Kubovčík, M.: Kužeľosečky
6. Analytické vyjadrenie kužeľosečiek
6.2. Transformácia karteziánskej sústavy súradníc
Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom . Hovoríme, že nová sústava vznikla z pôvodnej sústavy
posunutím, ak platí medzi pôvodnými súradnicami a novými súradnicami ľubovoľného bodu vzťah daný rovnicami:
posunutím, ak platí medzi pôvodnými súradnicami a novými súradnicami ľubovoľného bodu vzťah daný rovnicami:
Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom . Hovoríme, že nová sústava vznikla z pôvodnej sústavy
otočením okolo počiatku pôvodnej sústavy daným uhlom , ak platí medzi pôvodnými súradnicami
a novými súradnicami ľubovoľného bodu vzťah daný rovnicami:
otočením okolo počiatku pôvodnej sústavy daným uhlom , ak platí medzi pôvodnými súradnicami
a novými súradnicami ľubovoľného bodu vzťah daný rovnicami:
Všeobecná rovnica kužeľosečky obsahuje zmiešaný kvadratický člen :
.
Ak chceme, aby vypadol zmiešaný kvadratický člen v príslušnej všeobecnej rovnici kužeľosečky,
tak otočíme pôvodnú súradnicovú sústavu okolo počiatku o taký uhol , aby koeficient a všeobecná kužeľosečka mala tvar:
.
Najprv všeobecne transformujeme pôvodnú súradnicovú sústavu otočením na novú súradnicovú sústavu :
.
Pomocou algebrických úprav dostaneme nasledujúci tvar všeobecnej rovnice v otočení:
Vyjadríme si koeficient pri zmiešanom kvadratickom člene :
.
Keďže chceme odstrániť zmiešaný kvadratický člen , tak potom musí platiť:
.
Vyjadríme si nakoniec, o aký uhol musíme otočiť príslušnú kužeľosečku,
aby sme odstránili zmiešaný kvadratický člen zo všeobecnej rovnice danej kužeľosečky:
.
Ak chceme, aby vypadol zmiešaný kvadratický člen v príslušnej všeobecnej rovnici kužeľosečky,
tak otočíme pôvodnú súradnicovú sústavu okolo počiatku o taký uhol , aby koeficient a všeobecná kužeľosečka mala tvar:
.
Najprv všeobecne transformujeme pôvodnú súradnicovú sústavu otočením na novú súradnicovú sústavu :
.
Pomocou algebrických úprav dostaneme nasledujúci tvar všeobecnej rovnice v otočení:
Vyjadríme si koeficient pri zmiešanom kvadratickom člene :
.
Keďže chceme odstrániť zmiešaný kvadratický člen , tak potom musí platiť:
.
Vyjadríme si nakoniec, o aký uhol musíme otočiť príslušnú kužeľosečku,
aby sme odstránili zmiešaný kvadratický člen zo všeobecnej rovnice danej kužeľosečky: