Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Analytické vyjadrenie má maticový tvar
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),$ (2)
kde $\small \alpha \neq k \cdot 360°$ je uhol otočenia a $\small k$ je celé číslo. Napríklad otočenie o orientovaný uhol $\small \alpha = +90°$ okolo počiatku má analytický predpis
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right),$

Tvrdenie
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.

Príklad
V rovine je otočenie určené stredom $\small S = [−1; 1]$ a o orientovaným uhlom $\small α = −60°$. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice $\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9$.

Riešenie
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu $\small O' = [p,q]$ dosadíme do vzťahu (2 dostaneme rovnice
$\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,$
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu $\small S = [−1; 1]$, ktorý je samodružný.
Riešením je bod $\small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}]$.
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením$\small S = [−1; 1]$ do transformačných rovníc. Polomer kružnice sa v zhodnom zobrazení nemení a bude rovný $\small r=3$. Zostrojte obraz kružnice v GeoGebre pomocou nástroja "Množina bodov" v applete Tu.