c7b.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.18%20%28pr%C3%ADklad%202%20hyperbola%29.png)
Príklad 3: Zostrojte hyperbolu, ak je daná hlavná os
, na nej ohnisko
, lineárna excentricita
a bod
patriaci hyperbole. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.14%20%28pr%C3%ADklad%203%20hyperbola%29.png)
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![e e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9037/7.6.14%20%28pr%C3%ADklad%203%20hyperbola%29.png)
3. Parabola
Majme bod roviny
a priamku
ležiacu v tejto rovine
, pričom
.
Parabola
je množina všetkých bodov v rovine
,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky
a pevne zvoleného bodu
:
![𝔓 = \{ \forall X ∈ \rho ; |XF| = |Xd|\}. 𝔓 = \{ \forall X ∈ \rho ; |XF| = |Xd|\}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5506747a4b7b820c8608c8bafcc6247.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f41309f56e21eb7f50c830a41b08e79.png)
![𝑑 ∉ 𝜌 𝑑 ∉ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b37b436e85170e3b18b029ea3249d8e.png)
Parabola
![𝔓 𝔓](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2997d4238e3143a4a97c135f7a89809f.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![𝔓 = \{ \forall X ∈ \rho ; |XF| = |Xd|\}. 𝔓 = \{ \forall X ∈ \rho ; |XF| = |Xd|\}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5506747a4b7b820c8608c8bafcc6247.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9033/parabola.png)
Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom hyperboly
a jej ohniskom
kolmicou prechádzajúcou bodom
vzhľadom na riadiacu priamku
s priesečníkom
nazývame sprievodiče bodu
.
Sprievodiče bodu
tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode
.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží ohnisko
, inak ide o vonkajšie uhly sprievodičov.
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
vzhľadom na riadiacu priamku
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Sprievodiče bodu
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží ohnisko
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
3.1. Konštrukcia paraboly
Teraz uvedieme ohniskovú (bodovú) konštrukciu paraboly, ktorá vychádza z predpokladu, že parabola je množina bodov danej vlastnosti:
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9038/ohniskov%C3%A1%20kon%C5%A1trukcia%20paraboly.png)
- využívame vtedy, keď poznáme ohnisko
a riadiacu priamku
- zostrojíme kolmicu
na riadiacu priamku
prechádzajúcu cez ohnisko
, pätu tejto kolmice označíme
- na polpriamke
si zvolíme ľubovoľný bod
- cez bod
vedieme rovnobežnú priamku
s riadiacou priamkou
- zostrojíme kružnicu
- hľadané body paraboly
sú priesečníky kružnice
a priamky
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9038/ohniskov%C3%A1%20kon%C5%A1trukcia%20paraboly.png)
3.2. Konštrukčné úlohy na parabolu
Príklad 1: Zostrojte parabolu, ak je dané jej ohnisko
a dva rôzne body
patriace tejto parabole. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9039/7.6.10%20%28pr%C3%ADklad%201%20parabola%29.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9039/7.6.10%20%28pr%C3%ADklad%201%20parabola%29.png)
Príklad 2: Daná je priamka
a dva rôzne body
neležiace na priamke
. Zostrojte parabolu, aby priamka
bola jej riadiaca priamka a body
boli jej
body. Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9039/sp4%20%28pr%C3%ADklad%202%20parabola%29.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9039/sp4%20%28pr%C3%ADklad%202%20parabola%29.png)
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
Quételetova – Dandelinova veta:
Rezom rotačnou kužeľovou plochou neprechádzajúcou jej vrcholom, je:
• elipsa práve vtedy, keď rovinný rez pretína všetky tvoriace priamky kužeľovej plochy;
• parabola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy;
• hyperbola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Tieto kužeľosečky majú ohniská v dotykových bodoch guľových plôch vpísaných rotačnej kužeľovej ploche a dotýkajúcich sa rovinných rezov.
Rezom rotačnou kužeľovou plochou neprechádzajúcou jej vrcholom, je:
• elipsa práve vtedy, keď rovinný rez pretína všetky tvoriace priamky kužeľovej plochy;
• parabola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy;
• hyperbola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Tieto kužeľosečky majú ohniská v dotykových bodoch guľových plôch vpísaných rotačnej kužeľovej ploche a dotýkajúcich sa rovinných rezov.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9040/Qu%C3%A9teletova%20Dandelinova%20veta.png)
Nech
je rovinný rez neprechádzajúci vrcholom rotačnej kužeľovej plochy
.
Nech
je uhol, ktorý zvierajú tvoriace priamky rotačnej kužeľovej plochy s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy.
Nech
je uhol, ktorý zviera rovinný rez s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy. Rezom
je:
• elipsa práve vtedy, keď
;
• parabola práve vtedy, keď
;
• hyperbola práve vtedy, keď
.
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
Nech
![𝛽 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e7f3b46f4d0f9934ad7c461a514723e.png)
Nech
![𝛼 𝛼](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09ca3dd2241640373623a025abf03cb3.png)
![𝜌 ∩ 𝐾 𝜌 ∩ 𝐾](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84dc857142ac82bf8f7e6194a24f8fdc.png)
• elipsa práve vtedy, keď
![𝛼 < 𝛽 𝛼 < 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db3d9bba09d3c5236a7dc97d06889b66.png)
• parabola práve vtedy, keď
![𝛼 = 𝛽 𝛼 = 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b89c457103b00161ad0c4c70389cbf87.png)
• hyperbola práve vtedy, keď
![𝛼 > 𝛽 𝛼 > 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0358357bfdd6dc4cc3548985149f6bf0.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9040/kuzelosecka%20a%20rovinny%20rez%20kuzelovou%20plochou.png)
4.1. Dôkaz vety pre elipsu
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
a rotačnej kužeľovej plochy
je elipsa,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantný súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme dve guľové plochy
dotýkajúce sa tejto kužeľovej plochy
pozdĺž kružníc
tak,
aby rovinný rez
bol ich spoločná dotyková rovina s bodmi dotyku
.
