Nasledujúci

Zhodnostné zobrazenia

Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení
Geometrické resp. konštrukčné vlastnosti zhodnostných zobrazení nájdete Tu.
Definícia
Zobrazenie \small f v rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body \small X, Y \in \mathbb E_2 a ich obrazy \small f(X), f(Y ) platí
\small |XY | = |f(X)f(Y)| .
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Tvrdenie (Afinnosť zhodnostného zobrazenia).
Každé zhodnostné zobrazenie \small f:\mathbb E^n \rightarrow \mathbb E^k je afinné.
Dôkaz
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie \small f spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru. Nech \small A \neq B \neq C \neq A sú kolineárne body \small \mathbb E^n , potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne. Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov \small A,B,C platí \small \mu (ABC) . Bod \small B leží medzi bodmi \small A,C .
Ukážeme, že body \small f(A), f(B),f(C) sú kolineárne a zároveň platí \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) .
  • Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body \small f(A), f(B),f(C) nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
  • Teda body \small f(A), f(B),f(C) ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod \small f(B) leží medzi bodmi \small f(A),f(C) vyhovuje podmienkam:
    \small \left| AC \right| =\left| f(A)f(C) \right| ,\left| BC \right| =\left| f(B)f(C) \right| ,\left| AB \right| =\left| f(A)f(B) \right| .
Teda platí \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) . Načrtnite si obrázok.
Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má jednu veľmi zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať všetky zhodné zobrazenia v rovine. Z toho dôvodu začneme analytickým vyjadrením osovej súmernosti.

Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
Nech \small \mathbb E_2 je euklidovská rovina so súradnicovou sústavou \small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2 \rbrace . Zhodnostné zobrazenie \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2 má analytické vyjadrenie
(x'\;y')=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} b_1 & b_2\end{array} \right) 
kde \small (b_1,b_2),(a_{i1},a_{i2}) sú obrazy počiatku súradnej sústavy a obrazy jednotkových vektorov repéra.
Podmienka pre maticu \small A=\left( \begin{array}{} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)
\small A \times A^T=I
kde \small A^T je transponovaná matica k matici \small A a matica \small I je jednotková.
\( .\)
Nasledujúci