Kubovčík, M.: Kužeľosečky
6. Analytické vyjadrenie kužeľosečiek
6.1. Stredová a vrcholová rovnica kužeľosečky
Elipsa je množina všetkých bodov roviny ,
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) je stály a rovný , pričom konštanta :
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod ] na elipse práve vtedy, keď platí:
=.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred elipsy je bod a ohniská ležia na rovnobežke s osou prechádzajúcou bodom , potom stredová rovnica elipsy:
.
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) je stály a rovný , pričom konštanta :
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod ] na elipse práve vtedy, keď platí:
=.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred elipsy je bod a ohniská ležia na rovnobežke s osou prechádzajúcou bodom , potom stredová rovnica elipsy:
.
Hyperbola je množina všetkých bodov roviny ,
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) je stály a rovný , pričom konštanta :
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod na hyperbole práve vtedy, keď platí:
=|.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
.
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) je stály a rovný , pričom konštanta :
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod na hyperbole práve vtedy, keď platí:
=|.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
.
Parabola je množina všetkých bodov roviny ,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a pevnej (riadiacej) priamky :
.
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly vieme popísať rovnicou
.
Ohnisko má súradnice . Podľa definície leží bod na parabole práve vtedy, keď platí:
.
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak vrchol paraboly je bod a ohnisko leží na rovnobežke s osou prechádzajúcou bodom , potom vrcholová rovnica paraboly:
.
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a pevnej (riadiacej) priamky :
.
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly vieme popísať rovnicou
.
Ohnisko má súradnice . Podľa definície leží bod na parabole práve vtedy, keď platí:
.
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak vrchol paraboly je bod a ohnisko leží na rovnobežke s osou prechádzajúcou bodom , potom vrcholová rovnica paraboly:
.