Zvoľme ľubovoľný bod
a ukážeme, že tento bod
patrí elipse.
Ďalej nech priamka (povrchová cez kužeľovú plochu)
je taká,
že prechádza obomi kružnicami
a zároveň
. Platí:
,
pretože priamky
,
sú dotyčnice guľovej plochy
a zároveň body
na tejto guľovej ploche ležia.
Obdobne platí:
.
Pre vzdialenosť bodov
dostávame nasledujúcu rovnosť:
.
Takto sme dostali, že všetky také body
sú vzdialené od dvoch pevných bodov
o konštantný súčet vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame elipsa.
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantný súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme dve guľové plochy
![G_1, G_2 G_1, G_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e23ef381a428f9775ceda852e64ece2e.png)
dotýkajúce sa tejto kužeľovej plochy
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![k_1, k_2 k_1, k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d05619eb8780fc8dafa6cac332c1ddf.png)
aby rovinný rez
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Zvoľme ľubovoľný bod
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Ďalej nech priamka (povrchová cez kužeľovú plochu)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
že prechádza obomi kružnicami
![k_1, k_2 k_1, k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d05619eb8780fc8dafa6cac332c1ddf.png)
![X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝 X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6400884ae7a806acf058acb3361ae06.png)
![|MF_1| = |MX| |MF_1| = |MX|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b15603fe6881e842eab1bafac08e4e0.png)
pretože priamky
![MF_1 MF_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0eac92cc51962e59c56917b1e7a5d2c7.png)
![MX MX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b98720dcb2cc6fd60358a45dfbc5b87.png)
![G_1 G_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b57eb533b3d9c18d104bb0b9a5a80bbe.png)
![F_1, X F_1, X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/481858c8a1c5f77ce2058f21338d4272.png)
Obdobne platí:
![|MF_2| = |MY| |MF_2| = |MY|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b046d819b6ce55eac9b3ab8f77003fb.png)
Pre vzdialenosť bodov
![X, Y X, Y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f936bd3484a9f31e901286247879f6bc.png)
![|XY| = |MX| + |MY| = |MF_1| + |MF_2| |XY| = |MX| + |MY| = |MF_1| + |MF_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87f9da5d6eba419c3f0c7a85f7ae4da2.png)
Takto sme dostali, že všetky také body
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame elipsa.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9043/elipsa%20D-Q%20veta%20%281%29.png)
4.2. Dôkaz vety pre parabolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha
a rovinný rez
rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
a rotačnej kužeľovej plochy
je parabola,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy
vpíšeme guľovú plochu
tak, aby rovinný rez
bola dotyková rovina tejto guľovej plochy.
Bod dotyku označme
. Guľová plocha
sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v podobe kružnice
, pričom rovina, v ktorej leží kružnica, pretína rovinný rez
v priamke
.
Ľubovoľným bodom rovinného rezu
vedieme povrchovú priamku
rotačnej kužeľovej plochy
. Priamka
je dotyčnicou guľovej plochy
a dotýka sa v bode
. Ďalšou dotyčnicou guľovej plochy
prechádzajúcou bodom
je priamka
.
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
.
Dostali sme, že všetky body
sú rovnako vzdialené od pevne zvoleného bodu
a priamky
.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Bod dotyku označme
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
Ľubovoľným bodom rovinného rezu
![𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4504ca2c64f998b77b42caff949e02aa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![X ∈ 𝑘 ∩ 𝑝 X ∈ 𝑘 ∩ 𝑝](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/042edcfb4c11c94f5a8b0ab731bb100e.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![MX MX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b98720dcb2cc6fd60358a45dfbc5b87.png)
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
![|MF| = |MX| |MF| = |MX|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb2283bc1c8818922d6eb6b2674cdc78.png)
Dostali sme, že všetky body
![𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4504ca2c64f998b77b42caff949e02aa.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9044/parabola%20D-Q%20veta.png)
4.3. Dôkaz vety pre hyperbolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha
a rovinný rez
rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
a rotačnej kužeľovej plochy
je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov
(ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy
vpíšeme guľové plochy
(dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc
) tak,
aby rovinný rez
bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme
.
Zvolíme si ľubovoľný bod
. Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy
prechádzajúcu týmto bodom.
Označme
. Platí:
,
pretože priamky
sú dotyčnice guľovej plochy
a zároveň body
na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
.
Dostávame, že:
.
Takto sme dostali, že všetky také body
sú vzdialené od dvoch pevných bodov
o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Do rotačnej kužeľovej plochy
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![G_1, G_2 G_1, G_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e23ef381a428f9775ceda852e64ece2e.png)
![k_1, k_2 k_1, k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d05619eb8780fc8dafa6cac332c1ddf.png)
aby rovinný rez
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Zvolíme si ľubovoľný bod
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
Označme
![X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝 X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6400884ae7a806acf058acb3361ae06.png)
![|MF_1| = |MX| |MF_1| = |MX|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b15603fe6881e842eab1bafac08e4e0.png)
pretože priamky
![MF_1, MX MF_1, MX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5230642ce282d5840a0b0892399910b6.png)
![G_1 G_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b57eb533b3d9c18d104bb0b9a5a80bbe.png)
![F_1, X F_1, X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/481858c8a1c5f77ce2058f21338d4272.png)
![|MF_2| = |MY| |MF_2| = |MY|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b046d819b6ce55eac9b3ab8f77003fb.png)
Dostávame, že:
![||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY| ||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f40b48cfa57bf7003f429986bb87d8c.png)
Takto sme dostali, že všetky také body
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9045/hyperbola%20D-Q%20veta.png)
5. Kužeľosečka ako obraz kružnice v perspektívnej kolineácii
Nech
je perspektívna kolineácia daná stredom
, osou perspektívnej kolineácie
a úbežnicou
.
