Didaktika matematiky

Nech $𝒦: 𝛼̅̅_1→ 𝛼̅̅_2$ je perspektívna kolineácia daná stredom $S$, osou perspektívnej kolineácie $o$ a úbežnicou $𝑢 ∈ 𝛼̅̅_1$.
Potom obrazom kružnice $k$ v $𝒦$ je:
• elipsa práve vtedy, keď úbežnica $u$je nesečnica kružnice $k$
• parabola práve vtedy, keď úbežnica $u$ je dotyčnica kružnice $k$
• hyperbola práve vtedy, keď úbežnica $u$je sečnica kružnice $k$.

Majme danú priamku $q$a bod $P$, ktorý na tejto priamke neleží. Zostrojme priamku $p$ tak, aby prechádzala bodom $P$.
Postupne budeme otáčať priamku $p$okolo bodu $P$ a dostávame priesečníky s priamkou $q$. V určitom okamihu priamky $p, q$ budú navzájom rôzne rovnobežné a už nedostaneme ich priesečník.
Túto situáciu neexistujúceho priesečníku rôzne rovnobežných priamok vyriešime tak, že zavedieme nevlastný bod ako priesečník rôzne rovnobežných priamok v nekonečne.
Nevlastné body označujeme dolným indexom $X_∞$. Ďalej platí, že všetky navzájom rôzne rovnobežné priamky
so spoločným smerom majú spoločný práve jeden nevlastný bod. Každá priamka má práve jeden nevlastný bod.

Obdobne vieme pre rôzne rovnobežné roviny zaviesť nevlastnú priamku ako priesečník rôznych rovnobežných rovín,
pričom nevlastná priama je daná dvomi smermi (tzv. zameraním roviny). Každá rovina má práve jednu nevlastnú priamku
Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru.
Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
.

Nech sú dané dve rôzne roviny $𝛼_1, 𝛼_2$ a bod $S$, ktorý neleží ani na jednej z daných rovín.
Perspektívna kolineácia 𝓚 je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $S$ do roviny druhej.
Bod $S$ nazývame stred kolineácie, priamku $𝑜 = 𝛼_1 ∩ 𝛼_2$ nazývame osou perspektívnej kolineácie.

Medzi základné vlastnosti perspektívnej kolineácie medzi dvomi rovinami, vyplývajúce z toho, že ide o bijektívne zobrazenie, zaraďujeme:
• bod sa zobrazí na bod, priamka sa zobrazí na priamku $A → A´, 𝑎 → 𝑎´$
• kolineárne združené body $A, A´$, ktoré si odpovedajú v kolineácii, ležia na priamke prechádzajúce stredom kolineácie $S$
• vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod alebo naopak
• priamky odpovedajúce si v kolineácii sa pretínajú na osi perspektívnej kolineácii $o$,
pričom priesečníky týchto priamok sú samodružné body $𝑎 ∩ 𝑎´ = 1∈𝑜$
• zachováva sa incidencia, takže ak jeden útvar patrí druhému útvaru, tak aj ich obrazy si zachovávajú tú istú vlastnosť
• nezachováva sa deliaci pomer troch bodov na priamke, z toho vyplýva, že ani rovnobežnosť nie je invariantom kolineácie
• deliaci dvojpomer štyroch bodov na priamke je invariantom kolineácie.

Body, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazy alebo vzory nevlastných bodov, nazývame úbežníky.
Priamky, ktoré sú v perspektívnej kolineácii obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky, nazývame úbežnice.
V perspektívnej kolineácii sú úbežnice dve. Úbežnica $v´ ∈ 𝛼´$je obrazom nevlastnej priamky $v_∞$ roviny $𝛼$,
úbežnica $u ∈ 𝛼$ je vzor nevlastnej priamky $u_∞´$ roviny $𝛼´$.
Ďalej platí, že úbežnice sú rovnobežné s osou perspektívnej kolineácie $o$a všetky úbežníky ležia na úbežniciach.
Obrazy rovnobežných priamok sa pretínajú na úbežnici. Orientovaná vzdialenosť stredu kolineácie $S$
od jednej úbežnice sa rovná súhlasne orientovanej vzdialenosti druhej úbežnice od osi perspektívnej kolineácie $o$.