Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Osová súmernosť určená troma bodmi.

1. Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
   Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký nesamodružný bod. Takými bodmi sú napríklad
   1. dva body na osi súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$, pre ktoré platí $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť;
   2. počiatok súradnej sústavy $\small O=[0,0]$, ktorého súradnice obrazu $\small O'=[p,q]$ určíme pomocou "Matrix calculator":
      $p=\frac{-2ac}{a^2+b^2}; \; q=\frac{-2bc}{a^2+b^2}$.
2. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A'=[0,\frac{-c}{b}],B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahov
   $\small ( X' = aA+bB+cP \\ Y'=aA'+bB'+cP'$
   pričom musí platiť
   $\small a+b+c=1$.
   využitím Matrix calculator dostaneme riešenie
   $x'=\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{2ab}{a^2+b^2} \right) y-\frac{2ac}{a^2+b^2}\\\\ y'=\left(-\frac{2ab}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right)y-\frac{2bc}{a^2+b^2}$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}],A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme
$x'= \;\;\frac{3}{5}  x-\; \frac{4}{5}  y+\frac{4}{5}\\\\ y'=-\frac{4}{5}  x-\;\frac{3}{5} y+\frac{8}{5}$
Geometrická interpretácia Tu.