Potom obrazom kružnice
v
je:
• elipsa práve vtedy, keď úbežnica
je nesečnica kružnice
• parabola práve vtedy, keď úbežnica
je dotyčnica kružnice
• hyperbola práve vtedy, keď úbežnica
je sečnica kružnice
.
![𝒦: 𝛼̅̅_1→ 𝛼̅̅_2 𝒦: 𝛼̅̅_1→ 𝛼̅̅_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9484e63453be3bd71726f896f9731d1d.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
![𝑢 ∈ 𝛼̅̅_1 𝑢 ∈ 𝛼̅̅_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33dc2bcbb1588d23847e71c40ef8bb7d.png)
Potom obrazom kružnice
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
![𝒦 𝒦](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57d3ed2b6a87df447cebfa0f2d81eea7.png)
• elipsa práve vtedy, keď úbežnica
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
• parabola práve vtedy, keď úbežnica
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
• hyperbola práve vtedy, keď úbežnica
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
Majme danú priamku
a bod
, ktorý na tejto priamke neleží. Zostrojme priamku
tak, aby prechádzala bodom
.
Postupne budeme otáčať priamku
okolo bodu
a dostávame priesečníky s priamkou
. V určitom okamihu priamky
budú
navzájom rôzne rovnobežné a už nedostaneme ich priesečník.
Túto situáciu neexistujúceho priesečníku rôzne rovnobežných priamok vyriešime tak, že zavedieme nevlastný bod ako priesečník rôzne rovnobežných priamok v nekonečne.
Nevlastné body označujeme dolným indexom
. Ďalej platí, že všetky navzájom rôzne rovnobežné priamky
so spoločným smerom majú spoločný práve jeden nevlastný bod. Každá priamka má práve jeden nevlastný bod.
Obdobne vieme pre rôzne rovnobežné roviny zaviesť nevlastnú priamku ako priesečník rôznych rovnobežných rovín,
pričom nevlastná priama je daná dvomi smermi (tzv. zameraním roviny). Každá rovina má práve jednu nevlastnú priamku
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru.
Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
.
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png)
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
Postupne budeme otáčať priamku
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![P P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png)
![p, q p, q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cea42b00df9e2ff6c5c53c857e00d02.png)
Túto situáciu neexistujúceho priesečníku rôzne rovnobežných priamok vyriešime tak, že zavedieme nevlastný bod ako priesečník rôzne rovnobežných priamok v nekonečne.
Nevlastné body označujeme dolným indexom
![X_∞ X_∞](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/13c5f23dd10d8bcf1ced2355fbc28d0b.png)
so spoločným smerom majú spoločný práve jeden nevlastný bod. Každá priamka má práve jeden nevlastný bod.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9041/nevlastn%C3%BD%20bod.png)
Obdobne vieme pre rôzne rovnobežné roviny zaviesť nevlastnú priamku ako priesečník rôznych rovnobežných rovín,
pričom nevlastná priama je daná dvomi smermi (tzv. zameraním roviny). Každá rovina má práve jednu nevlastnú priamku
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru.
Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9041/nevlastna%20priamka%20%281%29.png)
Nech sú dané dve rôzne roviny
a bod
, ktorý neleží ani na jednej z daných rovín.
Perspektívna kolineácia 𝓚 je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu
do roviny druhej.
Bod
nazývame stred kolineácie, priamku
nazývame osou perspektívnej
kolineácie.
![𝛼_1, 𝛼_2 𝛼_1, 𝛼_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bf2b21209db4b596740949890aee9dd.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
Perspektívna kolineácia 𝓚 je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
Bod
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![𝑜 = 𝛼_1 ∩ 𝛼_2 𝑜 = 𝛼_1 ∩ 𝛼_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5804ab8de3f22dd8cb55ccf9cbcd70db.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9041/perspektivna%20kolineacia.png)
Medzi základné vlastnosti perspektívnej kolineácie medzi dvomi rovinami, vyplývajúce z toho, že ide o bijektívne zobrazenie, zaraďujeme:
• bod sa zobrazí na bod, priamka sa zobrazí na priamku
• kolineárne združené body
, ktoré si odpovedajú v kolineácii, ležia na priamke prechádzajúce stredom kolineácie
• vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod alebo naopak
• priamky odpovedajúce si v kolineácii sa pretínajú na osi perspektívnej kolineácii
,
pričom priesečníky týchto priamok sú samodružné body
• zachováva sa incidencia, takže ak jeden útvar patrí druhému útvaru, tak aj ich obrazy si zachovávajú tú istú vlastnosť
• nezachováva sa deliaci pomer troch bodov na priamke, z toho vyplýva, že ani rovnobežnosť nie je invariantom kolineácie
• deliaci dvojpomer štyroch bodov na priamke je invariantom kolineácie.
