Kubovčík, M.: Kužeľosečky

Majme dva rôzne body roviny $F_1, F_2$ a reálne číslo $a \in \mathbb{R}$.
Elipsa 𝔈 je množina všetkých bodov v rovine $\rho$, ktoré majú rovnaký súčet vzdialeností od týchto dvoch
zvolených bodov $E, F$ a tento súčet je väčší, ako je vzdialenosť ohnísk:
$2a>|F_1F_2|$
𝔈 = {$\forall X ∈ 𝜌; |XF_1|+|XF_2|= 2𝑎$}.

Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom elipsy $M$ a jej ohniskami $F_1$ alebo $F_2$ sa nazývajú sprievodiče bodu $M$.
Sprievodiče bodu $M$ tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode $M$.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží stred elipsy $S$, vo vonkajšom uhle sprievodičov ležia hlavné vrcholy elipsy $A, B$.

Priamka $t$ je dotyčnicou ku elipse v dotykovom bode $T$ práve vtedy,
keď je osou vonkajšieho uhla 𝜔 sprievodičov bodu dotyku $T$. 

Združené priemery elipsy nazývame také dva priemery elipsy, pre ktoré platí,
že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s priemerom k nemu združenému.

Riadiace kružnice elipsy $g_1, g_2$sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom elipsy podľa všetkých dotyčníc ku elipse,
pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti $2a$:
$𝑔_1(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)$ .

Vrcholová kružnica elipsy $v$ je množina piat kolmíc spustených z ohnísk elipsy vzhľadom na dotyčnice ku elipse.
Stred tejto kružnice je totožný so stredom elipsy a polomer tejto kružnice je $a$:
$𝑣(S, 𝑎)$
.

Ohnisková (bodová) konštrukcia:

• využívame vtedy, ak máme zadané $F_1, F_2, a$ 
• najprv zostrojíme úsečku $PQ$ o veľkosti \2a\) a na nej si zvolíme ľubovoľný bod $M$
• potom zostrojíme tzv. hyperoskulačné kružnice $k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|)$
• takto získame body $M_1, M_2$ patriace hľadanej elipsy ako prienik hyperoskulačných kružníc
• ďalšie body elipsy získame podobným postupom ľubovoľnou voľbou bodu $M$ na úsečke $PQ$

Trojuholníková (zástavková) konštrukcia:

• využívame vtedy, ak máme zadané stred elipsy $S$, veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi $a, b$, hlavnú a vedľajšiu os $o_1, o_2$
• zostrojíme sústredné kružnice $k_1(S, r_1 = a), k_2(S, r_2= b)$
• vedieme ľubovoľnú priamku p prechádzajúcu stredom elipsy $S$
• získame priesečníky polpriamky a sústredných kružníc: $M_1 ∈ k_1 ∩ 𝑝, M_2 ∈ k_2 ∩ p$
  
• zostrojíme takéto priamky $p_1: (p_1 ∥ o_2)(M_1 ∈ p_1), p_2: (p_2 ∥ o_1)(M_2 ∈ p_2)$
  
• získame bod elipsy $M$ ako priesečník zostrojených priamok: $M ∈ p_1 ∩ p_2$

Prúžková konštrukcia:

• využívame vtedy, ak máme zadanú hlavnú os $o_1$, hlavné vrcholy $A, B$ a bod $M$, ktorý patrí elipse, ale nie je vrcholom tejto elipsy
  
• nájdeme stred elipsy $S$ ako stred úsečky $AB$
  
• takto poznáme veľkosť hlavnej polosi $𝑎 = |SA| = |SB|$, teraz nám stačí nájsť veľkosť vedľajšej polosi $b$
  
• najprv zostrojíme vedľajšiu os $o_2: (o_2 ⊥ o_1)(S ∈ o_2)$
  
• potom zostrojíme kružnicu $k$so stredom v bode $M$ a polomerom $a$, t. j. $k(M; a)$
  
