Zhodnostné a podobnostné zobrazenia

Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení

Geometrické resp. konštrukčné vlastnosti zhodnostných zobrazení nájdete Tu.

Definícia
Zobrazenie $\small f$ v rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body $\small X, Y \in \mathbb E_2$ a ich obrazy $\small f(X), f(Y )$ platí
$\small |XY | = |f(X)f(Y)|$.
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.

Tvrdenie (Afinnosť zhodnostného zobrazenia).
Každé zhodnostné zobrazenie $\small f:\mathbb E^n \rightarrow \mathbb E^k$ je afinné.

Dôkaz
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie $\small f$ spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru. Nech $\small A \neq B \neq C \neq A$ sú kolineárne body $\small \mathbb E^n$, potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne. Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov $\small A,B,C$ platí $\small \mu (ABC)$. Bod $\small B$ leží medzi bodmi $\small A,C$.
Ukážeme, že body $\small f(A), f(B),f(C)$ sú kolineárne a zároveň platí $\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))$.

• Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body $\small f(A), f(B),f(C)$ nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
• Teda body $\small f(A), f(B),f(C)$ ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod $\small f(B)$ leží medzi bodmi $\small f(A),f(C)$ vyhovuje podmienkam:
  $\small \left| AC \right| =\left| f(A)f(C) \right| ,\left| BC \right| =\left| f(B)f(C) \right| ,\left| AB \right| =\left| f(A)f(B) \right|$.

Teda platí $\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))$. Načrtnite si obrázok.

Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má jednu veľmi zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať všetky zhodné zobrazenia v rovine. Z toho dôvodu začneme analytickým vyjadrením osovej súmernosti.

Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu

Nech $\small \mathbb E_2$ je euklidovská rovina so súradnicovou sústavou $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2 \rbrace$. Zhodnostné zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ má analytické vyjadrenie
$(x'\;y')=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} b_1 & b_2\end{array} \right)$
kde $\small (b_1,b_2),(a_{i1},a_{i2})$ sú obrazy počiatku súradnej sústavy a obrazy jednotkových vektorov repéra.

Podmienka pre maticu $\small A=\left( \begin{array}{} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)$
$\small A \times A^T=I$
kde $\small A^T$ je transponovaná matica k matici $\small A$ a matica $\small I$ je jednotková.

Posunutie je afinné zobrazenie určené vektorom posunutia $\small \vec u = \overrightarrow{OO'}$, kde $\small O'=[p,q], \vec u =(p,q)$. Posunutie je analyticky určené rovnicou
$\small X' = X+ \vec u$
a prepísaním do maticového tvaru
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),$ (1)
čo predstavuje transformačné rovnice
$\small x'=x+p \\ \small y'=y+q$.

Tvrdenie
Posunutie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.

Príklad
V rovine je posunutie určené vektorom $\small \vec u = (1, 2)$. Určite jeho transformačné rovnice.

Riešenie
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy: $\small O' = [1,2]$ a dosadením do vzťahu (1) dostaneme rovnice
$\small x'=x+1 \\ \small y'=y+2$.
Pomoc - otvorte si applet Tu.

Rozšírené matice.
Umožňujú vytvárať zložené zhodné zobrazenia. Pozrite si prezentáciu Tu. Realizáciu použitia rozšírených matíc v GeoGebre nájdete Tu. Pos1  Otac1 OtaPos1

Osová súmernosť určená troma bodmi.

1. Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
   Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký nesamodružný bod. Takými bodmi sú napríklad
   1. dva body na osi súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$, pre ktoré platí $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť;
   2. počiatok súradnej sústavy $\small O=[0,0]$, ktorého súradnice obrazu $\small O'=[p,q]$ určíme pomocou "Matrix calculator":
      $p=\frac{-2ac}{a^2+b^2}; \; q=\frac{-2bc}{a^2+b^2}$.
2. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A'=[0,\frac{-c}{b}],B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahov
   $\small ( X' = aA+bB+cP \\ Y'=aA'+bB'+cP'$
   pričom musí platiť
   $\small a+b+c=1$.
   využitím Matrix calculator dostaneme riešenie
   $x'=\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{2ab}{a^2+b^2} \right) y-\frac{2ac}{a^2+b^2}\\\\ y'=\left(-\frac{2ab}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right)y-\frac{2bc}{a^2+b^2}$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}],A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme
$x'= \;\;\frac{3}{5}  x-\; \frac{4}{5}  y+\frac{4}{5}\\\\ y'=-\frac{4}{5}  x-\;\frac{3}{5} y+\frac{8}{5}$
Geometrická interpretácia Tu.

Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ budeme potrebovať obraz súradného repéra
$\small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle$
Postupne nájdeme:

1. Obraz počiatku súradnej sústavy $\small O'=[p,q]$, ktorý určíme ako bod súmerný k bodu $\small O=[0,0]$. Ten určíme pomocou priesečníka $\small R=o \cap k$ priamky $\small k$ kolmej na priamku $\small o$, ktorá prechádza bodom $\small O$. Najskôr určíme
   • súradnice vektora $\small \vec v = R−O$.
   • súradnice bodu $\small O'=[p,q]$ môžeme spočítať ako $\small O'=O+2\vec v$, pretože vektor $\small \vec v = R−P$ je normálový vektor priamky $\small o$ a určuje vzdialenosť bodu $\small O=[0,0]$ od priamky $\small o$.
2. Na určenie transformačných rovníc potrebujeme ešte aspoň dva rôzne body a ich obrazy v danej osovej súmernosti. Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva samodružné body. Takými bodmi sú ľubovoľné dva body na osi súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$.
3. Zvoľme si $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť.
4. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A'=[0,\frac{-c}{b}],B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahu
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),$ (1)
   a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
   $\small \;0\;=a \cdot 0\;\;\;+\;\;b \cdot \frac{-c}{b}+p \\ \small \frac{-c}{b}=c \cdot 0\;\;\;+\;\;d \cdot \frac{-c}{b}+q$
   $\small\frac{-c}{b}=a \cdot \frac{-c}{a}\;+\;\;b \cdot 0+p \\ \small \;0\;=c \cdot \frac{-c}{a}\;+\;\;d \cdot 0+q$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}],A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
$\small 0=a \cdot 0+b \cdot 1+\frac{4}{5}\\ \small 1=c \cdot 0+d \cdot 1+\frac{8}{5}$
$\small 2=a \cdot 2+b \cdot 0+p \\ \small 0=c \cdot 2+d \cdot 0+\frac{8}{5}$
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Modelovanie cez applet "Repér" Tu.

Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Analytické vyjadrenie má maticový tvar
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),$ (2)
kde $\small \alpha \neq k \cdot 360°$ je uhol otočenia a $\small k$ je celé číslo. Napríklad otočenie o orientovaný uhol $\small \alpha = +90°$ okolo počiatku má analytický predpis
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right),$

Tvrdenie
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.

Príklad
V rovine je otočenie určené stredom $\small S = [−1; 1]$ a o orientovaným uhlom $\small α = −60°$. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice $\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9$.

Riešenie
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu $\small O' = [p,q]$ dosadíme do vzťahu (2 dostaneme rovnice
$\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,$
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu $\small S = [−1; 1]$, ktorý je samodružný.
Riešením je bod $\small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}]$.
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením$\small S = [−1; 1]$ do transformačných rovníc. Polomer kružnice sa v zhodnom zobrazení nemení a bude rovný $\small r=3$. Zostrojte obraz kružnice v GeoGebre pomocou nástroja "Množina bodov" v applete Tu.

Príklad 1
Nájdite maticu afinnej transformácie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ , pričom platí
$\small O=[0, 0] \rightarrow O'=[1, 1]$
$\small \overrightarrow{e_1} =[1, 0] \rightarrow \overrightarrow{e'_1} =(0, -1)$
$\small \overrightarrow{e_2}=[0, 1] \rightarrow \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0)$.

Riešenie
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je $\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=(0, -1 , \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0) \rbrace$. Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
$\small  x'=\;\;0 \cdot x -1 \cdot y+1=-y+1\\\small y'=-1 \cdot x +0 \cdot y +1=-x+1$
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod $\small M=[x, y]$ je samodružný, tak musí pre jeho obraz $\small f(M)=M'[x', y']$ platiť:
$\small x'=x, y'=y$.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
$\small x=-y+1, y=-x +1$,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia $f$ je zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov $\small x+y-1=0$ je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu

Príklad 2
V rovine je posunutie určené vektorom $\small  \vec u = (1, -2)$. V posunutí sa trojuholník $\small KLM$ so súradnicami $\small K = [1; 1], L = [4; 3], M = [2; 5]$ zobrazí sa na trojuholník $\small K'L'M'$ so súradnicami $\small K'= [2; -1], L' = [5; 1], M' = [3; 3]$.
a) Narysujte obraz $\small K'L'M'$ v GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazy $\small O'= [1; -2], K' = [2; -1], M' = [3; 3]$ a ich dosadením spolu so súradnicami $\small K = [1; 1], M = [2; 5]$ do rovnice
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 1 & -2\end{array} \right)$
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
$\small \;\;\;2=a \cdot 1+c \cdot 1+1 \\ \small -1=b \cdot 1+d \cdot 1-2$
$\small \;\;\;3=a \cdot 2+c \cdot 5+1 \\ \small \;\;\;3=b \cdot 2+d \cdot 5-2$
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.

Príklad 3
Je daná osová súmernosť osou $q$, ktorá je určená bodmi $\small  Q_1 = [-2; -3], Q_2 = [4; 3]$ a štvoruholník $\small KLMN$. 
a) Narysujte obraz štvoruholníka obraz $\small KLMN$ v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť.
Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti.
b) Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy $\vec e_i$. Matica transformácie pre osovú súmernosť Tu

Cvičenie

1. Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
2. Zistite, či posunutie $\small f$ roviny $\small \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2, f(X)=X' = X+\vec{u}$ pre pevne zvolený vektor posunutia $\small \vec{u}$ je afinné zobrazenie.
3. Určite obraz trojuholníka $\small KLM$, kde $\small K = [−3; 5], L = [−5; 2], M = [1; 3]$ v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} -1 & 0 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} -4 & 8\end{array} \right)$. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
4. Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).