Zhodnostné a podobnostné zobrazenia
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Zhodnostné a podobnostné zobrazenia |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 13:24 |
Zhodnostné zobrazenia
Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení
Geometrické resp. konštrukčné vlastnosti zhodnostných zobrazení nájdete
Tu.
Definícia
Zobrazenie
v rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body
a ich obrazy
platí
.
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small X, Y \in \mathbb E_2 \small X, Y \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5839b5fb11f8de77ed891f6522a7484b.png)
![\small f(X), f(Y ) \small f(X), f(Y )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c087ea9a7726f800f220699b42dfd644.png)
![\small |XY | = |f(X)f(Y)| \small |XY | = |f(X)f(Y)|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d8cb4324bc500c754f20c6fc2a96d58.png)
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Dôkaz
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru.
Nech
sú kolineárne body
, potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne.
Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov
platí
. Bod
leží medzi bodmi
.
Ukážeme, že body
sú kolineárne a zároveň platí
.
. Načrtnite si obrázok.
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small A \neq B \neq C \neq A \small A \neq B \neq C \neq A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e2ece134a80e4fb759eed5c09d8bb7b.png)
![\small \mathbb E^n \small \mathbb E^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/928218657430761f0eabcc172c55276b.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small \mu (ABC) \small \mu (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/339576a850c6951a051b188b17edd45f.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57aeb704b1cab6a566f8b267b676274a.png)
![\small A,C \small A,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd5eb7c3182d4f557f624521b67ecd0d.png)
Ukážeme, že body
![\small f(A), f(B),f(C) \small f(A), f(B),f(C)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25f6a47c148a590ad6b6649325a7271f.png)
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
- Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body
nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
- Teda body
ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod
leží medzi bodmi
vyhovuje podmienkam:
.
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má jednu veľmi zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať
všetky zhodné zobrazenia v rovine. Z toho dôvodu začneme analytickým vyjadrením osovej súmernosti.
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/382162/mod_book/chapter/8179/AfinneZobr_GeomModel_OsovaSum%20%282%29.png)
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
Posunutie
Posunutie je afinné zobrazenie určené vektorom posunutia
, kde
.
Posunutie je analyticky určené rovnicou
a prepísaním do maticového tvaru
(1)
čo predstavuje transformačné rovnice
.
![\small \vec u = \overrightarrow{OO'} \small \vec u = \overrightarrow{OO'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7ca4ca9528a47225e43acaa69ca8e13c.png)
![\small O'=[p,q], \vec u =(p,q) \small O'=[p,q], \vec u =(p,q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/935a5f780f2084c71e7899ad6977cd4f.png)
![\small X' = X+ \vec u \small X' = X+ \vec u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f26ef67b85121f9d138e256b707ca523.png)
a prepísaním do maticového tvaru
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcbbfe72dbbcad3a6b7412a04695b235.png)
čo predstavuje transformačné rovnice
![\small x'=x+p \\ \small y'=y+q \small x'=x+p \\ \small y'=y+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3d8aca37a4085ed2c6c657a2eea5d8.png)
Tvrdenie
Posunutie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Posunutie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Riešenie
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy:
a dosadením do vzťahu (1) dostaneme rovnice
.
Pomoc - otvorte si applet Tu.
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy:
![\small O' = [1,2] \small O' = [1,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10dcc2e27b46ae55829443bf31127cf3.png)
![\small x'=x+1 \\ \small y'=y+2 \small x'=x+1 \\ \small y'=y+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e9314890c098913bc85b2a7e3fbaf2e.png)
Pomoc - otvorte si applet Tu.
...
Osová súmernosť
Zhodnostné zobrazenie v rovine Osová súmernosť
Tri body
Osová súmernosť určená troma bodmi.
- Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti
budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký nesamodružný bod. Takými bodmi sú napríklad- dva body na osi súmernosti
, pre ktoré platí
a
, prípad ak jeden z koeficientov
je rovný nule sa rieši zvlášť;
- počiatok súradnej sústavy
, ktorého súradnice obrazu
určíme pomocou "Matrix calculator":
.
