Kubovčík, M.: Kužeľosečky: Konštrukcia elipsy | VirtualUMB

Kubovčík, M.: Kužeľosečky

1. Elipsa

1.1. Konštrukcia elipsy

Ohnisková (bodová) konštrukcia:

využívame vtedy, ak máme zadané $F_1, F_2, a$
najprv zostrojíme úsečku $PQ$ o veľkosti a na nej si zvolíme ľubovoľný bod $M$
potom zostrojíme tzv. hyperoskulačné kružnice $k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|)$
takto získame body $M_1, M_2$ patriace hľadanej elipsy ako prienik hyperoskulačných kružníc
ďalšie body elipsy získame podobným postupom ľubovoľnou voľbou bodu $M$ na úsečke $PQ$

Trojuholníková (zástavková) konštrukcia:

využívame vtedy, ak máme zadané stred elipsy $S$ , veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi $a, b$ , hlavnú a vedľajšiu os $o_1, o_2$
zostrojíme sústredné kružnice $k_1(S, r_1 = a), k_2(S, r_2= b)$
vedieme ľubovoľnú priamku p prechádzajúcu stredom elipsy $S$
získame priesečníky polpriamky a sústredných kružníc: $M_1 ∈ k_1 ∩ 𝑝, M_2 ∈ k_2 ∩ p$
zostrojíme takéto priamky $p_1: (p_1 ∥ o_2)(M_1 ∈ p_1), p_2: (p_2 ∥ o_1)(M_2 ∈ p_2)$
získame bod elipsy $M$ ako priesečník zostrojených priamok: $M ∈ p_1 ∩ p_2$

Prúžková konštrukcia:

využívame vtedy, ak máme zadanú hlavnú os $o_1$ , hlavné vrcholy $A, B$ a bod $M$ , ktorý patrí elipse, ale nie je vrcholom tejto elipsy
nájdeme stred elipsy $S$ ako stred úsečky $AB$
takto poznáme veľkosť hlavnej polosi $𝑎 = |SA| = |SB|$ , teraz nám stačí nájsť veľkosť vedľajšej polosi $b$
najprv zostrojíme vedľajšiu os $o_2: (o_2 ⊥ o_1)(S ∈ o_2)$
potom zostrojíme kružnicu so stredom v bode $M$ a polomerom $a$ , t. j. $k(M; a)$
získame priesečník $P_1: (P_1 ∈ 𝑘 ∩ o_2)$
zostrojíme priamku $P_1M$ a získame priesečník $P_2$ tejto priamky a hlavnej osi
hľadaná veľkosť vedľajšej polosi je $|MP_2|$
obdobne postupujeme, keď poznáme vedľajšie vrcholy $C, D$ , s rozdielom, že hľadáme veľkosť hlavnej polosi $a$

Rytzova konštrukcia:

využívame vtedy, keď poznáme združené priemery elipsy $KL, MN$
keďže združené priemery sa pretínajú v strede elipsy, tak najprv nájdeme tento stred elipsy $S$ , a potom otočíme bod $M$ o $90°$ okolo bodu $S$ , t. j. $ℛS; 90° (M) = M_1$
nájdeme bod $O$ ako stred úsečky $KM_1$
zostrojíme kružnicu \a priamku $KM_1$
získame priesečníky $1, 2$ kružnice a priamky $KM_1$ také, pre ktoré platí:

$<span class="nolink">\( .$ \)