• získame priesečník $P_1: (P_1 ∈ 𝑘 ∩ o_2)$
  
• zostrojíme priamku $P_1M$ a získame priesečník $P_2$ tejto priamky a hlavnej osi
  
• hľadaná veľkosť vedľajšej polosi $b$je $|MP_2|$
  
• obdobne postupujeme, keď poznáme vedľajšie vrcholy $C, D$, s rozdielom, že hľadáme veľkosť hlavnej polosi $a$
  

Rytzova konštrukcia:

• využívame vtedy, keď poznáme združené priemery elipsy $KL, MN$
  
• keďže združené priemery sa pretínajú v strede elipsy, tak najprv nájdeme tento stred elipsy $S$, a potom otočíme bod $M$ o $90°$ okolo bodu $S$, t. j. $ℛS; 90° (M) = M_1$  
• nájdeme bod $O$ ako stred úsečky $KM_1$
  
• zostrojíme kružnicu \(𝑘(O; r = |OS|)\)a priamku $KM_1$
  
• získame priesečníky $1, 2$ kružnice $k$a priamky $KM_1$ také, pre ktoré platí:
  

Príklad 1: Zostrojte elipsu, ak sú dané jej dve dotyčnice $t_1, t_2$, stred elipsy $S$ a hlavná polos $a$. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 2: Zostrojte elipsu, ak je dané ohnisko $F_1$, vedľajší vrchol $C$ a bod $M$ patriaci elipse. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 3: Zostrojte elipsu, ak sú dané jej vedľajšie vrcholy $C, D$ a bod $M$ patriaci tejto elipse. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 4: Daný je trojuholník $KLM$ a jeho vnútorný bod $F_1$. Zostrojte elipsu vpísanú trojuholníku $KLM$ tak, aby bod $F_1$ bol jej ohniskom. Riešenie úlohy v GeoGebre.

Majme dva rôzne body roviny $F_1, F_2$ a reálne číslo $a \in \mathbb{R}$.
Hyperbola ℌ je množina všetkých bodov v rovine $\rho$, ktoré majú rovnaký rozdiel vzdialeností
od týchto dvoch zvolených bodov $F_1, F_2$  a tento absolútny rozdiel je menší, ako je vzdialenosť ohnísk:
$2𝑎 < |F_1F_2|$
ℌ = {$\forall X ∈ 𝜌; ||XF_1| − |XF_2|| = 2𝑎$}.

Asymptoty hyperboly $a_1, a_2$ sú priamky, ktoré prechádzajú stredom hyperboly $S$
a zvierajú s hlavnou osou hyperboly uhol $\phi$, pre ktorý platí $\tan \phi = \pm \frac{a}{b}$.

Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom hyperboly $M$ a jej ohniskami $F_1$ alebo $F_2$ sa nazývajú sprievodiče bodu $M$.
Sprievodiče bodu $M$ tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode $M$.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom ležia ohniská hyperboly $F_1, F_2$, inak ide o vonkajší uhol sprievodičov.

Priamka $t$ je dotyčnicou ku hyperbole v dotykovom bode $T$ práve vtedy, keď je osou vonkajšieho uhla $𝜔$ sprievodičov bodu dotyku $T$.

Riadiace kružnice hyperboly $g_1, g_2$ sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom hyperboly
podľa všetkých dotyčníc ku hyperbole, pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti 2$a$:
$𝑔_1 (F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)$.

Vrcholová kružnica hyperboly \(v\) je množina piat kolmíc spustených z ohnísk hyperboly vzhľadom na dotyčnice ku hyperbole.
Stred tejto kružnice je totožný so stredom hyperboly a polomer tejto kružnice je $a$:
$𝑣(S, 𝑎)$.

