Kubovčík, M.: Kužeľosečky
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
4.3. Dôkaz vety pre hyperbolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha a rovinný rez rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu a rotačnej kužeľovej plochy je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme guľové plochy (dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc ) tak,
aby rovinný rez bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme .
Zvolíme si ľubovoľný bod . Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy prechádzajúcu týmto bodom.
Označme . Platí:
,
pretože priamky sú dotyčnice guľovej plochy a zároveň body na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
.
Dostávame, že:
.
Takto sme dostali, že všetky také body sú vzdialené od dvoch pevných bodov o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu a rotačnej kužeľovej plochy je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme guľové plochy (dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc ) tak,
aby rovinný rez bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme .
Zvolíme si ľubovoľný bod . Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy prechádzajúcu týmto bodom.
Označme . Platí:
,
pretože priamky sú dotyčnice guľovej plochy a zároveň body na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
.
Dostávame, že:
.
Takto sme dostali, že všetky také body sú vzdialené od dvoch pevných bodov o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.