• bod sa zobrazí na bod, priamka sa zobrazí na priamku
![A → A´, 𝑎 → 𝑎´ A → A´, 𝑎 → 𝑎´](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b627ac015401b03d49654b3eb5af217.png)
• kolineárne združené body
![A, A´ A, A´](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/42090a52715553608880533e4cad3a7d.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
• vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod alebo naopak
• priamky odpovedajúce si v kolineácii sa pretínajú na osi perspektívnej kolineácii
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
pričom priesečníky týchto priamok sú samodružné body
![𝑎 ∩ 𝑎´ = 1∈𝑜 𝑎 ∩ 𝑎´ = 1∈𝑜](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2becfb3c6195add8272decdde3819a4.png)
• zachováva sa incidencia, takže ak jeden útvar patrí druhému útvaru, tak aj ich obrazy si zachovávajú tú istú vlastnosť
• nezachováva sa deliaci pomer troch bodov na priamke, z toho vyplýva, že ani rovnobežnosť nie je invariantom kolineácie
• deliaci dvojpomer štyroch bodov na priamke je invariantom kolineácie.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9041/vlastnosti%20perspekt%C3%ADvnej%20koline%C3%A1cie.png)
Body, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazy alebo vzory nevlastných bodov, nazývame úbežníky.
Priamky, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky, nazývame úbežnice.
V perspektívnej kolineácii sú úbežnice dve. Úbežnica
je obrazom nevlastnej priamky
roviny
,
úbežnica
je vzor nevlastnej priamky
roviny
.
Ďalej platí, že úbežnice sú rovnobežné s osou perspektívnej kolineácie
a všetky úbežníky ležia na
úbežniciach.
Obrazy rovnobežných priamok sa pretínajú na úbežnici. Orientovaná vzdialenosť stredu kolineácie
od jednej úbežnice sa rovná súhlasne orientovanej vzdialenosti druhej úbežnice od osi perspektívnej kolineácie
.
Priamky, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky, nazývame úbežnice.
V perspektívnej kolineácii sú úbežnice dve. Úbežnica
![v´ ∈ 𝛼´ v´ ∈ 𝛼´](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4f3fea48c8be708afe2937cc401165f4.png)
![v_∞ v_∞](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/96ce44953a0600f54f3fcf16caed40f8.png)
![𝛼 𝛼](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09ca3dd2241640373623a025abf03cb3.png)
úbežnica
![u ∈ 𝛼 u ∈ 𝛼](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be801c5497a41611565089779864814e.png)
![u_∞´ u_∞´](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3059937c36a4619bf00edecea8a2ae5b.png)
![𝛼´ 𝛼´](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb86d13ff21846b12176030dcbaf6935.png)
Ďalej platí, že úbežnice sú rovnobežné s osou perspektívnej kolineácie
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
Obrazy rovnobežných priamok sa pretínajú na úbežnici. Orientovaná vzdialenosť stredu kolineácie
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
od jednej úbežnice sa rovná súhlasne orientovanej vzdialenosti druhej úbežnice od osi perspektívnej kolineácie
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9041/%C3%BAbe%C5%BEn%C3%ADky%20a%20%C3%BAbe%C5%BEnice.png)
5.1. Geometrický dôkaz vety pre elipsu
5.2. Geometrický dôkaz vety pre parabolu
5.3. Geometrický dôkaz vety pre hyperbolu
6. Analytické vyjadrenie kužeľosečiek
Kužeľosečka je množina bodov X[x; y] v rovine, ktoré vyhovujú nasledovnej rovnici lineárnej sústave súradníc:
,
pričom koeficienty
a jeden z koeficientov
.
Túto rovnicu nazývame všeobecná rovnica kužeľosečiek.
![𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76c038210252067351c2559ae7797216.png)
pričom koeficienty
![𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ 𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b101bab1e461bc9f88fb1fda01a6d148.png)
![𝐴, 𝐵, 𝐶 ≠ 0 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≠ 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e09e91818edb204466f75916d3b57fa.png)
Túto rovnicu nazývame všeobecná rovnica kužeľosečiek.
Pod regulárnou kužeľosečkou rozumieme kružnicu, elipsu, hyperbolu a parabolu.
Pod singulárnou kužeľosečkou rozumieme každú dvojicu priamok (dve rôznobežné priamky, dve rôzne rovnobežné priamky) a bod.
Pod singulárnou kužeľosečkou rozumieme každú dvojicu priamok (dve rôznobežné priamky, dve rôzne rovnobežné priamky) a bod.
Všeobecnú rovnicu kužeľosečky vieme vyjadriť aj v maticovom tvare:
= 0,
kde matica
pozostáva z koeficientov všeobecnej rovnice a nazýva sa veľký diskriminant kužeľosečky:
.
Malý diskriminant kužeľosečky má tvar:
.
![\left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/607490d7094c94725c35ed896d079e91.png)
![σ σ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png)
![\left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right]^T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f9af86befe2d2125f2fc3013c9006d65.png)
kde matica
![𝜎 𝜎](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e0e0d678c66b93a1deb5133fb41c7d87.png)
![σ = \left[\begin{array}{ccc} A&B&D \\ B&C&E \\ D&E&F\end{array}\right] σ = \left[\begin{array}{ccc} A&B&D \\ B&C&E \\ D&E&F\end{array}\right]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/216defbb1f894f269e9362f88bd114cf.png)
Malý diskriminant kužeľosečky má tvar:
![δ = \left[\begin{array}{cc} A&B\\ B&C\end{array}\right] δ = \left[\begin{array}{cc} A&B\\ B&C\end{array}\right]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/034c74bac594332f63c514fb8d3869d1.png)
Na určenie konkrétneho druhu kužeľosečky pomocou veľkého a malého diskriminantu
všeobecnej rovnice kužeľosečiek sme zostavili kvôli priehľadnosti nasledujúci algoritmus:
všeobecnej rovnice kužeľosečiek sme zostavili kvôli priehľadnosti nasledujúci algoritmus:
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9042/velky%20a%20maly%20diskriminant%20kuzelosecky.png)
6.1. Stredová a vrcholová rovnica kužeľosečky
Elipsa
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
je stály a rovný
, pričom konštanta
:
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
(lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod
] na elipse
práve vtedy, keď platí:
=
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred elipsy je bod
a ohniská ležia na rovnobežke s osou
prechádzajúcou bodom
, potom stredová rovnica elipsy:
.
