Kubovčík, M.: Kužeľosečky
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
4.1. Dôkaz vety pre elipsu
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu a rotačnej kužeľovej plochy je elipsa,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantný súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme dve guľové plochy
dotýkajúce sa tejto kužeľovej plochy pozdĺž kružníc tak,
aby rovinný rez bol ich spoločná dotyková rovina s bodmi dotyku .
Zvoľme ľubovoľný bod a ukážeme, že tento bod patrí elipse.
Ďalej nech priamka (povrchová cez kužeľovú plochu) je taká,
že prechádza obomi kružnicami a zároveň . Platí:
,
pretože priamky , sú dotyčnice guľovej plochy a zároveň body na tejto guľovej ploche ležia.
Obdobne platí:
.
Pre vzdialenosť bodov dostávame nasledujúcu rovnosť:
.
Takto sme dostali, že všetky také body sú vzdialené od dvoch pevných bodov o konštantný súčet vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame elipsa.
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantný súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme dve guľové plochy
dotýkajúce sa tejto kužeľovej plochy pozdĺž kružníc tak,
aby rovinný rez bol ich spoločná dotyková rovina s bodmi dotyku .
Zvoľme ľubovoľný bod a ukážeme, že tento bod patrí elipse.
Ďalej nech priamka (povrchová cez kužeľovú plochu) je taká,
že prechádza obomi kružnicami a zároveň . Platí:
,
pretože priamky , sú dotyčnice guľovej plochy a zároveň body na tejto guľovej ploche ležia.
Obdobne platí:
.
Pre vzdialenosť bodov dostávame nasledujúcu rovnosť:
.
Takto sme dostali, že všetky také body sú vzdialené od dvoch pevných bodov o konštantný súčet vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame elipsa.