Kubovčík, M.: Kužeľosečky
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
4.2. Dôkaz vety pre parabolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha a rovinný rez rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu a rotačnej kužeľovej plochy je parabola,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme guľovú plochu tak, aby rovinný rez bola dotyková rovina tejto guľovej plochy.
Bod dotyku označme . Guľová plocha sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v podobe kružnice , pričom rovina, v ktorej leží kružnica, pretína rovinný rez v priamke .
Ľubovoľným bodom rovinného rezu vedieme povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy . Priamka je dotyčnicou guľovej plochy a dotýka sa v bode . Ďalšou dotyčnicou guľovej plochy prechádzajúcou bodom je priamka .
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
.
Dostali sme, že všetky body sú rovnako vzdialené od pevne zvoleného bodu a priamky .
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu a rotačnej kužeľovej plochy je parabola,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme guľovú plochu tak, aby rovinný rez bola dotyková rovina tejto guľovej plochy.
Bod dotyku označme . Guľová plocha sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v podobe kružnice , pričom rovina, v ktorej leží kružnica, pretína rovinný rez v priamke .
Ľubovoľným bodom rovinného rezu vedieme povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy . Priamka je dotyčnicou guľovej plochy a dotýka sa v bode . Ďalšou dotyčnicou guľovej plochy prechádzajúcou bodom je priamka .
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
.
Dostali sme, že všetky body sú rovnako vzdialené od pevne zvoleného bodu a priamky .
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.