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![2𝑎 > |F_1F_2| 2𝑎 > |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b13a541182ba108a55e271de8a85a44.png)
![𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\} 𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91956a60b7cb2aca4a6e954b8e046dcb.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20elipsy.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
![e e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png)
![S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0] S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbd2bcfb1655c7db06945c1db05722e.png)
Podľa definície leží bod
![M[x; y M[x; y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d531ecb0eda2e1c6f8136af113f6bf81.png)
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![|MF _1| + |MF_2| |MF _1| + |MF_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665780dec49df52e157ed985b10efc2e.png)
![\sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a \sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e53e362423107f522bf1ddc49a88922f.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8246aa479d2ebb92ddbd789ebf074c6.png)
Ak stred elipsy je bod
![S[m; n] S[m; n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5052e1eedc1daed03437c681e8aa3d8e.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1 \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de6036cc5a72864a5aeaa3c6607b4d45.png)
Hyperbola
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
je stály a rovný
, pričom konštanta
:
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20hyperboly.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
(lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod
na hyperbole
práve vtedy, keď platí:
=|
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
.
![ℌ ℌ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38785c2088c86e8b38a33208378dea43.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![2𝑎 < |F_1F_2| 2𝑎 < |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c0ccf3b2e000038b3187c6aa51a6d4b.png)
![ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\} ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63d5d7d25455e9318806aed8ff806818.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20hyperboly.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
![e e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png)
![S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0] S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbd2bcfb1655c7db06945c1db05722e.png)
Podľa definície leží bod
![M[x; y] M[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05b89453b51c3ac375aeacbc6a7f181d.png)
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![||MF_1| − |MF_2|| ||MF_1| − |MF_2||](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e194ffd6e96abc12b3534100c48e069.png)
![\sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a \sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e02884e05f78dc6756a6e7ed50153203.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4f28f35de26491336a32fad3d9ef763.png)
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
![\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1 \frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/590d4e5f374a744890a35dbf49231fa1.png)
Parabola
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko)
a pevnej (riadiacej) priamky
:
.
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol
ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly
vieme popísať rovnicou
.
Ohnisko má súradnice
. Podľa definície leží bod
na parabole
práve vtedy, keď platí:
.
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak vrchol paraboly je bod
a ohnisko leží na rovnobežke s osou
prechádzajúcou bodom
, potom vrcholová rovnica paraboly:
.
![𝔓 𝔓](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2997d4238e3143a4a97c135f7a89809f.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\} 𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dce79d770acf95de1390e8b517dd1301.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/vrcholov%C3%A1%20rovnica%20paraboly.png)
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![d: x= -\frac{p}{2} d: x= -\frac{p}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ebd153f03f9f8d2fa4679d5bcaafcbb.png)
Ohnisko má súradnice
![F[𝑝/2; 0] F[𝑝/2; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a71f3cee78cfc5827342208f2a3b5e07.png)
![M[x; y] M[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf2a1516111d0aba727db8b6611dc143.png)
![𝔓 𝔓](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2997d4238e3143a4a97c135f7a89809f.png)
![|MF| = |M𝑑| |MF| = |M𝑑|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d31d2d9a38363298e473a984149b3b7.png)
![\sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2} \sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/528d9c5996369bb5288c0dc217812e6b.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![𝑦^2 = 2𝑝𝑥 𝑦^2 = 2𝑝𝑥](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c873a27cfa7cb483e3e54008e3e4910d.png)
Ak vrchol paraboly je bod
![V[m; n] V[m; n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5088170b081e7fea2f4e42bface36dc0.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![(𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚) (𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b26e4a30218eb5da8b79d063f283a495.png)
6.2. Transformácia karteziánskej sústavy súradníc
Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom
. Hovoríme, že nová sústava
vznikla z pôvodnej sústavy
posunutím, ak platí medzi pôvodnými súradnicami
a novými súradnicami
ľubovoľného bodu
vzťah daný rovnicami:
![(O; x, y) (O; x, y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b837dc93ba168d62227e098dee44761.png)
![(O'; x', y') (O'; x', y')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4af7598ee62db418e87be5312f947a3f.png)
![(O; x, y) (O; x, y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b837dc93ba168d62227e098dee44761.png)
posunutím, ak platí medzi pôvodnými súradnicami
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
![x', y' x', y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c936a59ac965c55c97720cd19f1da7d.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝑥' = 𝑥 − 𝑥_0 𝑥' = 𝑥 − 𝑥_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/361a62aac3d2c097e089353bf2f4cc40.png)
![𝑦' = 𝑦 − 𝑦_0 𝑦' = 𝑦 − 𝑦_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e419d85fd7074c52c3c89d4a934a05f7.png)
Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom
. Hovoríme, že nová sústava
vznikla z pôvodnej sústavy
otočením okolo počiatku pôvodnej sústavy
daným uhlom
, ak platí medzi pôvodnými súradnicami
a novými súradnicami
ľubovoľného bodu
vzťah daný rovnicami:
![(O; x, y) (O; x, y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b140204bb3c0621ac94d2bb8987207bc.png)
![(O; x', y') (O; x', y')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f4200f793e93bbe9bb65020eb7aeca36.png)
![(O; x, y) (O; x, y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b140204bb3c0621ac94d2bb8987207bc.png)
otočením okolo počiatku pôvodnej sústavy
![O O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png)
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
a novými súradnicami
![x', y' x', y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c936a59ac965c55c97720cd19f1da7d.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝑥' = 𝑥 cos \phi + 𝑦 sin\phi 𝑥' = 𝑥 cos \phi + 𝑦 sin\phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dae0854b899df3c3ad25098e758dc963.png)
![𝑦' = −𝑥 sin\phi + 𝑦 cos \phi 𝑦' = −𝑥 sin\phi + 𝑦 cos \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd83514be76966765499f0770911741a.png)
Všeobecná rovnica kužeľosečky obsahuje zmiešaný kvadratický člen
:
.
