Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Zvoľme si v afinnom priestore $\small (\mathcal A, \mathit V, +)$ jeden pevný bod $\small P$ a nejaké zameranie $\small \mathit V'$, ktoré je podmnožinou vektorového zamerania $\small \mathit V$. Dostaneme podmnožinu bodov afinného priestoru, ktorá bude spĺňať axiómy afinného priestoru. Takouto množinou je napríklad priamka v euklidovskej rovine alebo rovina v euklidovskom priestore.

Definícia.
Nech $\small (\mathcal A, \mathit V, +)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. Neprázdnu podmnožinu $\small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A$ nazývame afinný podpriestor resp. lineárna varieta afinného priestoru $\small \mathbb A$, ak existuje vektorový podpriestor $\small \mathrm V' \subset \mathrm V$, pričom platí

• $\small \forall X, Y \in \mathcal A' : \vec{XY}=(Y-X) \in \mathrm V'$
• $\small \forall X \in \mathcal A', \forall u \in \mathrm V': (X+u) \in \mathcal A'$

Dokážte, že $\small \mathcal A'=\left\{(0,x,0,1), x \in \mathbb R\right\}$ je afinný podpriestor priestoru $\small \mathbb A_3=(\mathcal A, \mathit V, f)$,
$\small \mathcal A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4), x \in \mathbb R^4;x_4=1\right\}$
$\small \mathrm V=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4), x \in \mathbb R^4;x_4=0\right\}$
$\small f$ je odčítanie po zložkách. [MON 1.4.1]

Tvrdenie.
Nech $\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]$ je ľubovoľný bod z afinného priestoru $\small \mathbb A^n$. Potom bod $\small X$ leží v podpriestore $\small \mathbb A^k$, práve vtedy, keď platí rovnosť
$\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k$,
kde $\small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k$; $\small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k$ sú reálne čísla a $\small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k$ je $\small k$ lineárne nezávislých vektorov podpriestoru $\small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A)$. Uvedená rovnosť sa nazýva parametrické vyjadrenie podpriestoru $\small \mathbb A^k$. Čísla $t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k$ sa nazývajú parametre bodu $\small X$.

Poznámky.
Pre rovnosť $\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k$ sa tradične používa nie úplne presný názov parametrické rovnice podpriestoru. Parametrické rovnice podpriestoru $\small \mathbb A^k$ majú známy tvar
$\small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k$
$\small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k$
...
$\small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k$,
kde $\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]$ sú súradnice bodu $\small X$ a $\left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right)$ sú súradnice vektora $\vec a_i$ v kanonickej báze $\left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle$. Túto sústavu rovníc môžeme zapísať pomocou matíc. Maticový tvar parametrických rovníc vyzerá takto
$\\ \; \\ \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ \;· \\ x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\ a_{2} \\ \;· \\ a_{n} \end{array} \right) +\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\ a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\ \; ··· & \\ a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk} \end{array} \right) · \left( \begin{array}{} t_1 \\ t_2 \\ \;· \\ t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\ $
Maticu sústavy $\small \pmb a_{ij}$ z predchádzajúceho vyjadrenia nazývame matica prechodu od afinnej súradnicovej sústavy $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ do sústavy $\small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle$.

Príklad 1.
Zistite, či body $\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s podpriestorom (ležia v podpriestore) $\small \left\langle A, u, v\right\rangle$. Dané sú bod $\small A = [1, 3, 2]$ a vektory $\small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0)$. Nájdite parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru. Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.

Riešenie.
Hľadáme reálne čísla $\small r,s$, pre ktoré platí rovnosť (vektorová rovnica má práve jedno riešenie)
$\small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)$ resp. $\small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)$
Odpoveď: Bod $\small M = [9, -2, 5]$ inciduje s daným podpriestorom, riešenie nájdete Tu. Ukážte, že bod $\small N = [4, 1, 6]$ neleží v danom podpriestore.

Neparametrické vyjadrenie podpriestoru

V afinnom priestore $\small \mathbb A^n$ môžeme lineárne podpriestory $\small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n$ vyjadriť aj neparametricky pomocou sústavy $\small p$ lineárnych rovníc s $\small n$ neznámymi. Ich počet je závislý od dimenzie podpriestoru $\small k$ a od dimenzie daného priestoru $\small n$. Musí byť splnená rovnosť: $\small p=n-k$. V stredoškolskej analytickej geometrii

1. Priamka ($\small k = 1$) ležiaca v rovine ($\small n=2$) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi. Bod ($\small k = 0$) je chápaný ako prienik dvoch priamok, teda môže byť vyjadrený ako sústava dvoch lineárnych rovníc.
2. V afinnom priestore $\small \mathbb A^3$ rovina (nadrovina ($\small k =2$)) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s troma neznámymi $\small 1=3-2$. Priamka je prienikom dvoch rovín a na jej určenie sú potrebné dve rovnice $\small 2=3-1$.

Príklad 2.

1. Nájdite neparametrické vyjadrenie roviny z príkladu 1 a zistite, či body $\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s touto rovinou.
2. Nájdite parametrické aj neparametrické vyjadrenie roviny v $\small \mathbb A^3$, ktorá prechádza bodom $\small A = [1, 2,3]$ a má smer $\small \vec{u}=(-5,6,4),\vec{v}=(2,-1,0)$.
   Riešenie Tu
   Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.

Pre lineárny podpriestor platí, že s každými dvoma bodmi $\small A,B$ obsahuje tento podpriestor aj bod
$\small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R$.
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.

Lineárne podpriestory s danou dimenziou.

1. Afinný podpriestor dimenzie 1 sa nazýva afinnou priamka.
2. Afinný podpriestor dimenzie 2 sa nazýva afinnou rovina.
3. Afinný podpriestor dimenzie $\small n$-1 v $\small n$-rozmernom afinnom priestore sa nazýva nadrovina . Zrejme priamka je zároveň nadrovinou v priestore $\small \mathbb A^2$ a rovina je nadrovinou v $\small \mathbb A^3$.
4. Budeme hovoriť, že podpriestor $\small (\mathcal A',\mathrm V',+)$ je $\small k$-rozmerný (má dimenziu $\small k$), ak podpriestor $\small \mathrm V'$ má dimenziu $\small k$ (dim $\small \mathrm V'=k$ ).

Príklady.

1. Napíšte parametrické vyjadrenie podpriestoru v $\small \mathbb A^4$, ktorý je daný všeobecnými rovnicami:
   $\small 2x_1-x_2+3x_3-7x_4-5=0\\\\ \small 6x_1-3x_2+x_3-5x_4-7=0$
2. Dokážte, že množina
   $\small P = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x + y - 2z = 5, x - y = 1}\rbrace$
   je priamkou v afinnom priestore
   $\small \mathbb A = \lbrace{( x_1, x_2, x_3) \in R^3; x_1 + x_2 - 2x_3 = 5}\rbrace , V^3(\mathbb R) = \lbrace{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3; x_1 + x_ 2 - 2x_3 = 0}\rbrace$.

Riešenie.

1. Otvorte si riešenie Tu.
2. Zobrazte roviny
   $\small \alpha = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x + y - 2z = 5}\rbrace$, $\small \beta = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x - y = 1}\rbrace$
   v 3D GeoGebre. Grafické riešenie Tu.