Ohnisková (bodová) konštrukcia:

• využívame vtedy, ak máme zadané $F_1, F_2, a$
  
• nájdeme stred hyperboly $S$ ako stred úsečky $F_1F_2$
• zostrojíme kružnicu $l(S; a)$ a hlavné vrcholy $A, B$ nájdeme ako priesečník kružnice $l$ a priamky $F_1F_2$
  
• zvolíme si ľubovoľný bod $X$ na priamke $F_1F_2$ 
  
• potom zostrojíme kružnice $k_1, k_2: 𝑘_1(F_ 1; 𝑟_1 = |XA|)$, $𝑘_2(F_2; 𝑟_2 = |XB|)$
  
• nájdeme body $M_1, M_2$ patriace hyperbole ako priesečníky kružníc $k_1, k_2$

Príklad 1: Zostrojte hyperbolu, ak sú dané jej dva hlavné vrcholy $A, B$ a dotyčnica ku hyperbole $t$. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 2: Zostrojte hyperbolu, ak je daná jej asymptota $a_1$, ohnisko $F_1$ a hlavná polos $a$. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 3: Zostrojte hyperbolu, ak je daná hlavná os $o$, na nej ohnisko $F$, lineárna excentricita $e$ a bod $M$ patriaci hyperbole. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Majme bod roviny $F$ a priamku $d$ ležiacu v tejto rovine $\rho$, pričom $𝑑 ∉ 𝜌$.
Parabola $𝔓$ je množina všetkých bodov v rovine $\rho$,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky $d$ a pevne zvoleného bodu $F$:
𝔓 = {$\forall X ∈ 𝜌; |XF| = |Xd|$}.

Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom hyperboly $M$ a jej ohniskom $F$ kolmicou prechádzajúcou bodom $M$
vzhľadom na riadiacu priamku $d$ s priesečníkom $Q$ nazývame sprievodiče bodu $M$.
Sprievodiče bodu $M$ tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode $M$.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží ohnisko $F$, inak ide o vonkajšie uhly sprievodičov.

Priamka $t$ je dotyčnicou ku parabole v dotykovom bode $T$ práve vtedy, keď je osou vonkajšieho uhla $𝜔$ sprievodičov bodu dotyku $T$.

Vrcholová dotyčnica $v$ je množina bodov piat kolmíc vedených ohniskom $F$ vzhľadom na dotyčnice paraboly.

Teraz uvedieme ohniskovú (bodovú) konštrukciu paraboly, ktorá vychádza z predpokladu, že parabola je množina bodov danej vlastnosti:

• využívame vtedy, keď poznáme ohnisko $F$ a riadiacu priamku $d$
  
• zostrojíme kolmicu $o$ na riadiacu priamku $d$ prechádzajúcu cez ohnisko $F$, pätu tejto kolmice označíme $P$
  
• na polpriamke $PF$ si zvolíme ľubovoľný bod $Y$
• cez bod $Y$ vedieme rovnobežnú priamku $p$ s riadiacou priamkou $d$
• zostrojíme kružnicu $𝑘(F; 𝑟 = |YP|)$
• hľadané body paraboly $M_1, M_2$ sú priesečníky kružnice $k$ a priamky $p$

Príklad 1: Zostrojte parabolu, ak je dané jej ohnisko $F$ a dva rôzne body $A, B$ patriace tejto parabole. Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 2: Daná je priamka $d$ a dva rôzne body $A, B$ neležiace na priamke $d$. Zostrojte parabolu, aby priamka $d$ bola jej riadiaca priamka a body $A, B$ boli jej body. Riešenie príkladu v GeoGebre. 

Quételetova – Dandelinova veta:
Rezom rotačnou kužeľovou plochou neprechádzajúcou jej vrcholom, je: 
• elipsa práve vtedy, keď rovinný rez pretína všetky tvoriace priamky kužeľovej plochy;
• parabola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy;
• hyperbola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Tieto kužeľosečky majú ohniská v dotykových bodoch guľových plôch vpísaných rotačnej kužeľovej ploche a dotýkajúcich sa rovinných rezov.

