Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Príklad 1
Nájdite maticu afinnej transformácie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ , pričom platí
$\small O=[0, 0] \rightarrow O'=[1, 1]$
$\small \overrightarrow{e_1} =[1, 0] \rightarrow \overrightarrow{e'_1} =(0, -1)$
$\small \overrightarrow{e_2}=[0, 1] \rightarrow \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0)$.

Riešenie
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je $\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=(0, -1 , \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0) \rbrace$. Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
$\small  x'=\;\;0 \cdot x -1 \cdot y+1=-y+1\\\small y'=-1 \cdot x +0 \cdot y +1=-x+1$
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod $\small M=[x, y]$ je samodružný, tak musí pre jeho obraz $\small f(M)=M'[x', y']$ platiť:
$\small x'=x, y'=y$.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
$\small x=-y+1, y=-x +1$,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia $f$ je zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov $\small x+y-1=0$ je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu

Príklad 2
V rovine je posunutie určené vektorom $\small  \vec u = (1, -2)$. V posunutí sa trojuholník $\small KLM$ so súradnicami $\small K = [1; 1], L = [4; 3], M = [2; 5]$ zobrazí sa na trojuholník $\small K'L'M'$ so súradnicami $\small K'= [2; -1], L' = [5; 1], M' = [3; 3]$.
a) Narysujte obraz $\small K'L'M'$ v GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazy $\small O'= [1; -2], K' = [2; -1], M' = [3; 3]$ a ich dosadením spolu so súradnicami $\small K = [1; 1], M = [2; 5]$ do rovnice
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 1 & -2\end{array} \right)$
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
$\small \;\;\;2=a \cdot 1+c \cdot 1+1 \\ \small -1=b \cdot 1+d \cdot 1-2$
$\small \;\;\;3=a \cdot 2+c \cdot 5+1 \\ \small \;\;\;3=b \cdot 2+d \cdot 5-2$
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.

Príklad 3
Je daná osová súmernosť osou $q$, ktorá je určená bodmi $\small  Q_1 = [-2; -3], Q_2 = [4; 3]$ a štvoruholník $\small KLMN$. 
a) Narysujte obraz štvoruholníka obraz $\small KLMN$ v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť.
Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti.
b) Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy $\vec e_i$. Matica transformácie pre osovú súmernosť Tu

Cvičenie

1. Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
2. Zistite, či posunutie $\small f$ roviny $\small \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2, f(X)=X' = X+\vec{u}$ pre pevne zvolený vektor posunutia $\small \vec{u}$ je afinné zobrazenie.
3. Určite obraz trojuholníka $\small KLM$, kde $\small K = [−3; 5], L = [−5; 2], M = [1; 3]$ v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} -1 & 0 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} -4 & 8\end{array} \right)$. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
4. Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).