Ak chceme, aby vypadol zmiešaný kvadratický člen
v príslušnej všeobecnej rovnici kužeľosečky,
tak otočíme pôvodnú súradnicovú sústavu okolo počiatku
o taký uhol
, aby koeficient
a všeobecná kužeľosečka mala tvar:
.
Najprv všeobecne transformujeme pôvodnú súradnicovú sústavu
otočením na novú súradnicovú sústavu
:
.
Pomocou algebrických úprav dostaneme nasledujúci tvar všeobecnej rovnice v otočení:
![+ 2B(x'^2 cos \phi sin \phi +
x'y' cos^2 \phi - x'y' sin^2 \phi - y'^2 cos \phi sin \phi) + 2D(x'cos \phi - y'sin \phi) + + 2B(x'^2 cos \phi sin \phi +
x'y' cos^2 \phi - x'y' sin^2 \phi - y'^2 cos \phi sin \phi) + 2D(x'cos \phi - y'sin \phi) +](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4f3e819928982bf2836b8d2449388546.png)
Vyjadríme si koeficient pri zmiešanom kvadratickom člene
:
.
Keďže chceme odstrániť zmiešaný kvadratický člen
, tak potom musí platiť:
.
Vyjadríme si nakoniec, o aký uhol
musíme otočiť príslušnú kužeľosečku,
aby sme odstránili zmiešaný kvadratický člen
zo všeobecnej rovnice danej kužeľosečky:
![xy xy](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png)
![𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ddc9158e8543ce078e81c3ec1399e35.png)
Ak chceme, aby vypadol zmiešaný kvadratický člen
![xy xy](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png)
tak otočíme pôvodnú súradnicovú sústavu okolo počiatku
![O O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png)
![𝜑 𝜑](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/514294e06e6a992743f5a66be5cebdce.png)
![2B = 0 2B = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be7270df8f180f32d0fe331c9bb5be46.png)
![𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e0cc69a340b4b0895970ec95b8232107.png)
Najprv všeobecne transformujeme pôvodnú súradnicovú sústavu
![(O, x, y) (O, x, y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb2528cf9db8da28d4dae1aa9282e034.png)
![(O, x', y') (O, x', y')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f5261e4097e8f41a1526ae91b2c0ba66.png)
![A(x' cos \phi -y'sin \phi)^2 + C(x' sin \phi + y' cos \phi)^2+ 2B(x' cos \phi - y' sin \phi)(x' sin \phi + y' cos \phi) + A(x' cos \phi -y'sin \phi)^2 + C(x' sin \phi + y' cos \phi)^2+ 2B(x' cos \phi - y' sin \phi)(x' sin \phi + y' cos \phi) +](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f75e28f97199b7d0839a585ba53240fe.png)
![+ 2D(x' cos \phi - y' sin \phi) + 2E(x' sin \phi + y' cos \phi) + F = 0 + 2D(x' cos \phi - y' sin \phi) + 2E(x' sin \phi + y' cos \phi) + F = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5c55b923b3924d3cf347260108625ee.png)
Pomocou algebrických úprav dostaneme nasledujúci tvar všeobecnej rovnice v otočení:
![A(x'^2 cos^2 \phi - 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 sin^2 \phi) + C(x'^2 sin^2 \phi + 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 cos ^2 \phi) + A(x'^2 cos^2 \phi - 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 sin^2 \phi) + C(x'^2 sin^2 \phi + 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 cos ^2 \phi) +](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6060bea43300d23725436a175ef29ed.png)
![+ 2B(x'^2 cos \phi sin \phi +
x'y' cos^2 \phi - x'y' sin^2 \phi - y'^2 cos \phi sin \phi) + 2D(x'cos \phi - y'sin \phi) + + 2B(x'^2 cos \phi sin \phi +
x'y' cos^2 \phi - x'y' sin^2 \phi - y'^2 cos \phi sin \phi) + 2D(x'cos \phi - y'sin \phi) +](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4f3e819928982bf2836b8d2449388546.png)
![+ 2E(x'sin \phi + y'cos \phi) + 2E(x'sin \phi +
y'cos \phi
) + F = 0 + 2E(x'sin \phi + y'cos \phi) + 2E(x'sin \phi +
y'cos \phi
) + F = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91d24b1144bdf8a9b79303884d50530f.png)
Vyjadríme si koeficient pri zmiešanom kvadratickom člene
![x'y' x'y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e41cd34021571b026b0a9cd7aae0ca3f.png)
![𝑥'𝑦'(−𝐴 sin 2\phi + 𝐶 sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi) 𝑥'𝑦'(−𝐴 sin 2\phi + 𝐶 sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/99c1701ae2cf9f7d05354daafa0e8dcf.png)
Keďže chceme odstrániť zmiešaný kvadratický člen
![x'y' x'y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e41cd34021571b026b0a9cd7aae0ca3f.png)
![(𝐶 − 𝐴) sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi = 0 (𝐶 − 𝐴) sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/914b52a90900f106219fad6f69c6c420.png)
Vyjadríme si nakoniec, o aký uhol
![𝜑 𝜑](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/514294e06e6a992743f5a66be5cebdce.png)
aby sme odstránili zmiešaný kvadratický člen
![xy xy](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png)
![cotg 2 \phi= \frac{A-C}{2B} cotg 2 \phi= \frac{A-C}{2B}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5a63dc8462862d8a49b6a44dc2c3fe3e.png)
6.3. Výpočtové úlohy
Príklad 1: Určte prienik kružnice
a priamky
v závislosti od parametra
:
Riešenie príkladu v GeoGebre.