Nech $𝜌$ je rovinný rez neprechádzajúci vrcholom rotačnej kužeľovej plochy $K$.
Nech $𝛽$ je uhol, ktorý zvierajú tvoriace priamky rotačnej kužeľovej plochy s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy.
Nech $𝛼$ je uhol, ktorý zviera rovinný rez s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy. Rezom $𝜌 ∩ 𝐾$ je:
• elipsa práve vtedy, keď $𝛼 < 𝛽$;
• parabola práve vtedy, keď $𝛼 = 𝛽$;
• hyperbola práve vtedy, keď $𝛼 > 𝛽$.

Nech je daná rotačná kužeľová plocha $K$ a rovinný rez $𝜌$ rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu $𝜌$ a rotačnej kužeľovej plochy $K$ je parabola,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy $K$ vpíšeme guľovú plochu $G$ tak, aby rovinný rez $𝜌$ bola dotyková rovina tejto guľovej plochy.
Bod dotyku označme $F$. Guľová plocha $G$ sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v podobe kružnice $k$, pričom rovina, v ktorej leží kružnica, pretína rovinný rez $𝜌$ v priamke $d$.
Ľubovoľným bodom rovinného rezu $𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ vedieme povrchovú priamku $p$ rotačnej kužeľovej plochy $K$. Priamka $p$ je dotyčnicou guľovej plochy $G$ a dotýka sa v bode $X ∈ 𝑘 ∩ 𝑝$. Ďalšou dotyčnicou guľovej plochy $G$ prechádzajúcou bodom $M$ je priamka $MX$.
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
$|MF| = |MX|$.
Dostali sme, že všetky body $𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ sú rovnako vzdialené od pevne zvoleného bodu $F$ a priamky $d$.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.

Nech je daná rotačná kužeľová plocha $K$ a rovinný rez $𝜌$ rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu $𝜌$ a rotačnej kužeľovej plochy $K$ je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov $F_1, F_2$ (ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy $K$ vpíšeme guľové plochy $G_1, G_2$ (dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc $k_1, k_2$) tak,
aby rovinný rez $𝜌$ bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme $F_1, F_2$.
Zvolíme si ľubovoľný bod $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$. Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy $p$ prechádzajúcu týmto bodom.
Označme $X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝$. Platí:
$|MF_1| = |MX|$,
pretože priamky $MF_1, MX$ sú dotyčnice guľovej plochy $G_1$ a zároveň body $F_1, X$ na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
$|MF_2| = |MY|$.
Dostávame, že:
$||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY|$.
Takto sme dostali, že všetky také body $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ sú vzdialené od dvoch pevných bodov $F_1, F_2$ o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.

Nech $𝒦: 𝛼̅̅_1→ 𝛼̅̅_2$ je perspektívna kolineácia daná stredom $S$, osou perspektívnej kolineácie $o$ a úbežnicou $𝑢 ∈ 𝛼̅̅_1$.
Potom obrazom kružnice $k$ v $𝒦$ je:
• elipsa práve vtedy, keď úbežnica $u$je nesečnica kružnice $k$
• parabola práve vtedy, keď úbežnica $u$ je dotyčnica kružnice $k$
• hyperbola práve vtedy, keď úbežnica $u$je sečnica kružnice $k$.

Majme danú priamku $q$a bod $P$, ktorý na tejto priamke neleží. Zostrojme priamku $p$ tak, aby prechádzala bodom $P$.
Postupne budeme otáčať priamku $p$okolo bodu $P$ a dostávame priesečníky s priamkou $q$. V určitom okamihu priamky $p, q$ budú navzájom rôzne rovnobežné a už nedostaneme ich priesečník.
Túto situáciu neexistujúceho priesečníku rôzne rovnobežných priamok vyriešime tak, že zavedieme nevlastný bod ako priesečník rôzne rovnobežných priamok v nekonečne.
Nevlastné body označujeme dolným indexom $X_∞$. Ďalej platí, že všetky navzájom rôzne rovnobežné priamky
so spoločným smerom majú spoločný práve jeden nevlastný bod. Každá priamka má práve jeden nevlastný bod.