- dva body na osi súmernosti
- Potom dosadíme súradnice obrazov
do vzťahov
pričom musí platiť
.
využitím Matrix calculator dostaneme riešenie
Repér
Osová súmernosť určená repérom.
Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti
budeme potrebovať obraz súradného repéra
Postupne nájdeme:
![\small o: \; ax+by+c=0 \small o: \; ax+by+c=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4881aa4a5c12b8e9d2a387d0e6450271.png)
![\small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle \small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de0db2bb52206ae2df4d5ac6fa9eb40c.png)
Postupne nájdeme:
- Obraz počiatku súradnej sústavy
, ktorý určíme ako bod súmerný k bodu
. Ten určíme pomocou priesečníka
priamky
kolmej na priamku
, ktorá prechádza bodom
. Najskôr určíme
- Na určenie transformačných rovníc potrebujeme ešte aspoň dva rôzne body a ich obrazy v danej osovej súmernosti. Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva samodružné body.
Takými bodmi sú ľubovoľné dva body na osi súmernosti
.
- Zvoľme si
a
, prípad ak jeden z koeficientov
je rovný nule sa rieši zvlášť.
- Potom dosadíme súradnice obrazov
do vzťahu
(1)
a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
...
Otáčanie
Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Analytické vyjadrenie má maticový tvar
(2)
kde
je uhol otočenia a
je celé číslo. Napríklad otočenie o orientovaný uhol
okolo
počiatku má analytický predpis
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e56bd1e659ff5cd14efd097e2e2b72c5.png)
kde
![\small \alpha \neq k \cdot 360° \small \alpha \neq k \cdot 360°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5896ba118d0d26562242af4b83ef56d0.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b05aac4b8e5187e600ab0de41c0b1a8b.png)
![\small \alpha = +90° \small \alpha = +90°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c63714280b55d3d89238b1fed6a1029.png)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36b8561f8e3ee19a91a8298bf2737e5.png)
Tvrdenie
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Príklad
V rovine je otočenie určené stredom
a o orientovaným uhlom
. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice
.
V rovine je otočenie určené stredom
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small α = −60° \small α = −60°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f299aca5e01ff97812a92291d0165d12.png)
![\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9 \small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5defaeb85d945b272024944135bc4f16.png)
Riešenie
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
dosadíme do vzťahu (2 dostaneme rovnice
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
, ktorý je samodružný.
Riešením je bod
.
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
do transformačných rovníc. Polomer kružnice sa v zhodnom zobrazení nemení a bude rovný
. Zostrojte obraz kružnice v GeoGebre pomocou nástroja "Množina bodov" v applete Tu.
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
![\small O' = [p,q] \small O' = [p,q]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3ae7aa8eed85755323e42a70d98402.png)
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
Riešením je bod
![\small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}] \small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ab3384edd44c065d24163885cb44633.png)
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small r=3 \small r=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02ee3d5c6d96590bc25da997485889c1.png)
...
Príklady a cvičenie
Riešenie
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je
.
Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod
je samodružný, tak musí pre jeho obraz
platiť:
.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia
je zhodné zobrazenie.
Preto priamka samodružných bodov
je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je
![\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=(0, -1 , \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0) \rbrace \small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=(0, -1 , \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0) \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04f483745713111a02c837bbd052ec8a.png)
![\small x'=\;\;0 \cdot x -1 \cdot y+1=-y+1\\\small y'=-1 \cdot x +0 \cdot y +1=-x+1 \small x'=\;\;0 \cdot x -1 \cdot y+1=-y+1\\\small y'=-1 \cdot x +0 \cdot y +1=-x+1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70749d9ea05ae8568617f69125e54117.png)
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod
![\small M=[x, y] \small M=[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afca5e5a17438cf3e0eb295dfb5c122d.png)
![\small f(M)=M'[x', y'] \small f(M)=M'[x', y']](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d3cc6ed6b8ac44ffd056d25fdb2687d.png)
![\small x'=x, y'=y \small x'=x, y'=y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b11d2d018db92e31aa629c386e8431f5.png)
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
![\small x=-y+1, y=-x +1 \small x=-y+1, y=-x +1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4755f0d3dbb3dfe8232c3710e5a4f2f6.png)
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![\small x+y-1=0 \small x+y-1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bdc59c1e3d3c733974f5830dbecdc46d.png)
Geometrická interpretácia - riešenie Tu
Príklad 2
V rovine je posunutie určené vektorom
. V posunutí sa trojuholník
so súradnicami
zobrazí sa na
trojuholník
so súradnicami
.
