Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V predchádzajúcej kapitole sme uviedli:
Súradnice bodu $\small X$ afinného priestoru $\small \mathcal A$ vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sú súradnice jeho polohového vektora $\small \vec{O X}$ vzhľadom na bázu súradnicových vektorov. Teda platí
$\small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}$.

Po zavedení súradnej sústavy môžeme nielen vektory ale aj body "sčitovať". Pravidlá, ktoré musíme pritom dodržiavať stanovuje tzv. základná veta o súradniciach, ktorú poznáme z lineárnej algebry.

Základná veta o súradniciach.
Nech sú dané dva body a ich súradnice $\small A=[a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot , a_n], B=[b_1,b_2, \cdot \cdot \cdot , b_n] \in \mathcal A$ a vektor $\small \vec{u}=(u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_n) \in \mathrm V$, potom

1. $\small B-A=(b_1-a_1,b_2-a_2, \cdot \cdot \cdot , b_n-a_n)$
2. $\small A+\vec u=[a_1+u_1,a_2+u_2, \cdot \cdot \cdot , a_n+u_n]$
sú body afinného priestoru $\small \mathcal A$.

Dôkaz.

1. Zrejme z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že $\small \forall A,B \in \mathcal A$ a pre začiatok súradnej sústavy $\small O$ bude platiť $\small f(A,B)=f(A,O)+f(O,B)$ tj. $\small \vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}$ odkiaľ s využitím "Tvrdenie (operácie s bodmi), odseky b), e)" dostaneme
   $\small \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(B-O)-(A-O)=$
   po úprave
   $\small =(B-O)+(O-A)=(B-A)+(O-O)=B-A$.
   Z definície sčítania (rozdielu) vektorov v báze $\small \left\langle {\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}}\right\rangle$ dostaneme
   $\small B-A=(b_1-a_1,b_2-a_2, \cdot \cdot \cdot , b_n-a_n)$

Otvorte si dynamický obrázok Tu. Interpretujte to na AP - hyperbola.
2. Z vlastnosti (AP2') afinného priestoru vyplýva, že $\small \forall A\in \mathcal{A}; \forall \vec u \in V$ existuje práve jeden bod $\small M \in \mathcal{A}$ taký, že $\small \vec{AM} =\vec u$. Pre polohové vektory platí
   $\small \overrightarrow{OM}=\vec w=\vec u+\vec a= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA}$.
   Z vlastnosti sčítania vektorov dostaneme
   $\small \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}=A+\vec u$.
   Po úprave
   $\small \overrightarrow{OM} =(P-O)+(M-P)=(u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_n)+(a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot , a_n)=(a_1+u_1, \cdot \cdot \cdot , a_n+u_n)$.

Applet Tu.

Zmena repéru
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér $\small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ afinného priestoru $\small \mathcal {A}$. To znamená, že súradnice nejakého bodu $\small Q \in \mathcal {A}$ môžeme vyjadriť aj vzhľadom na ľubovoľný iný repér. Ako určiť súradnice bodu pri zmene repéru popisuje nasledujúci príklad.

Príklad.

• Nech $\small S= \left\langle {Q[1,-2,1],\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(-3, 2, 1),\;\vec c (-2, 1, 0) }\right\rangle$ je súradnicová sústava afinného priestoru $\small (\mathcal A, V_3(\mathbb R), f )$, kde zobrazenie $\small f$ je definované ako rozdiel súradníc bodov po zložkách. Nájdite bod $\small R \in \mathcal A$, ktorého súradnice vzhľadom k repéru $\small S$ sú $\small [-2, 1, 2]$.
• Nájdite súradnice bodu $\small P = [4,-3,1]$ vzhľadom k báze $\small S$.

Riešenie.

1. Zrejme
   $\small R = [1,-2,1]+(-2).(1, 1, 2) + 1(-3, 2, 1) + 2.(-2, 1, 0) = (-8, 0, -2)$.
   Toto sú súradnice bodu$\small R$ vzhľadom k ortonormálnemu repéru - kanonické súradnice. Je dôležité dodržať poradie prvkov repéru $\small S$. Urobte geometrickú interpretáciu.


2. Určiť súradnice vzhľadom k repéru $\small S$ znamená bod $\small P$ vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov repéru $\small S$. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť $\small q_1, q_2, q_3 \in \mathbb R$, pre ktoré platí:
   $\small P = Q+q_1.(1, 1, 2) + q_2.(-3, 2, 1) + q_3.(-2, 1, 0)$ resp.
   $\small (3,-1, 0) = q_1.(1, 1, 2) + q_2.(-3, 2, 1) + q_3.(-2, 1, 0)$.
   Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
   $\small \begin{array}{ccc} 3= \\ -1= \\ 0= \end{array} \begin{array}{ccc} 1.q_1\;\;-3.q_2\;-2.q_3 \\ 1.q_1\;+\;2.q_2\;+\;1.q_3 \\ 2.q_1\;+\;1.q_2\;+\;0.q_3\end{array}$
   Poslednú rovnosť môžeme vyjadriť v maticovom tvare (vektory repéru zapisujeme do stĺpcov!):
   $\small \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} \;3 \\ -1 \\ \;0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1&-3&-2 \\ 1&\;2&\;1 \\ 2&\;1&\;0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} q_1 \\ q_2 \\q_3 \end{array}\right)$
   
   Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.
   Riešením je bod $\small =(1, -2, 2)$.

Cvičenie.
Zistite, aké súradnice má bod $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b) ∈ A^3$ v afinnej súradnicovej sústave $\small [O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} ,\pmb {e_3} ]$ , ak
$\small A = O + (\pmb {e_1}+ 2\pmb {e_3})$ ;
$\pmb a = 2\pmb {e_1} + 3\pmb {e_2}$;
$\pmb b = -\pmb {e_1} + \pmb {e_2} -2\pmb {e_3}$.

                      

Riešenie.

1. Algebraické riešenie: Dosaďte do výrazu $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b)$ hodnoty za $\small A, \pmb a ,\pmb {b}$ a dostanete súradnice $[1,5,-2]$.
2. Grafické riešenie: Aktivujte si repér $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3} \right\rangle$ v GeoGebre Tu. Do vstupného poľa postupne zadajte $\small A = O + (\pmb {e_1}+ 2\pmb {e_3})$,  $\pmb a = 2\pmb {e_1} + 3\pmb {e_2}$, $\pmb b = -\pmb {e_1} + \pmb {e_2} -2\pmb {e_3}$ a $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b)$ . Porovnajte výsledok.