Obdobne vieme pre rôzne rovnobežné roviny zaviesť nevlastnú priamku ako priesečník rôznych rovnobežných rovín,
pričom nevlastná priama je daná dvomi smermi (tzv. zameraním roviny). Každá rovina má práve jednu nevlastnú priamku
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru.
Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
.

Nech sú dané dve rôzne roviny $𝛼_1, 𝛼_2$ a bod $S$, ktorý neleží ani na jednej z daných rovín.
Perspektívna kolineácia 𝓚 je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $S$ do roviny druhej.
Bod $S$ nazývame stred kolineácie, priamku $𝑜 = 𝛼_1 ∩ 𝛼_2$ nazývame osou perspektívnej kolineácie.

Medzi základné vlastnosti perspektívnej kolineácie medzi dvomi rovinami, vyplývajúce z toho, že ide o bijektívne zobrazenie, zaraďujeme:
• bod sa zobrazí na bod, priamka sa zobrazí na priamku $A → A´, 𝑎 → 𝑎´$
• kolineárne združené body $A, A´$, ktoré si odpovedajú v kolineácii, ležia na priamke prechádzajúce stredom kolineácie $S$
• vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod alebo naopak
• priamky odpovedajúce si v kolineácii sa pretínajú na osi perspektívnej kolineácii $o$,
pričom priesečníky týchto priamok sú samodružné body $𝑎 ∩ 𝑎´ = 1∈𝑜$
• zachováva sa incidencia, takže ak jeden útvar patrí druhému útvaru, tak aj ich obrazy si zachovávajú tú istú vlastnosť
• nezachováva sa deliaci pomer troch bodov na priamke, z toho vyplýva, že ani rovnobežnosť nie je invariantom kolineácie
• deliaci dvojpomer štyroch bodov na priamke je invariantom kolineácie.

Body, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazy alebo vzory nevlastných bodov, nazývame úbežníky.
Priamky, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky, nazývame úbežnice.
V perspektívnej kolineácii sú úbežnice dve. Úbežnica $v´ ∈ 𝛼´$je obrazom nevlastnej priamky $v_∞$ roviny $𝛼$,
úbežnica $u ∈ 𝛼$ je vzor nevlastnej priamky $u_∞´$ roviny $𝛼´$.
Ďalej platí, že úbežnice sú rovnobežné s osou perspektívnej kolineácie $o$a všetky úbežníky ležia na úbežniciach.
Obrazy rovnobežných priamok sa pretínajú na úbežnici. Orientovaná vzdialenosť stredu kolineácie $S$
od jednej úbežnice sa rovná súhlasne orientovanej vzdialenosti druhej úbežnice od osi perspektívnej kolineácie $o$.

Kužeľosečka je množina bodov X[x; y] v rovine, ktoré vyhovujú nasledovnej rovnici lineárnej sústave súradníc:
$𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0$,
pričom koeficienty $𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ$ a jeden z koeficientov $𝐴, 𝐵, 𝐶 ≠ 0$.
Túto rovnicu nazývame všeobecná rovnica kužeľosečiek.

Pod regulárnou kužeľosečkou rozumieme kružnicu, elipsu, hyperbolu a parabolu.
Pod singulárnou kužeľosečkou rozumieme každú dvojicu priamok (dve rôznobežné priamky, dve rôzne rovnobežné priamky) a bod.

Všeobecnú rovnicu kužeľosečky vieme vyjadriť aj v maticovom tvare:
$\left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right]$ $σ$ $\left[\begin{array}{ccc} x&y&1 \end{array}\right]^T$ = 0,
kde matica $𝜎$ pozostáva z koeficientov všeobecnej rovnice a nazýva sa veľký diskriminant kužeľosečky:
$σ = \left[\begin{array}{ccc} A&B&D \\ B&C&E \\ D&E&F\end{array}\right]$.
Malý diskriminant kužeľosečky má tvar: 
$δ = \left[\begin{array}{cc} A&B\\ B&C\end{array}\right]$.