a) Narysujte obraz
v GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazy
a ich dosadením spolu so súradnicami
do rovnice
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.
V rovine je posunutie určené vektorom
![\small \vec u = (1, -2) \small \vec u = (1, -2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2fb620a23b68a361c877d0c63eaaa7e2.png)
![\small KLM \small KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cc18c2b60c1ac1111442965d6e1cb45c.png)
![\small K = [1; 1], L = [4; 3], M = [2; 5] \small K = [1; 1], L = [4; 3], M = [2; 5]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3495d469cb175a5fccd8317021b70f7.png)
![\small K'L'M' \small K'L'M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3bc5c3fcf6790eb55c2e9f6afcf9fddb.png)
![\small K'= [2; -1], L' = [5; 1], M' = [3; 3] \small K'= [2; -1], L' = [5; 1], M' = [3; 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcd9c282160c70ca989a499b862178aa.png)
a) Narysujte obraz
![\small K'L'M' \small K'L'M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3bc5c3fcf6790eb55c2e9f6afcf9fddb.png)
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazy
![\small O'= [1; -2], K' = [2; -1], M' = [3; 3] \small O'= [1; -2], K' = [2; -1], M' = [3; 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9e85f67c85cfe23fd070431a6d8fa740.png)
![\small K = [1; 1], M = [2; 5] \small K = [1; 1], M = [2; 5]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de2eabc53d5450b1d9bdb6a8e232f2be.png)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 1 & -2\end{array} \right) \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 1 & -2\end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f58235fe285b838cdcfbc3b4a264fcd.png)
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
![\small \;\;\;2=a \cdot 1+c \cdot 1+1 \\ \small -1=b \cdot 1+d \cdot 1-2 \small \;\;\;2=a \cdot 1+c \cdot 1+1 \\ \small -1=b \cdot 1+d \cdot 1-2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3154becb76fbbda413b0f93a73b37f1.png)
![\small \;\;\;3=a \cdot 2+c \cdot 5+1 \\ \small \;\;\;3=b \cdot 2+d \cdot 5-2 \small \;\;\;3=a \cdot 2+c \cdot 5+1 \\ \small \;\;\;3=b \cdot 2+d \cdot 5-2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47b5525072e5b6b1a970d051b651a337.png)
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.
Príklad 3
Je daná osová súmernosť osou
, ktorá je určená bodmi
a štvoruholník
.
a) Narysujte obraz štvoruholníka obraz
v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť.
Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti.
b) Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy
.
Matica transformácie pre osovú súmernosť Tu
Je daná osová súmernosť osou
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af72e5dc8af87a2580b23fbf92c543f6.png)
![\small Q_1 = [-2; -3], Q_2 = [4; 3] \small Q_1 = [-2; -3], Q_2 = [4; 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/356732ad02ffeb1c057449896fc9634d.png)
![\small KLMN \small KLMN](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ae1157c0ae232bdc0886920d49c9d6c.png)
a) Narysujte obraz štvoruholníka obraz
![\small KLMN \small KLMN](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d09238db7ad14da30957592fd9a771b1.png)
Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti.
b) Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy
![\vec e_i \vec e_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c08089a98928a9143d192127514f2c2.png)
Cvičenie
- Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
- Zistite, či posunutie
roviny
pre pevne zvolený vektor posunutia
je afinné zobrazenie.
- Určite obraz trojuholníka
, kde
v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
- Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).