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![k: (x+3)^2+(y-5)^2=16 k: (x+3)^2+(y-5)^2=16](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fdb523a4846dd3a1a06a03f64f4da8b.png)
![p: 3x + 2y+d=0 p: 3x + 2y+d=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6734ad60336536684d5a2dde17f780c.png)
Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9054/7.1.10%20%28pr%C3%ADklad%201%20v%C3%BDpo%C4%8Dty%29.png)
Príklad 2: Daná je kužeľosečka rovnicou
. Určte jej základné charakteristické prvky a načrtnite ju.
Riešenie príkladu v GeoGebre.
![k: 2y^2 - x^2+4y-8x+1=0 k: 2y^2 - x^2+4y-8x+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/56838d795f5cefb40f4d06bb57d92493.png)
Riešenie príkladu v GeoGebre.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9054/7.3.7%20%28pr%C3%ADklad%202%20v%C3%BDpo%C4%8Dty%29.png)
7. Riadiaca priamka kužeľosečky
Riadiacimi priamkami
elipsy (hyperboly) nazývame také priamky, ktoré sú kolmé na hlavnú os
vo vzdialenosti
od stredu kužeľosečky
, kde
je numerická výstrednosť (excentricita) elipsy, resp. hyperboly.
Obrázok Riadiace priamky hyperboly
![d_1, d_2 d_1, d_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31175e27606ea86cf3832b5827d108eb.png)
![o o](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d95679752134a2d9eb61dbd7b91c4bcc.png)
![\frac{a}{ \epsilon} \frac{a}{ \epsilon}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/803d16af7a4bb0f1466f269ece9ac671.png)
od stredu kužeľosečky
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![𝜀 𝜀](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a48cbdf77c33b02dad8ed1e6cb66693a.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9051/riadiaca%20priamka%20elipsy.png)
Obrázok Riadiace priamky elipsy
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9051/riadiaca%20priamka%20hyperboly.png)
Obrázok Riadiace priamky hyperboly
Regulárne kužeľosečky a ich riadiace priamky:
Regulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu
a riadiacej priamky
stály pomer vzdialeností rovný numerickej excentricite
:
,
kde
, pričom ďalej platí, že ak:
•
, potom kužeľosečka je elipsa
•
, potom kužeľosečka je parabola
•
, potom kužeľosečka je hyperbola.
Regulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
a riadiacej priamky
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![𝜀 𝜀](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a48cbdf77c33b02dad8ed1e6cb66693a.png)
![\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ed594dfb386ab8d83f610183eda4b43.png)
kde
![F ∉ 𝑑 F ∉ 𝑑](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af1eb6ca8ce9deba9445c090994913c8.png)
•
![𝜀 < 1 𝜀 < 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcdef074ddaccca762d7126e16b6d120.png)
•
![𝜀 = 1 𝜀 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72cf415203e87e1f8b4b5f7a19008d39.png)
•
![𝜀 > 1 𝜀 > 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3776ac030668f8bbb8bbe6850405e50.png)
Singulárne kužeľosečky a ich riadiace priamky:
Singulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu
a riadiacej priamky
stály pomer vzdialeností rovný numerickej excentricite
:
,
kde
, pričom ďalej platí, že ak:
•
, potom kužeľosečka je prázdna množina
•
, potom kužeľosečka je totožné rovnobežky okrem bodu
•
, potom kužeľosečka je zjednotenie rôznobežiek okrem bodu
.
Singulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
a riadiacej priamky
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![𝜀 𝜀](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a48cbdf77c33b02dad8ed1e6cb66693a.png)
![\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ed594dfb386ab8d83f610183eda4b43.png)
kde
![F ∈ 𝑑 F ∈ 𝑑](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/54768a23fa3ed67b44957d02830713b7.png)
•
![𝜀 < 1 𝜀 < 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcdef074ddaccca762d7126e16b6d120.png)
•
![𝜀 = 1 𝜀 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72cf415203e87e1f8b4b5f7a19008d39.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
•
![𝜀 > 1 𝜀 > 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3776ac030668f8bbb8bbe6850405e50.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
7.1. Dôkaz vety pre regulárne kužeľosečky
Nech súradnicová os
KSS je kolmá na riadiacu priamku
a prechádza bodom
. Pre hľadané body roviny
platí,
že neležia na riadiacej priamke
, preto
. Označme
vzdialenosť daného bodu
od danej riadiacej priamky
:
.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú
, kde
, riadiaca priamka
je
popísaná rovnicou
.
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi
, pevne zvoleným bodom
a riadiacou priamkou
, platí:
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen
, takže potom
.
Keďže možnosť
nevyhovuje pre ľubovoľné kladné
, tak budeme predpokladať, že
.