Na určenie konkrétneho druhu kužeľosečky pomocou veľkého a malého diskriminantu
všeobecnej rovnice kužeľosečiek sme zostavili kvôli priehľadnosti nasledujúci algoritmus:

Elipsa $𝔈$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) $F_1, F_2$ je stály a rovný $2a$, pričom konštanta $2𝑎 > |F_1F_2|$:
$𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\}$.

Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme $e$ (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
$S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]$.
Podľa definície leží bod $M[x; y$] na elipse $𝔈$ práve vtedy, keď platí:
$|MF _1| + |MF_2|$=$\sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a$. 
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1$.
Ak stred elipsy je bod $S[m; n]$ a ohniská ležia na rovnobežke s osou $x$ prechádzajúcou bodom $S$, potom stredová rovnica elipsy:
$\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1$.

Hyperbola $ℌ$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) $F_1, F_2$ je stály a rovný $2a$, pričom konštanta $2𝑎 < |F_1F_2|$:
$ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\}$.


Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme $e$ (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
$S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]$.
Podľa definície leží bod $M[x; y]$ na hyperbole $𝔈$ práve vtedy, keď platí:
$||MF_1| − |MF_2||$ =|$\sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a$. 
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1$.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
$\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1$.

Parabola $𝔓$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) $F$ a pevnej (riadiacej) priamky $d$:
$𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\}$.

Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol $V$ ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly $d$ vieme popísať rovnicou
$d: x= -\frac{p}{2}$ .
Ohnisko má súradnice $F[𝑝/2; 0]$. Podľa definície leží bod $M[x; y]$ na parabole $𝔓$ práve vtedy, keď platí:
$|MF| = |M𝑑|$.
$\sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2}$.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$𝑦^2 = 2𝑝𝑥$.
Ak vrchol paraboly je bod $V[m; n]$ a ohnisko leží na rovnobežke s osou $x$ prechádzajúcou bodom $V$, potom vrcholová rovnica paraboly:
$(𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚)$.

Príklad 1: Určte prienik kružnice $k$ a priamky $p$ v závislosti od parametra $d$:
$k: (x+3)^2+(y-5)^2=16$
$p: 3x + 2y+d=0$
Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 2: Daná je kužeľosečka rovnicou $k: 2y^2 - x^2+4y-8x+1=0$. Určte jej základné charakteristické prvky a načrtnite ju.
Riešenie príkladu v GeoGebre.

Príklad 3: Určte, o akú kužeľosečku ide a zistite jej určujúce prvky:
$k: 5x^2+6xy+5y^2-6x-10y-3=0$
Riešenie príkladu v GeoGebre.

Riadiacimi priamkami $d_1, d_2$ elipsy (hyperboly) nazývame také priamky, ktoré sú kolmé na hlavnú os $o$ vo vzdialenosti $\frac{a}{ \epsilon}$
od stredu kužeľosečky $S$, kde $𝜀$ je numerická výstrednosť (excentricita) elipsy, resp. hyperboly.
 

Obrázok Riadiace priamky elipsy

Obrázok Riadiace priamky hyperboly

Regulárne kužeľosečky a ich riadiace priamky:
Regulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu $F$
a riadiacej priamky $d$ stály pomer vzdialeností rovný numerickej excentricite $𝜀$:
$\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|}$,
kde $F ∉ 𝑑$, pričom ďalej platí, že ak:
• $𝜀 < 1$, potom kužeľosečka je elipsa
• $𝜀 = 1$, potom kužeľosečka je parabola
• $𝜀 > 1$, potom kužeľosečka je hyperbola.