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky
od riadiacej priamky
je rovná:
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu
od riadiacej priamky
.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![X[x; y] X[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ac2c3ad15e55af00f37154fc98bdc57.png)
že neležia na riadiacej priamke
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Xd| ≠ 0 |Xd| ≠ 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97926c5a19ea9426085a7afd9168f5f5.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9052/riadiaca%20priamka%20KSS.png)
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú
![F[e; 0] F[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/053dae281ef4069bc7dab12eafb2a293.png)
![e = c + p e = c + p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2c6bb9079d3584d90e1baa1337a1614c.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![d: x = c d: x = c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f31a82be4dda45c09beaef49b51e56b0.png)
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi
![X X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd| \epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3a563264132731c57809dc9178a9c32.png)
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/440f920eec64e99fe5a9b232b6d78fc6.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
![(1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0 (1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2cb2e2cd6790d3cb7412175de950bb94.png)
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen
![e^2− 𝜀^2c^2 e^2− 𝜀^2c^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/68c7ca462c8af72ecda417e4576f93e1.png)
![e^2= 𝜀^2c^2 e^2= 𝜀^2c^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c0161af88b45621cc64c3f794c83f1e5.png)
Keďže možnosť
![𝑒 = 𝜀𝑐 𝑒 = 𝜀𝑐](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a30f0ae2bc2923f9be5509aa1afcebbd.png)
![𝜀 𝜀](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a48cbdf77c33b02dad8ed1e6cb66693a.png)
![𝑒 = − 𝜀𝑐 𝑒 = − 𝜀𝑐](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/26dd7f071ae637d7890957a372730dcb.png)
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
![𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2 𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5cdeccb260477afa356cfb3cdc61cc9.png)
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Sd|= \frac{a}{\epsilon} |Sd|= \frac{a}{\epsilon}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27e61abcde4362b757d9e4df6ee5d86d.png)
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Najprv ukážeme platnosť vety pre elipsu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme
:
![y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2 y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d26b5edccaca7ce2822088ae54573b00.png)
![y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2) y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf2bd4a0e4827b349df9b541cbdf55fc.png)
![\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1 \frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3204b997b65fcdf2330da2cba33ba04a.png)
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9052/elipsa%20a%20riadiaca%20priamka%20vo%20vete.png)
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
![|Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e |Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d86a96d25be08be28fe3978c6108d97e.png)
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
![y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2 y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6aa2bf438cb8088ba9a3e3a50ee933a.png)
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme
![\epsilon= \frac{e}{a} \epsilon= \frac{e}{a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1fe7da6fb45126129f4d08484c6c13b.png)
![y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2 y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d26b5edccaca7ce2822088ae54573b00.png)
![y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2) y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf2bd4a0e4827b349df9b541cbdf55fc.png)
![\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1 \frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3204b997b65fcdf2330da2cba33ba04a.png)
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
Pre parabolu predpokladáme, že
. Potom vrcholová rovnica kužeľosečky má tvar:
![y^2 = 2px y^2 = 2px](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d319e5541ba599c99beac70a84dea2a.png)
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.
![\epsilon = 1 \epsilon = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4eb64a9617960307250c0a0a88d010e.png)
![y^2 = 2px y^2 = 2px](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d319e5541ba599c99beac70a84dea2a.png)
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.
7.2. Dôkaz vety pre singulárne kužeľosečky
Nech súradnicová os
KSS je kolmá na riadiacu priamku
a prechádza pevným bodom
. Pre hľadané body roviny
platí, že neležia na riadiacej priamke
, preto
. Označme
vzdialenosť daného bodu
od danej riadiacej priamky
:
.
Súradnice pevne zvoleného bodu sú
, pričom
a koeficient
je z rovnice popisujúcu riadiacu priamku
. Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi roviny
, pevne zvoleným bodom
a riadiacou priamkou
platí:
![\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd| \epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a7728fbf114ad599e602856c496b95c.png)
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/859b038ac6c7c2fb2d518d8207388165.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi
, keďže kužeľosečky sú algebrické krivky 2. stupňa:
![(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0 (1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c588654ef3591fb6238bd92775679afc.png)
Keďže pevný bod
leží na riadiacej priamke
, tak platí
. Riadiaca priamka
je vzdialená od počiatku KSS o konštantu
. Vytvorená kvadratická rovnica s neznámymi
nadobudne nasledujúci tvar:
![y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2 y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73c57d332c3072d443d07e94130d5f18.png)
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
- dostali sme prázdnu množinu
- dostali sme totožné rovnobežky
- dostali sme zjednotenie rôznobežiek.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![X [x; y] X [x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77046f7175b62e08861002c3fc77c3a3.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Xd| \neq 0 |Xd| \neq 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63717f98e6422236312fe21114b983da.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Súradnice pevne zvoleného bodu sú
![F[e;0] F[e;0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d45ce59d231cd820e6eddd0c9b0e2176.png)
![e=c+p e=c+p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eeee1f1005abbfd2619a69ffc74d3353.png)
![c c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
![d: x = c d: x = c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f803bb9ffa91ef88d59c0d115bef21df.png)
![X X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd| \epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a7728fbf114ad599e602856c496b95c.png)
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/859b038ac6c7c2fb2d518d8207388165.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
![(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0 (1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c588654ef3591fb6238bd92775679afc.png)
Keďže pevný bod
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p=0 p=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4c895310f8869f8fd643b114d927b60.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![c=e c=e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/404827c6585b2c63e6a305324062a471.png)
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
![y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2 y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73c57d332c3072d443d07e94130d5f18.png)
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
![\epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset \epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f35e01e295742cbe571cdc179273b6b.png)
![\epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \} \epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1aecc5e0ad131f78b7e147bdad62ac3.png)
![\epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \} \epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/706ac6723a21663e999231d6640cd51a.png)