Singulárne kužeľosečky a ich riadiace priamky:
Singulárna kužeľosečka je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu $F$
a riadiacej priamky $d$ stály pomer vzdialeností rovný numerickej excentricite $𝜀$:
$\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|}$ ,
kde $F ∈ 𝑑$, pričom ďalej platí, že ak:
• $𝜀 < 1$, potom kužeľosečka je prázdna množina
• $𝜀 = 1$, potom kužeľosečka je totožné rovnobežky okrem bodu $F$
• $𝜀 > 1$, potom kužeľosečka je zjednotenie rôznobežiek okrem bodu $F$.

Nech súradnicová os $x$ KSS je kolmá na riadiacu priamku $d$ a prechádza bodom $F$. Pre hľadané body roviny $X[x; y]$ platí,
že neležia na riadiacej priamke $d$, preto $|Xd| ≠ 0$. Označme $p$ vzdialenosť daného bodu $F$ od danej riadiacej priamky $d$:
$p = |Fd|$.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom

Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú $F[e; 0]$, kde $e = c + p$, riadiaca priamka $d$ je popísaná rovnicou $d: x = c$.
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi $X$, pevne zvoleným bodom $F$ a riadiacou priamkou $d$, platí:
$\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd|$
$\sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2}$
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
$(1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0$.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen $e^2− 𝜀^2c^2$, takže potom $e^2= 𝜀^2c^2$.
Keďže možnosť $𝑒 = 𝜀𝑐$ nevyhovuje pre ľubovoľné kladné $𝜀$, tak budeme predpokladať, že $𝑒 = − 𝜀𝑐$.
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
$𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2$.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky $S$ od riadiacej priamky $d$ je rovná:
$|Sd|= \frac{a}{\epsilon}$
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu $F$ od riadiacej priamky $p = |Fd|$.

Najprv ukážeme platnosť vety pre elipsu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:

Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
$|Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e$
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
$y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2$
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme $\epsilon= \frac{e}{a}$:
$y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2$
$y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)$
$\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1$
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.

Pre parabolu predpokladáme, že $\epsilon = 1$. Potom vrcholová rovnica kužeľosečky má tvar:
$y^2 = 2px$
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.

Nakoniec ukážeme platnosť vety pre hyperbolu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:

Pomocou pomocného obrázka si vyjadríme parameter $p$: 
$|SF| = e = \frac{a}{\epsilon} + p \Rightarrow p= e- \frac{a}{ \epsilon}$
Vyjadrený parameter $p$ dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
$y^2 = 2(e- \frac{a^2}{e}) \frac{e}{a}x+(( \frac{e}{a})^2-1)x^2$
$y^2 = (( \frac{e}{a})^2-1)(x+a)^2 + (a^2 - e^2)$
$\frac{(x+a)^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1$
Dostali sme stredovú rovnicu hyperboly.

Nech súradnicová os $x$ KSS je kolmá na riadiacu priamku $d$ a prechádza pevným bodom $F$. Pre hľadané body roviny $X [x; y]$ platí, že neležia na riadiacej priamke $d$, preto $|Xd| \neq 0$. Označme $p$ vzdialenosť daného bodu $F$ od danej riadiacej priamky $d$:
$p = |Fd|$.
Súradnice pevne zvoleného bodu sú $F[e;0]$, pričom $e=c+p$ a koeficient $c$ je z rovnice popisujúcu riadiacu priamku $d: x = c$. Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi roviny $X$, pevne zvoleným bodom $F$ a riadiacou priamkou $d$ platí:
$\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|$
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
$\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}$
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi $x, y$, keďže kužeľosečky sú algebrické krivky 2. stupňa:
$(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0$
Keďže pevný bod $F$ leží na riadiacej priamke $d$, tak platí $p=0$. Riadiaca priamka $d$ je vzdialená od počiatku KSS o konštantu $c=e$. Vytvorená kvadratická rovnica s neznámymi $x, y$ nadobudne nasledujúci tvar:
$y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2$
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
$\epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset$ - dostali sme prázdnu množinu
$\epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \}$ - dostali sme totožné rovnobežky 
$\epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \}$ - dostali sme zjednotenie rôznobežiek.